精品解析：2024年辽宁省抚顺市新抚区九年级下学期教学质量检测数学试题（四）

2023—2024学年度（下）学期教学质量检测 九年级数学试卷（四） （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分） 1. 温度由﹣4℃上升7℃是（　　） A. 3℃ B. ﹣3℃ C. 11℃ D. ﹣11℃ 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适 B. “煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件 C. 一组数据的中位数可能有两个 D. 从分别标有－1、1、2的三张卡片中一次抽取2张，卡片上的两个数的乘积为负数的概率是 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 9. 甲、乙两人沿同一直线同时同向出发去往地，运动过程中甲、乙两人离地的距离（）与出发时间（）的关系如图所示，则甲到达地时两人相距（ ） A. B. C. D. 10. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 华为公司上市的手机搭载的是自主研发的首款制程技术的手机芯片，，将0.000000005用科学记数法表示为______． 12. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 13. 分解因式：______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于轴，过点作的垂线，交于点，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点，若的面积为6，则k的值为______． 15. 如图，点D是等边边上一动点，线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点E，若，，则的长是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）解二元一次方程组． 17. 某校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．该学校七、八两个年级各有学生300人，现随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示． （数据分成5组：，，，，） c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示． d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 81 m 167.9 八年级 82 79.5 108.3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，求出表中m的值； （2）估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人； （3）若本次竞赛成绩达到80分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八两个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由． 18. 某大型超市用6000元购进一批苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又紧急调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的千克数是试销时的2倍． （1）试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ （2）若两批苹果按相同的标价销售，要使两批苹果全部售完后获利不低于4360元（不考虑其他因素），且最后的400千克苹果按8折（“8折”即定价的）优惠售出，那么每千克苹果的标价至少是多少元？ 19. 小澎家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），出水把手完全开启后，把手的仰角，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，是竖直线，，洗手盆及水龙头的相关数据如图2：（单位）． （1）求此时把手端点A到的距离； （2）求的长．（精确到1cm）（参考数据：，，） 20. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量本与每本纪念册的售价元之间满足一次函数关系；当销售单价为元时，销售量为本；当销售单价为元时，销售量为本． （1）求出与的函数关系式； （2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，将矩形ABCD（）沿对角线BD翻折，点C的对应点为点，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，与相切于点E，延长DA交于点F，连接EF交AB于点G． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 22. 正方形中，点E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，将沿直线折叠后，点A落在点处，连接． （1）如图1，当，时，求的度数； （2）如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：； （3）拓展推升 如图3，若把正方形改成菱形，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠后，点A落在点处，的延长线与边相交于点F，，当，时，请求出的面积． 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）如图1，点为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）若点，是抛物线图象上的两点，若，之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度（下）学期教学质量检测 九年级数学试卷（四） （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分） 1. 温度由﹣4℃上升7℃是（　　） A. 3℃ B. ﹣3℃ C. 11℃ D. ﹣11℃ 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据题意列出算式，再利用加法法则进行计算即可得． 【详解】-4+7=3， 所以温度由﹣4℃上升7℃是3℃， 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式，熟练掌握各运算法则和公式是解题关键． 3. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意， 故答案选：C． 【点睛】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的存在性，熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 是关于的一元二次方程， ， 的最小整数值为． 故选：D． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先解出不等式组的解集，将解集表示到数轴上，做出选择即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适 B. “煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件 C. 一组数据的中位数可能有两个 D. 从分别标有－1、1、2的三张卡片中一次抽取2张，卡片上的两个数的乘积为负数的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图的特点、不可能事件的定义、中位数的定义、用列表法或树状图及概率公式求概率逐一进行判断即可求解． 【详解】解：为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故A选项不符合题意； “煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故B选项不符合题意； 一组数据的中位数不可能有两个，故C选项不符合题意； 从分别标有－1、1、2的三张卡片中一次抽取2张，列表如下： 1 2 1 2 共有6种等可能的结果，其中卡片上的两个数的乘积为负数的结果有4种， ∴卡片上的两个数的乘积为负数的概率是，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查折线统计图的特点、不可能事件的定义、中位数的定义、用列表法或树状图及概率公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接AD， 由作图知：DE是线段AC的垂直平分线， ∴AD=CD=3， ∴∠DAC=∠C， ∵AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=120°-∠DAC=90°， ∴BD=2AD=6， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质． 