精品解析：四川省成都市成华区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下期期末学业水平监测 七年级数学 注意事项： 1．全卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，全卷总分150分；考试时间120分钟． 2．请在答题卡上作答，答在试卷、草稿纸上无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．A卷的第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔填涂作答；其他题，请用黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 4. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：若鸭的质量为时，烤制时间为（ ）． 鸭的质量 1 2 3 烤制时间 40 60 80 100 120 140 A. 158 B. 160 C. 162 D. 164 6. 已知某小组10名学生中有6名男生和4名女生，若从这10名学生中随机抽取一名担任学校的安全宣传员，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图线段两两相交于三点，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 8. 地铁给人们带来了快捷、便利的生活，同时也是疏导交通、解决拥堵的最佳方式．现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长度（米）与挖掘时间（天）之间的关系如图所示，现有下列说法：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④当时，甲、乙两队所挖隧道长度一样；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 芯片，又称微电路（）、微芯片（microchip）、集成电路（英语：i，）．是指内含集成电路硅片，体积很小，常常是计算机或其他电子设备的一部分．某芯片采用5纳米制造工艺，5纳米是0.0000005厘米，将数据0.0000005用科学记数法表示为__________． 10. 已知，，则__________． 11. 一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是__． 12. 如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若的度数为，则的度数为_______． 13. 如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，周长为，则的周长为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1） （2） （3） 15. 先化简再求值：若，满足，求的值． 16. 如图，每一个小正方形的边长为1． （1）画出格点关于直线对称； （2）求的面积． 17. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： 调查问卷 在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A．文学 B．科技 C．艺术 D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． （1）本次调查采用的调查方式为________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）在这次调查中，抽取的学生一共有________人；扇形统计图中的值为_________；选择“艺术”类课外活动的有________人； （3）若该校共有1200名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有________人． 18. 在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接． （1）如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由； （2）如图2，在（1）条件下，过点作，垂足为，若，，请求的长； （3）如图3，当时，连接，若，，请求的面积． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知实数，满足，，则代数式的值为_________． 20. 已知，则_________． 21. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 22. 已知中，为边上高，，，则的度数_________． 23. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为___________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． （1）如图1，与的数量关系是________，理由是________； （2）如图1，点在上，若，求的度数； （3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方且在直线右侧时，这两块三角尺存在一组边互相平行的情况，请直接写出所有可能的值． 25. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形； （1）直接写出图2中阴影部分的正方形的边长__________；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系_________； （2）若，，运用你所得到的公式，试求的值； （3）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两侧作正方形，两正方形的面积和，图中阴影部分面积为，求的长度． 26. 已知是等边三角形． （1）如图1，点、分别为，边上的点，，连接，相交于点．求的度数； （2）如图2，，点在边上，点在射线上，与相交于点，且． ①求证：； ②作于点，当点在边上移动时，请同学们探究线段，，之间的数量关系，并对结论加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下期期末学业水平监测 七年级数学 注意事项： 1．全卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，全卷总分150分；考试时间120分钟． 2．请在答题卡上作答，答在试卷、草稿纸上无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．A卷的第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔填涂作答；其他题，请用黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则，同底数幂的除法运算法则，一一计算判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件， 故选：D． 4. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高． 故选：D 5. 某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：若鸭的质量为时，烤制时间为（ ）． 