专题突破：数轴、绝对值有关问题（4大题型）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（湘教版2024）

专题突破：数轴、绝对值有关问题 绝对值问题的常用方法 1、根据已知条件去绝对值符号； 2、从数轴上读取信息去绝对值符号； 3、运用“零点分段法”分类讨论去掉绝对值符号； 4、双重绝对值一般先去里面的绝对值符号，再去外面的绝对值符号。 题型一 绝对值的化简 【例1-1】（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 【例1-2】（23-24六年级下·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 【变式1-2】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 【变式1-3】（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式1-4】（22-23七年级上·江西上饶·期中）若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2． 故答案为：或0或2． 【变式1-5】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 【答案】4 或 10 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母可能是什么数．根据已知条件中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，求出其中个字母的值的和为，进行推导即可． 【详解】解：中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，， 有个字母的值分别为，，，另个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，或，，，，， 这个字母的值分别为，，，，，，，或，，，0，0，0，0，， ， ， ； 或 ， ； 故答案为：或4． 【变式1-6】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 【变式1-7】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【变式1-8】（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面材料：    在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点分别表示数，则两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为 ； (2)当时， ；当时， ． (3)借助（2）的发现，计算：． (4)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为： ． ②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数 ． 【答案】(1)3；； (2)； (3) (4)①数轴见解析，5；②或4 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，然后进行计算即可； （2）根据去绝对值法则计算即可； （3）先去绝对值然后根据有理数的加减运算即可求解； （4）①先化简绝对值然后合并同类项即可； ②分表示x的点在表示的点的左侧，表示x的点在表示3的点的右侧，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解∶ 数轴上表示 和的两点之间的距离是∶ ， 数轴上表示数 和 -3 的两点之间的距离表示为∶ ， 故答案为∶ 3 ； ； （2）当 时， ， 当 时， ， 故答案为： ； （3）原式 ； （4）①画出数轴如下：    由数轴可知：当表示数x的点在与3之间移动时，， 故答案为：5； ②表示x的点不可能在表示和3的点之间， 当表示x的点在表示的点的左侧时，如图：    此时； 当表示x的点在表示3的点的右侧时，如图：    此时． 故答案为：或4． 题型二 绝对值的非负性 【例2】（23-24六年级下·全国·假期作业）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 【变式2-1】（22-23七年级上·四川泸州·期末）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的概念及绝对值的知识．根据互为相反数的两个数的和为0，可得与的和为0，再根据绝对值和偶次方的非负性即可分别求出，． 【详解】与互为相反数 ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）若，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值． 【详解】解：由绝对值的性质得，， ， ，， ，． 题型三 利用绝对值的几何意义求最值 【例3-1】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合图形解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：式子表示对应的点分别与到对应的点的距离和，可知当在和的中点时，即，距离和最小，最小值为， 故答案为：． 【例3-2】（23-24六年级下·上海·期末）如果，则 ． 【答案】4或/或4 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．由绝对值的性质可得，，求解即可获得答案． 【详解】解：因为， 所以，， 解得或． 故答案为：4或． 【变式3-1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【变式3-2】（2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的定义，是指一个数到0的距离，根据函数的最小值为3，得出在和的之间，且是和的之间的距离为3，列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和 ∵函数的最小值为3， ∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3 即 ∴ ∴或 故答案为：或． 【变式3-3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如可表示为数轴上和这两点的距离，而即则表示和这两点的距离．式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上发现，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，由题意可知表示的是一个数到和的距离的和，而和间的距离为，据此即可求解，理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值是解题的关键． 【详解】解：∵表示的是一个数到和的距离的和，而和间的距离为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式3-4】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程．分，和时三种情况讨论，分别列得方程，再解方程可得． 【详解】解：当时， ，解得； 当时, ，此方程无解； 当时, ，解得； 故答案为：或． 【变式3-5】（23-24七年级·全国·假期作业）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识， （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，得到x在到2之间，，即可得出结论． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； （3）表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 【变式3-6】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）阅读下面的材料： 点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，； 当两点都不在原点时， ．如图所示，点都在原点的右边， ； ．如图所示，点都在原点的左边， ； ．如图所示，点在原点的两边， ． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时， ， ． 【答案】(1)，，； (2)，或； (3)，． 【分析】（）根据两点间距离公式计算即可； （）根据两点间距离公式可得点和之间的距离是，进而由可得，解方程即可求解； （）由绝对值的性质可得当，时，取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的性质，掌握数轴上两点间的距离计算方法及绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，，； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， 当时，， ∴或， ∴或， 故答案为：，或； （3）解：∵，， ∴当，时，取最小值， ∴，， 故答案为：，． 