8. 如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正五边形的内角和求出的度数，再利用扇形的面积公式即可得． 【详解】解：五边形是边长为6的正五边形， ， 则图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积、正五边形，熟练掌握正五边形的内角和是解题关键． 9. 甲、乙两人沿同一直线同时同向出发去往地，运动过程中甲、乙两人离地的距离（）与出发时间（）的关系如图所示，则甲到达地时两人相距（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息． 由图象可知，甲距离地，乙距离地，用时，进而求得甲的速度为，甲到达地共用时；从而即可得解． 【详解】解：由图象可知，甲距离地，乙距离地，用时， ∴乙的速度为， ∴小时时，甲、乙离地的距离为， ∴甲的速度为， ∴甲到达地共用时； ∴甲到达地时，乙的路程为，此时两人相距 故选． 10. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后选择即可． 【详解】由题意得，2x+y=10， 所以，y=-2x+10， 由三角形的三边关系得，， 解不等式①得，x＞2.5， 解不等式②的，x＜5， 所以，不等式组的解集是2.5＜x＜5， 正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 华为公司上市的手机搭载的是自主研发的首款制程技术的手机芯片，，将0.000000005用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：将0.000000005用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为0解答即可． 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负和分式的分母不为0是解题的关键． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键． 原式提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于轴，过点作的垂线，交于点，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点，若的面积为6，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值的几何意义是关键． 延长交轴于点，利用得到，再利用相似比得到，继而求出，再根据值几何意义求出即可． 【详解】解：如图，延长交轴于点， ，的面积为6， ， 轴，， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 故答案为：． 15. 如图，点D是等边边上一动点，线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点E，若，，则的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】证明得，，证明得，作于点M，根据勾股定理求出，，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． 由旋转的性质得，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 如图，作于点M， ∵， ∴， ∴，． 当点D靠近点C时，， ∴， ∴； 当点D靠近点A时， ， ∴， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三线合一等知识，分类讨论是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）解二元一次方程组． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查实数的运算和解二元一次方程方程组． （1）根据负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算即可求解； （2）利用加减消元法解方程组． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 由①得③， 把③代入②：， 解得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：． 17. 某校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．该学校七、八两个年级各有学生300人，现随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示． （数据分成5组：，，，，） c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示． d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 81 m 167.9 八年级 82 79.5 108.3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，求出表中m的值； （2）估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人； （3）若本次竞赛成绩达到80分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八两个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由． 【答案】（1） 补全图形如下： （2）165人． （3） 七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多． 理由： 八年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为： （人）， 七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：（人）， ∵， ∴七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，画条形统计图，中位数，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出七年级成绩位于的人数，再补全图形，结合中位数（偶数个数据，取中间位置的数的平均数作为中位数）进行作答即可． （2）分别算出八年级成绩优秀的所占的百分比为，再乘上八年级人数得出八年级优秀人数为人，再加上七年级成绩达到优秀的学生人数，即可得出学生共约有165人进行作答． （3）分别算出八年级获得参加挑战赛的机会的学生人数和七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数，结合，则七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多． 【小问1详解】 解：依题意，（人） 七年级成绩位于的有人， 七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83， ∴七年级成绩的中位数； 【小问2详解】 解：根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为 ∴八年级成绩优秀的所占的百分比为， ∴八年级成绩达到优秀的学生约有（人）， 七年级成绩达到优秀的学生约有人， ∴（人）， 答：七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共约有165人． 【小问3详解】 略 18. 某大型超市用6000元购进一批苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又紧急调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的千克数是试销时的2倍． （1）试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ （2）若两批苹果按相同的标价销售，要使两批苹果全部售完后获利不低于4360元（不考虑其他因素），且最后的400千克苹果按8折（“8折”即定价的）优惠售出，那么每千克苹果的标价至少是多少元？ 