鸭的质量 1 2 3 烤制时间 40 60 80 100 120 140 A. 158 B. 160 C. 162 D. 164 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格得出函数解析式，是解题的关键．根据表格信息，得出鸭蛋质量与烤制时间之间的关系式，然后代入确定函数值即可． 【详解】解：设鸭子质量为，烤制时间为，根据表格中的数据可知：当鸭子质量每增加，烤制时间增加，放鸭子前，烤箱的预热时间为：， ∴鸭子质量与烤制时间之间的关系式为：， 则鸭子的质量为时，烤制时间为： ， 故选：B． 6. 已知某小组10名学生中有6名男生和4名女生，若从这10名学生中随机抽取一名担任学校的安全宣传员，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率；解题的关键是熟练掌握概率公式．根据概率公式求解即可． 【详解】解：总人数为人， 抽取一名担任学校的安全宣传员，共有种等可能结果， 恰好抽到男生的可能有种， 则恰好抽到男生的概率为：， 故选：A． 7. 如图线段两两相交于三点，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、对顶角定义等知识，在中，在中，在中及在中，根据三角形内角和定理，得到相关角度的等式，再由对顶角定义等量代换即可得到答案，数形结合，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则； 在中，，则； 在中，，则； ， ，，， 在中，，则， ， 故选：B． 8. 地铁给人们带来了快捷、便利的生活，同时也是疏导交通、解决拥堵的最佳方式．现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长度（米）与挖掘时间（天）之间的关系如图所示，现有下列说法：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④当时，甲、乙两队所挖隧道长度一样；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获得信息．①②由题中图象分析，利用工作效率工作总量工作时间解题；③根据图象，乙队的时间分两次算，再与甲队作比较；④根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：①根据题中函数图象得：甲队每天挖（米/天），故①正确； ②根据题中函数图象，得： 乙队开挖2天后每天挖：（米/天），故②正确； ③乙队完成任务的时间为：（天）， （天）， ∴甲队比乙队提前2天完成任务，故③正确； ④甲、乙两队所挖隧道长度一样时：， 解得：， 即当时，甲、乙两队所挖隧道长度一样，故④正确， 综上分析可知，正确的有4个， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 芯片，又称微电路（）、微芯片（microchip）、集成电路（英语：i，）．是指内含集成电路的硅片，体积很小，常常是计算机或其他电子设备的一部分．某芯片采用5纳米制造工艺，5纳米是0.0000005厘米，将数据0.0000005用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故答案为：． 10. 已知，，则__________． 【答案】37 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：37． 11. 一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是__． 【答案】10 【解析】 【详解】已知三角形的两边长是2和4，根据三角形的三边关系可得第三边大小要大于2 小于6， 又因为第三边长是偶数， 所以第三边是4， 即可得周长=2+4+4=10. 故答案为：10． 12. 如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若的度数为，则的度数为_______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握轴对称相关性质是解答本题的关键． 根据对折的性质可知，，由平行线性质得到，再利用三角形内角和求出，根据对顶角相等可得到的度数． 【详解】解：如图，根据折叠的性质可知，， 两边沿互相平行， ， ， ， 根据对顶角相等，． 故答案为：． 13. 如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由题意得垂直平分， ， 的周长为， ， ， 即， ． 故答案为：32． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）1；（3）0 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，实数混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据幂的乘方，同底数幂乘法和除法进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据零指数幂和负整数指数幂进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 15. 先化简再求值：若，满足，求的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，整式化简求值，先根据非负数的性质得出，，然后根据整式混合运算法则进行化简，再代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ， 把，代入得： 原式 ． 16. 如图，每一个小正方形的边长为1． （1）画出格点关于直线对称的； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）利用所在矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：即为所求作的三角形，如图所示： ； 【小问2详解】 解：的面积． 17. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： 调查问卷 在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A．文学 B．科技 C．艺术 D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． （1）本次调查采用的调查方式为________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）在这次调查中，抽取的学生一共有________人；扇形统计图中的值为_________；选择“艺术”类课外活动的有________人； （3）若该校共有1200名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有________人． 【答案】（1）抽样调查 （2）200，22，36 （3）420 【解析】 【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查，条形统计图，扇形统计图和概率公式，正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题关键． （1）根据抽样调查定义即可得出答案； （2）由喜欢文学的人数除以其所占百分比可得总人数，用喜欢体育的人数除以总人数可求出的值，用200乘以选择“艺术”类的百分比即可； （3）用1200乘以选择“文学”类的百分比即可． 【小问1详解】 本次调查采用的调查方式为抽样调查； 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 （人，，， 在这次调查中，抽取的学生一共有200人；扇形统计图中的值为22，选择“艺术”类课外活动的有36人； 故答案为：200，22，36； 【小问3详解】 估计选择“文学”类课外活动的学生有（人， 故答案为：420． 18. 在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接． （1）如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为，若，，请求的长； （3）如图3，当时，连接，若，，请求的面积． 【答案】（1）全等；见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，作适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键. （1）先证明： 从而可得结论； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； （3）过作，交于，证明，设，则，，再求解，从而可得答案. 【小问1详解】 证明：全等，理由如下： ∵在中，， 点是的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过作，交于，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴， 即， 设，则，， ∴， ， ， ∴， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知实数，满足，，则代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为： 20. 已知，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂相乘，解题关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘法则．先把27和81写成底数是3的幂，然后把已知等式的左边按照幂的乘方法则和同底数幂相乘法则进行计算，从而求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：4． 21. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与判定，过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 故答案为：． 22. 已知中，为边上的高，，，则的度数_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，掌握三角形的内角和等于是解题的关键．分为两种情况，画出图形，求出的度数，即可得出答案． 【详解】分为两种情况：①如图1， 为边上高， ， ， ， ， ； ②如图2， 为边上的高， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 23. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最短线段问题及线段的垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小，根据面积法求得，再根据线段垂直平分线的性质可得答案． 【详解】如图，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． （1）如图1，与的数量关系是________，理由是________； （2）如图1，点在上，若，求的度数； （3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方且在直线右侧时，这两块三角尺存在一组边互相平行的情况，请直接写出所有可能的值． 【答案】（1）；同角的余角相等 （2） （3）或或 【解析】 【分析】此题主要考查了垂线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，准确识图，理解垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）依题意得，，由此可得与的数量关系及理由； （2）由得，进而可得，然后再由三角形内角和定理可得的度数； （3）根据点在直线的上方且在直线右侧，则有以下三种情况：①时，过点作则，进而得，，由此可得的度数；②时，则，由此可得的度数；③当时，则，由此可得的度数，综上所述即可得出所有可能的值． 【小问1详解】 依题意得：，， ，， （同角余角相等）， 故答案为：；同角的余角相等． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 点在直线的上方且在直线右侧， 当这两块三角尺存在一组边互相平行时，有以下三种情况： ①时，过点作，如图2所示： ， ，， ， ； ②时，如图3所示： ， ； ③当时，如图4所示： ， ． 综上所述：所有可能的值或或． 25. 图1是一个长为、宽为长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形； （1）直接写出图2中阴影部分的正方形的边长__________；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系_________； （2）若，，运用你所得到的公式，试求的值； （3）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两侧作正方形，两正方形的面积和，图中阴影部分面积为，求的长度． 【答案】（1）， （2）或； （3）9 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式及应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积． （1）用代数式表示阴影部分正方形的边长即可求周长，再结合图2表示大正方形面积，利用等面积法可得答案； （2）利用（1）结论，先计算即可得到答案； （3）设，，根据已知求出即可得到结果． 【小问1详解】 由题意得，阴影部分的正方形边长为， 大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：， 大正方形边长为，故面积也可表达为：， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 由（1）知：； ，， ； 或； 【小问3详解】 设，； ，图中阴影部分面积为， ，， ， ， ， 解得或（舍去）， ． 26. 已知是等边三角形． （1）如图1，点、分别为，边上的点，，连接，相交于点．求的度数； （2）如图2，，点在边上，点在射线上，与相交于点，且． ①求证：； ②作于点，当点在边上移动时，请同学们探究线段，，之间的数量关系，并对结论加以证明． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质证明，可得，再结合三角形的外角的平分线可得结论； （2）①如图，过作，证明为等边三角形，可得，，再证明，可得； ②延长过点F作于点G，连接，过点D作于点N，过点D作于点M，证明得出，证明得出，证明为等边三角形，得出，证明得出，根据线段间的关系，即可得出结论； 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①如图，过作交于T， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； ②；理由如下； 延长，过点F作于点G，连接，过点D作于点N，过点D作于点M，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形全等判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$