【变式3-7】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点、，分别用数、表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是_____； (2)如果，那么的值是_____； (3)满足整数有____个； (4)如果，那么的值是_____； (5)的最小值是_____． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或； (5)． 【分析】（）根据绝对值的定义求解可得； （）根据绝对值的定义求解可得； （）根据绝对值的几何意义可知，时，求出符合条件的值即可； （）根据绝对值的几何意义进行当时和时两种情况讨论即可； （）表示数轴上到表示的点的距离之和，根据两点之间线段最短和绝对值的几何意义可知，当时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解； 本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：若，那么的值为或， 故答案为：； （2）∵， ∴或， ∴或， 故答案为: 或； （3）∵，且 ∴， ∵是整数， ∴的值有， ， ， ，， ，共个， 故答案为：； （4）由（）可得当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 故答案为：或； （5）∵的中间一项是， ∴时， 原式有最小值，， 故答案为：． 【变式3-8】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【分析】 本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【详解】（1） 解：， 故答案为:； （2） 解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 【变式3-9】（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【答案】（1）①4；②x，；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；③18 【分析】（1）①按照化简绝对值的求法即可； ②，根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离； （2）①通过观察，比较可得点在点、之间时，可使到的距离与到的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点在点处时，到，，三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：（1）①； 故答案为：4； ②， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，； （2）①点可能在点的左边，点和点之间，点的右边； 当点在点的左边或点的右边时，的长度均大于的长度； 当点在点和点之间时，的长度等于的长度． 当材料供应点在点和点之间时，到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间； ②当点在点处时，到，，三点的距离之和为的长度； 当点在除点外的任意位置时，到，，三点的距离之和均大于的长度． 材料供应点应设在点，才能使到，，三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点在点、之间时，到，，，四点的距离之和为的长度； 当点在除点、之间的任意位置时，到，，，四点的距离之和均大于的长度； 材料供应点应设在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小； 故答案为：点、点之间； （3）①， 在点和4之间．代数式的最小值； 故答案为：7； ②， 时．代数式的最小值； 故答案为：8； ③， 在2和之间，代数式的最小值； 故答案为：18． 【变式3-10】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ； (3)利用数轴，求的最小值 ； (4)当x是 时，代数式； 【答案】(1)3，4 (2)，或0 (3)3 (4)或2 【分析】本题考查两点间的距离．绝对值的意义，熟练掌握两点间的距离公式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）设表示x的点为M，表示的点为A，表示1的点为B，则是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和．结合数轴，根据点M的位置分类讨论计算即可； （4）由（3）可得当或时， 才成立，分和两种情况，去掉绝对值符号，求解即可． 【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是． 故答案为：3，4 （2）表示数x的点A和表示的点B之间的距离， 若，则点A到点B的距离为2， ∵点B表示的数是， ∴点A表示的数是或0， ∴x为或0． 故答案为：，或0 （3）设表示x的点为M，表示的点为A，表示1的点为B，则是点M与点A的距离与点M与点B的距离之和，即． 若点M在点A的左侧，即，如下图： 则， ∵， ∴； 若点M在线段上，即，如下图： ， 则， ∴； 若点M在点B的右侧，即，如下图： 则， ∵， ∴； 综上所述，，即的最小值为3． 故答案为：3 （4）由（3）可得当或时， 才成立， 当时，可化为：， 解得：， 当时，可化为：， 解得：， 综上，当或2时，． 故答案为：或2 题型四 数轴有关的动点问题 【例4】（23-24六年级上·山东烟台·期末）问题背景：落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动．如图1，电子蜗牛P、Q在长16分米的赛道上同时相向匀速运动，电子蜗牛P从A出发，速度为4分米/分钟，电子蜗牛Q从B出发，速度为2分米/分钟，当电子蜗牛P到达B时，电子蜗牛P，Q停止运动．经过几分钟P，Q之间相距8分米？ 问题解决：小颖同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为t分钟（）． (1)t分钟后点P在数轴上对应的数是______；点Q对应的数是______；（用含t的代数式表示） (2)我们知道，如果数轴上M，N两点分别对应数m，n，则．试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距8分米？ 【答案】(1) (2)4分钟或分钟 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值方程，用数轴表示有理数，熟练掌握数轴上两点距离公式和解绝对值方程的方法是解题的关键． （1）根据路程时间速度结合数轴表示有理数的方法进行求解即可； （2）根据两点距离公式得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，t分钟后点P在数轴上对应的数是，点Q在数轴上对应的数是， 故答案为：，； （2）解：，即， ∴或， 解得或， ∴经过4分钟或分钟时P、Q之间相距8分米． 【变式4-1】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 【答案】(1) (2)， (3)， (4)是，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （3）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （4）表示出线段的中点对应的数即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解：当时，动点对应的数是：； 动点对应的数是：， 故答案为：， （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是：； 动点对应的数是： （4）解：线段的中点对应的数是： 令， 解得： ∴当时，点是否为线段的中点 【变式4-2】（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【答案】(1)； (2)或； (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1），故点所对应的数是； （2）， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【变式4-3】（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． （1）根据绝对值和二次方的非负性求出的值即可得到答案； （2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可； （3）分情况进行讨论列式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 点表示的数为，点表示的数为， 线段的长为， 故答案为：； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①当点在中间，，， ， ， 解得； ②当点在点左边，，， ， ， 解得； ③当点在点右边，不符合题意； 故答案为：或． （3）解：①当点位于木棒左侧时，， 解得， ②当点位于木棒左侧时，， 解得， 当点到达点时，木棒与点同时停止移动， ， 故舍去， 故点移动的时间为秒． 