【答案】（1）试销时该品种苹果的进价是每千克6元． （2）每千克苹果的标价至少是8元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出分式方程和算式是解题的关键． （1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，根据等量关系“本次购进数量试销时的数量”列出分方程求解即可． （2）先求出试销时和第二次进的苹果质量，再根据“两批苹果全部售完后获利不低于4360（不考虑其他因素），且最后的400千克苹果按8折（“8折”即定价的）优惠售出”列出不等式计算即可． 【小问1详解】 解：设试销时该品种苹果的进价是每千克x元， 依题意可得：， 解得． 检验，把代入， ∴是原方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种苹果的进价是每千克6元； 【小问2详解】 解：设每千克苹果标价为m元， 试销苹果质量为（千克）， 第二次苹果质量为（千克）， （元）． 答：每千克苹果的标价至少是8元． 19. 小澎家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），出水把手完全开启后，把手的仰角，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，是竖直线，，洗手盆及水龙头的相关数据如图2：（单位）． （1）求此时把手端点A到的距离； （2）求的长．（精确到1cm）（参考数据：，，） 【答案】（1）点A到的距离约是． （2）的长约为． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，解答此类问题的关键是先构造出直角三角形，再由直角三角形的性质进行解答． （1）过点A作于点G，交BM于N，过D作于点Q，中，解直角三角形得到，然后证明出四边形DQNM是矩形，进而求解即可； （2）首先由勾股定理求出，然后证明出，得到，然后代数得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：过点A作于点G，交BM于N，过D作于点Q， 中，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 答：点A到的距离约是； 【小问2详解】 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：的长约为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的性质和判定的应用，勾股定理，矩形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量本与每本纪念册的售价元之间满足一次函数关系；当销售单价为元时，销售量为本；当销售单价为元时，销售量为本． （1）求出与的函数关系式； （2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）设与的关系式为，根据题意，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意列出关于的函数关系式，，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设与的关系式为， 把与代入， 得：， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意可得： ， ∵每本纪念册的售价不低于元且不高于元， ， ∴当时，最大，， 答：该纪念册销售单价定为元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 21. 如图，将矩形ABCD（）沿对角线BD翻折，点C的对应点为点，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，与相切于点E，延长DA交于点F，连接EF交AB于点G． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 四边形是矩形， ，， ， 与相切于点， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，由矩形的性质得，则，由切线的性质得，则，所以，则； （2）由，，，得，则，所以，所以，由折叠得，求得，则，，所以，即可根据弧长公式求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， ，， ， 由折叠得， ， ，， ， ， 的长是． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 正方形中，点E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，将沿直线折叠后，点A落在点处，连接． （1）如图1，当，时，求的度数； （2）如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：； （3）拓展推升 如图3，若把正方形改成菱形，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠后，点A落在点处，的延长线与边相交于点F，，当，时，请求出的面积． 【答案】（1） （2）证明：∵，，， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先由翻折可知，，从而求得，再根据平行线的性质得，然后由三角形内角和定理求银即可； （2）根据三角形全等和翻折的性质得出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可； （3）过E作，交DA延长线于点H，解，求得，．在中，由勾股定理得：，即，再证明，得到，得到，即，求得，然后由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 由翻折可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过E作，交延长线于点H，如图3， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得：， 即， 由翻折知，，又， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形翻折问题，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形判定与性质，综合运用正方形与折叠的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形判定与性质是解题的关键． 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）如图1，点为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）若点，是抛物线图象上的两点，若，之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值． 【答案】（1），． （2）． （3）的值是或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定； （1）根据一次函数解析式，先求得，，进而待定系法求二次函数解析式，即可求解； （2）过点作，垂足为点，过点作轴交于点，过点作轴交于点．证明得出，设，则，，进而得出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． （3）分四种情况讨论，①，在对称轴的左侧，②当，位于对称轴的两侧，且点离对称轴远，当，位于对称轴的两侧，且点离对称轴远，③当，均在对称轴的右侧，即，，分别画出图形，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 把代入中，， 把代入中，， ∴，． 把和代入中, 得， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴． 【小问2详解】 过点作，垂足为点，过点作轴交于点，过点作轴交于点． ， ，， ， ， ，， ， 即， 设，则，， ，， ， ，抛物线开口向下， 当时，最大，最大值为． 【小问3详解】 ． ①，在对称轴的左侧，当， 即时，， 即， 解之，（不合题意，舍去）． ②当，位于对称轴的两侧，且点离对称轴远， 即，且， 即时，， ，（不合题意，舍去）． 当，位于对称轴的两侧，且点离对称轴远， ，且， 即，， ，（不合题意，舍去）． ③当，均在对称轴的右侧，即，， ， ，（不合题意，舍去），综上，的值是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $