专题训练：有理数的运算精练题-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（湘教版2024）

有理数的运算精练题 有理数的混合运算 1．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： 2．（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算：． 3．（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算：． 4．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 5.（24-25七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． 7.（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 8．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 等比数列求和问题 1．（宁夏固原·一模）根据下列材料，解答问题． 等比数列求和： 概念：对于一列数a1，a2，a3，…an…（n为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即＝q（常数），那么这一列数a1，a2，a3，…，an，…成等比数列，这一常数q叫做该数列的公比． 例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和， 解：令S＝1+3+32+33+…+3100 则3S＝3+32+33+…+3100+3101 因此，3S﹣S＝3101﹣1，所以S＝即1+3+32+33…+3100＝ 仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52018的和为 ． 2．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 3．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 裂项相消法 1．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)求的值； (2)计算：的值． (3)求的值． 2．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察： ， ， ；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 有理数的运算精练题 有理数的混合运算 1．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式先计算乘方，中括号内的乘方、除法和减法，然后再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案 【详解】解： 2．（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据含有乘方的有理数混合法则计算即可，本题考查了含有有理数乘方的混合运算，正确理解运算顺序，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 3．（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据含有乘方的有理数混合法则计算即可，本题考查了含有有理数乘方的混合运算，正确理解运算顺序，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 4．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算， 按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解：原式 ． 5.（24-25七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算． 【答案】 【分析】假本题考查了有理数四则混合运算，设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算． 【详解】解：假设，， 原式 ． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数乘法运算律，令，，将原式改写成含字母A、B的式子，再根据乘法分配律将式子化简，最后再把A、B换回原来的式子计算出结果． 【详解】解：令，， 原式 ． 7.（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 【答案】 【分析】利用拆项法将分数拆成整数和分数的和差形式，把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解： 8．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可； （2）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 等比数列求和问题 1．（宁夏固原·一模）根据下列材料，解答问题． 等比数列求和： 概念：对于一列数a1，a2，a3，…an…（n为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即＝q（常数），那么这一列数a1，a2，a3，…，an，…成等比数列，这一常数q叫做该数列的公比． 例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和， 解：令S＝1+3+32+33+…+3100 则3S＝3+32+33+…+3100+3101 因此，3S﹣S＝3101﹣1，所以S＝即1+3+32+33…+3100＝ 仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52018的和为 ． 【答案】 【分析】直接利用有理数的混合运算法则以及结合已知例题分析得出答案． 【详解】解：令S＝1+5+52+53+…+52017+52018 则5S＝1+5+52+53+…+52017+52019 因此，5S﹣S＝52019﹣1，所以S＝． 故答案为． 2．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 【答案】（1）3，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，数的规律探究．理解题意并正确的运算是解题的关键． （1）由题意知，，第5项是，计算求解即可； （2）由题意知，，然后作答即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）令，则，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，第5项是， 故答案为：3，； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， 解得，， ∴． （4）解：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 3．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ∴． 裂项相消法 1．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)求的值； (2)计算：的值． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据裂项相消可得结果； （2）仿照解析（1）采用裂项的方法进行解答即可； （3）根据裂项相消可得结果； 解题的关键是熟练掌握裂项的方法，准确计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察： ， ， ；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算： （1）根据题目中的等式，可以写出相应的猜想； （2）根据题目中的式子，通过裂项求和法可以求得所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，先提，再通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$