【变式4-4】（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： (2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； (3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示） (4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)A表示，B表示，C表示4，图见解析； (2)6；或3； (3)； (4)不会变化，理由见解析． 【分析】本题考查了数轴，解一元一次方程以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）根据题意分别表示出距离求出坐标，画出图形； （2）根据距离公式得出的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； （4）表示出和，再相减即可得出结论． 【详解】（1）A：，即，A表示， B：，即，B表示， C：，即，C表示4， A、B、C三点的位置如图所示： （2）（cm）； 设D表示的数为a， ， ，解得：或， 点D表示的数为或3； 故答案为：6；或3； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； 故答案为： （4）的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：平移后，cm ， ， ， 的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：数轴、绝对值有关问题 绝对值问题的常用方法 1、根据已知条件去绝对值符号； 2、从数轴上读取信息去绝对值符号； 3、运用“零点分段法”分类讨论去掉绝对值符号； 4、双重绝对值一般先去里面的绝对值符号，再去外面的绝对值符号。 题型一 绝对值的化简 【例1-1】（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【例1-2】（23-24六年级下·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【变式1-1】（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【变式1-3】（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【变式1-4】（22-23七年级上·江西上饶·期中）若，则 ． 【变式1-5】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 【变式1-6】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【变式1-7】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式1-8】（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面材料：    在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点分别表示数，则两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为 ； (2)当时， ；当时， ． (3)借助（2）的发现，计算：． (4)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为： ． ②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数 ． 题型二 绝对值的非负性 【例2】（23-24六年级下·全国·假期作业）若，则 ， ． 【变式2-1】（22-23七年级上·四川泸州·期末）若与互为相反数，则 ． 【变式2-2】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）若，求，的值． 题型三 利用绝对值的几何意义求最值 【例3-1】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）的最小值为 ． 【例3-2】（23-24六年级下·上海·期末）如果，则 ． 【变式3-1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【变式3-2】（2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【变式3-3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如可表示为数轴上和这两点的距离，而即则表示和这两点的距离．式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上发现，则的最小值为 ． 【变式3-4】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【变式3-5】（23-24七年级·全国·假期作业）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【变式3-6】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）阅读下面的材料： 点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，； 当两点都不在原点时， ．如图所示，点都在原点的右边， ； ．如图所示，点都在原点的左边， ； ．如图所示，点在原点的两边， ． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时， ， ． 【变式3-7】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点、，分别用数、表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是_____； (2)如果，那么的值是_____； (3)满足整数有____个； (4)如果，那么的值是_____； (5)的最小值是_____． 【变式3-8】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【变式3-9】（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【变式3-10】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ； (3)利用数轴，求的最小值 ； (4)当x是 时，代数式； 题型四 数轴有关的动点问题 【例4】（23-24六年级上·山东烟台·期末）问题背景：落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动．如图1，电子蜗牛P、Q在长16分米的赛道上同时相向匀速运动，电子蜗牛P从A出发，速度为4分米/分钟，电子蜗牛Q从B出发，速度为2分米/分钟，当电子蜗牛P到达B时，电子蜗牛P，Q停止运动．经过几分钟P，Q之间相距8分米？ 问题解决：小颖同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为t分钟（）． (1)t分钟后点P在数轴上对应的数是______；点Q对应的数是______；（用含t的代数式表示） (2)我们知道，如果数轴上M，N两点分别对应数m，n，则．试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距8分米？ 【变式4-1】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 【变式4-2】（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【变式4-3】（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 【变式4-4】（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： (2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； (3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示） (4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$