精品解析：江西省赣州市兴国县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

兴国县2023−2024学年第二学期期末检测八年级数学试卷 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 要使二次根式有意义，则x可取的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式的被开方数为非负数，求出 ． 根据二次根式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ， 解得： ， ∴可取的数为4，故B正确． 故选：B． 2. 以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ） A. 6、8、10 B. 8、15、17 C. 24、7、25 D. 4、5、6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】解：A、，能构成直角三角形； B、，能构成直角三角形； C、，能构成直角三角形； D、，不能构成直角三角形； 故选：D． 3. 在学校举办的“数学思维挑战赛”中，有19名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己是否晋级，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这19名学生成绩的（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】将19名选手成绩由小到大（或由大到小）排列，第10名的成绩即为中位数，故知中位数即知是否入围． 【详解】解：由于总共有19个人，且他们的分数互不相同，第10名的成绩是中位数，要判断是否进入前9名，故应知道中位数的多少． 故选：B． 【点睛】本题考查中位数的定义和运用，理解中位数的定义是解题的关键． 4. 碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，碳酸钠的溶解度为 B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大 D. 要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 【答案】C 【解析】 【分析】直接观察图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度为，故本选项错误，不符合题意； B、观察图象得：当温度在时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，故本选项错误，不符合题意； C、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，故本选项正确，符合题意； D、观察图象得：当温度接近并低于时，碳酸钠的溶解度达到，则要使碳酸钠的溶解度大于，温度控制的范围应该大于在，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数图象，明确题意，准确从图象获取信息是解题的关键． 5. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（ ） A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意； ∴正确的有①②； 故选C． 【点睛】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 6. 如图，正方形的面积是4，E是的中点，点P是上的动点，则 的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于点B与点D关于对称，所以如果连接，交于点P，那 的值最小．在中，由勾股定理先计算出的长度，即为 的最小值． 【详解】解：连接，，． ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于对称，，， ∴ ， ∵， ∴当、、三点共线时， 的值最小，如图所示， ∴的长即为 的最小值， ∵正方形的面积是4， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在 中，． 即 的最小值是． 故选：A． 【点睛】此题考查了轴对称最短路线问题，还考查了正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质并确定点P的位置是解题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 当时，二次根式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的代入求值，解题的关键是注意二次根式的符号，此类题比较简单．把代入二次根式求值即可得结果． 【详解】解：当时，原式． 故答案是：． 8. 甲、乙两人各进行10次射击比赛，平均成绩均为9环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是______选填“甲”或“乙”． 【答案】甲 【解析】 【分析】比较甲、乙两个人的方差，方差越小越稳定． 【详解】，， ， ∴射击成绩较稳定的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查方差，掌握方差的意义是关键． 9. 过点A（0，2），且与直线y=3x-4平行的直线解析式为：_________． 【答案】y=3x+2 【解析】 【分析】设所求直线的解析式是y＝kx＋b，根据两直线平行求出k＝3，得出函数的解析式是y＝3x＋b，把A点的坐标代入y＝3x＋b，求出b即可． 【详解】解：设所求直线的解析式是y＝kx＋b， ∵直线y＝kx＋b与直线y＝3x−4平行， ∴k＝3， 即y＝3x＋b， ∵函数y＝kx＋b过点A，点A的坐标是（0，2）， ∴2＝3×0＋b， 解得：b＝2， 即y＝3x＋2， 故答案为：y＝3x＋2． 【点睛】本题考查了两直线相交与平行问题，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能求出k＝3是解此题的关键． 10. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，点D在边上，与相交于点E，若，则α，β的等量关系式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关键．由题意可得，由菱形的性质可得，由平行线的性质可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：四边形和四边形为完全相同的菱形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，折叠长方形一边，使落在边上的点处，已知，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在 中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在 中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为： 12. 在中，，有一个锐角为，，若点P在直线上（不与点A，B重合），且，则 的长为 _____． 【答案】，9或3 【解析】 【分析】题中的锐角，可能是也可能是 ；可以分为点P在线段上和P在线段的延长线上两种情况；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得 的长度． 【详解】解：当时， ∵ ， ∴， 由勾股定理得，， ①点P在线段上， ∵， ∴， ∴ ， 在中，， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ②点P在线段的延长线上， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ①点P在线段上， ∵， ∴， ∴是等边三角形 ∴． ②点P在线段的延长线上， ∵， ∴， 这与与 交于点P矛盾，舍去． 综上所得， 的长为，9或3． 故答案为：，9或3． 【点睛】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的三边关系、等边三角形的判定，用分类讨论思想考虑所有可能的情况． 三．（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． （1）根据二次根式的性质化简，然后进行加减运算； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 如图，的对角线 相交于点O，是等边三角形，． （1）证明是矩形； （2）求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ， 是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得 ，然后在中，利用勾股定理即可得的长，进而即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是等边三角形，， ， ， 由（1）已证：是矩形， ， 则在中，， 是矩形， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 15. 如图，已知，， （1）求AB的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得∠C＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理先证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ABD＝90°，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵AC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∵AC＝BC＝2， ∴AB＝， ∴AB的长为； 【小问2详解】 解：∵AB2+BD2＝ ，AD2＝， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ABD＝90°， ∴△ABD的面积＝AB•BD ＝ ＝， ∴△ABD的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，P，M分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，找出的中点E； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，矩形、菱形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，熟悉以上知识点是解题的关键． （1）连接 ，交于点O，连接并延长交于点，点即为所求； （2）分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如图，连接 ，交于点O，连接并延长交于点，即为所作． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵点P是的中点， ∴， ∴， 故点是的中点； 【小问2详解】 解：如图，分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所作． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵P，M分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 17. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点与点，求： （1）直线的解析式； （2）若点E是线段上一点，且的面积为5，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点E的坐标为，根据的面积为5列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将点与点代入得， 解得， ∴直线的解析式为 ； 【小问2详解】 设点E的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 四．（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某地区为了解该区八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了该区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数为 度； （2）补全条形统计图：在这次抽样调查中，众数为 ，中位数为 ； （3）如果该区共有八年级学生3500人，请你估计该区“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人？ 【答案】（1）72 （2） 补全的条形统计图如图所示： 5天，6天 （3）1400人 【解析】 【分析】（1）根据活动5天的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出在扇形统计图中“6天”对应的圆心角度数； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出活动8天的人数，然后即可求出众数和中位数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该区“活动时间不少于7天”的学生人数． 【小问1详解】 解：本次调查的人数为：240÷40%＝600人， 在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数为：360°×＝72°， 故答案为：72； 【小问2详解】 解：参加活动8天的人数为：600﹣240﹣120﹣150﹣30＝60人， 众数为5天，中位数是（6+6）÷2＝6天， 故答案为：5天，6天； 【小问3详解】 解：3500× ＝1400人， 答：估计该区“活动时间不少于7天”的学生人数大约有1400人． 【点睛】本题考查统计知识，涉及到条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体等知识点．准确将统计图表中的信息读取出来是解决问题的关键． 19. 某知名小吃店计划购买 ，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需 元． （1）求 ，两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买 种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当 ，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1） 种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 （2） 种食材购买 ，种食材购买 时，总费用最少，为元 【解析】 【分析】（1）设 种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设 种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得，，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设 种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克， 由题意得， 解得， 种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元； 【小问2详解】 解：设 种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得： ， 且 解得： ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为：元， 种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元． 20. 课本再现： 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点O是边的中点． 求证：． 知识应用： （2）如图2，已知：如图，中，是高，G，F分别是的中点．试判断与的位置关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）．理由见解析 【解析】 【分析】（1）延长至D，使，连接 ，证明四边形是平行四边形，由，证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）连接，由直角三角形斜边中点等于斜边的一半，证明是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一即可得出结论． 【详解】解：（1）延长至D，使，连接 ， ∵点O是边的中点， ∴， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）． 理由如下：如图，连接， ∵分别是的边上的高， ， 是直角三角形， 点G是的中点， ∴， 是等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使 ，连接．H为的中点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点O，若， ，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证是 的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接、、，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． ， ， 是 的中位线， ，． 为的中点，， ，． ， ． ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接、、， ，， ，． ∵， ． ∴四边形是平行四边形， ， ． ， ∴， ∵， ∴． 22. 定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中b叫“分移值”． （1）①函数 的“分移函数”为其中“分移值”为3，请在图1中画出其图像； ②函数 的“分移函数”为其中“分移值”为3，请在图2中画出其图像； ③已知点在的“分移函数”的图像上，则 ； （2）已知点在函数的“分移函数”的图像上，求m的值； （3）已知矩形顶点坐标为．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图像与矩形恰好有两个交点，在图3中，结合图像，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图像和性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键． （1）①根据解析式画图即可； ②根据解析式画图即可； ③待定系数法求解析式即可； （2）将点代入函数的“分移函数”的解析式，可得关于和的二元一次方程组，求解即可； （3）根据函数的“分移函数”图像与矩形的性质，通过计算函数图像分别过点和过点时的值，即可确定图像与矩形有两个交点时的取值范围． 【小问1详解】 解：①作图如下： ②作图如下： ③将点代入 ， 得， 解得， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：根据题意，设函数的“分移函数”为， 将点代入 ， 得①， 将点代入， 得②， 得， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为3， ∴， 当时，函数图像与矩形没有交点， 当时，当函数图像经过点B时，此时函数图像与矩形有一个交点， 将点代入 ， 得 ， 解得 ， 当函数图像经过点D时，此时函数图像与矩形有三个交点， 将点代入 ， 得 ， 解得， ∴当函数图像与矩形有两个交点时，k的取值范围是 ． 六．（本大题1小题，共12分） 23. 【特例感知】 （1）①在正方形中，设其边长为 ，则对角线，和 的数量关系有：____________； ②在菱形中，设其边长为 ，则对角线，和 的数量关系有：_____________； ③在矩形中，设， ，则对角线，和 ，的数量关系有：____________； 【规律探究】（2）如图1，在中，设， ，猜想对角线，和 ，的数量关系有：_____________并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，， ，，，点为的中点，求的长． 【答案】（1）；； （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果；②由四边形是菱形，得 ，，，在中，由，得到，即可得到结果；③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； （2）分别过点 ，作，，垂足分别为，．证明，运用勾股定理求出，，即可解答； （3）连接，延长至点，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：（1）①如图1.1， 四边形是正方形， ，，， ，， ； 故答案为：； ②如图1.2， ∵四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ； 故答案为：； ③如图1.3， 四边形是矩形， ，，，， ，， ； 故答案为：； （2）； 证明：如图1，分别过点 ，作，，垂足分别为，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， 设，，则，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， ； （3）如图2，连接，延长至点，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， 四边形是平行四边形， ∴由（2）结论可得， ， ，， ， ∵，， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理证明平方关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴国县2023−2024学年第二学期期末检测八年级数学试卷 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 要使二次根式有意义，则x可取的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 2. 以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ） A. 6、8、10 B. 8、15、17 C. 24、7、25 D. 4、5、6 3. 在学校举办的“数学思维挑战赛”中，有19名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己是否晋级，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这19名学生成绩的（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，碳酸钠的溶解度为 B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大 D. 要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 5. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（ ） A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③ 6. 如图，正方形的面积是4，E是的中点，点P是上的动点，则 的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 当时，二次根式的值为________． 8. 甲、乙两人各进行10次射击比赛，平均成绩均为9环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是______选填“甲”或“乙”． 9. 过点A（0，2），且与直线y=3x-4平行的直线解析式为：_________． 10. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，点D在边上，与相交于点E，若，则α，β的等量关系式为_________． 11. 如图，折叠长方形一边，使落在边上的点 处，已知，，则的长为______． 12. 在中，，有一个锐角为，，若点P在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 _____． 三．（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 如图，的对角线 相交于点O，是等边三角形，． （1）证明是矩形； （2）求的面积． 15. 如图，已知，， （1）求AB的长； （2）求的面积． 16. 如图，在矩形中，P，M分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，找出的中点E； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 17. 如图，已知在平面直角坐标系 中，直线分别交x轴、y轴于点与点，求： （1）直线的解析式； （2）若点E是线段上一点，且的面积为5，求点E的坐标． 四．（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某地区为了解该区八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了该区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数为 度； （2）补全条形统计图：在这次抽样调查中，众数为 ，中位数为 ； （3）如果该区共有八年级学生3500人，请你估计该区“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人？ 19. 某知名小吃店计划购买 ， 两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需 元． （1）求 ， 两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买 种食材千克数不少于 种食材千克数的倍，当 ， 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 20. 课本再现： 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点O是边的中点． 求证：． 知识应用： （2）如图2，已知：如图，中，是高，G，F分别是的中点．试判断与的位置关系，并加以证明． 五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使 ，连接．H为的中点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点O，若， ，求的长度． 22. 定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中b叫“分移值”． （1）①函数 的“分移函数”为其中“分移值”为3，请在图1中画出其图像； ②函数 的“分移函数”为其中“分移值”为3，请在图2中画出其图像； ③已知点在的“分移函数”的图像上，则 ； （2）已知点在函数的“分移函数”的图像上，求m的值； （3）已知矩形顶点坐标为．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图像与矩形恰好有两个交点，在图3中，结合图像，直接写出k的取值范围． 六．（本大题1小题，共12分） 23. 【特例感知】 （1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：____________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：_____________； ③在矩形中，设， ，则对角线，和，的数量关系有：____________； 【规律探究】（2）如图1，在中，设， ，猜想对角线，和，的数量关系有：_____________并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，， ，，，点为的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $