数学建模 建立统计模型进行预测 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 春季 课题 数学建模 建立统计模型进行预测 教科书 书 名：普通高中教科书 数学 选择性必修第三册（A版） 出版社：人民教育出版社 教学目标 1. 通过一个完整的案例经历建立统计模型进行预测的一般过程，进一步理解回归模型的方法和意义，了解信息技术在数学建模中的运用； 2. 会用数学建模思想解决一些实际生活中一些简单问题； 3. 在数据处理过程中，能通过计算机利用软件完成画图，计算等数据处理，培养数学建模、数学运算和数据分析的核心素养 教学内容 教学重点： 1.运用一元（多元）线性回归分析的方法，建立回归模型，分析PM2.5浓度与汽车流量（或影响PM2.5浓度的其他原因）之间的关系，并进行预测. 2.数学建模活动的四个关键环节，数学建模的一般步骤和方法. 教学难点： 1.将实际问题抽象成数学问题. 2.数学建模活动的一般步骤和方法. 3.统计软件的运用. 教学过程 整体设计思路 本节是一节数学建模课，整体想法是从现实问题→数学问题→现实问题→数学学习.整 个教学分成6个环节，环节一引入背景，提出问题，环节二分析问题，明确问题，环节三建立数学模型，解决问题，环节四为模型应用与实践，环节五是模型反思与模型优化，环节六课堂小结，其中前五个环节以数学建模的基本过程贯穿引导，环节六是对数学建模之建立统计模型进行预测的一个小结. 整堂课教师利用问题串形成教学主线，教师主导，学生主体，共同体验数学建模的全过程. 具体教学过程 环节一 引入背景 提出问题 1.1引入背景 首先借助中央电台13频道播出的关于PM2.5及其对人体危害的知识介绍引入研究背景.带给学生社会需要解决PM2.5问题的迫切感，如图-1. 图-1 PM2.5的相关知识介绍 然后引入课本关于研究PM2.5影响因素的背景提醒学生其实可以借助数据研究问题. 背景：大气污染物PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物，其浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究PM2.5浓度是否受到汽车流量、气候状况等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点 24 h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段的平均气温（单位：℃）、风速（单位：m/s）、空气湿度（绝对湿度，单位：g/m3）以及空气中PM2.5的平均浓度（单位：μg/m3），得到的数据如表1所示： 1.2 提出问题 我们希望通过这些数据，定量探究与PM2.5浓度相关的影响因素，为作出控制空气污染的决策提供依据. 设计意图：希望学生能够从现实问题发现问题，提出问题 表1 24个城市交通点空气中PM2.5浓度检测数据 环节二 分析问题 明确问题 2.1研究困难：影响PM2.5浓度的原因比较复杂，我们甚至不能确切的了解PM2.5产生的深层次原因.我们只能借助数据去判断PM2.5浓度与可能因素之间的关系. 2.2简化问题、明确问题：研究PM2.5浓度与其中一个可能因素的关系,这是一个成对数据统计相关性问题. 2.3 确定研究方法和研究内容： 采用回归分析的方法，从三个方面进行研究： 统计描述：即直观描述成对样本数据的统计相关性. 统计建模与推断：即建立回归模型，检验并估计模型参数 统计应用：即利用模型进行统计预测或控制. 设计意图：希望学生能够合理分析问题，并根据所学知识确定研究方向、内容和方法 环节三 建立模型 解决问题 3.1分析研究的基本思路 图2 回归分析的基本流程 3.2 研究过程 具体操作：首先由教师带着学生一起用GGB软件进行探究，为了更好示范，教师将以动画的动态的形式演示操作全过程.然后在过程中关键节点停下讲解： 节点1：绘制散点图，读取散点图信息 观察散点图，我们发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表示PM2.5浓度与汽车流量正线性相关. 问题1 PM2.5浓度是否随汽车流量的增加而增加？ 问题2 PM2.5浓度与汽车流量的关系是线性关系还是非线性关系？ 节点2：建立线性回归方程： 图3 PM2.5浓度关于汽车流量的散点图 问题3 汽车流量每增加100辆，PM2.5浓度平均增加多少？ 答：注意单位：100辆是0.1千辆，由回归方程知，增加0.1，增加即 . 停顿点3. 绘制残差散点图 问题4 汽车流量对PM2.5浓度的影响是否具有统计学意义？ 我们从三个方面来看，通过残差散点图，可以发现，残差比较均匀的分布在横轴的两侧，且 残差成正态分布，说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，均值为0，拟合效果较好. 图5 残差直方图 同时我们看到样本相关系数为0.82，说明PM2.5浓度与汽车流量正线性相关程度比较强.决定系数R2为0.6725.，说明回归方程是有效的.也就是说此回归方程很好的刻画了PM2.5浓度与汽车流量之间的关系.图4 残差散点图 问题5 能否由汽车流量预测大气中PM2.5的浓度？ 问题6 如何通过控制汽车流量达到控制空气中PM2.5浓度的目的？ 设计意图：示范一般进行回归分析的GGB软件操作流程，同时引导学生能够围绕研究问题提出问题并回答问题，为环节四的应用做好铺垫. 环节四 模型应用与实践 4.1应用 我国规定空气中PM2.5浓度的安全标准为年平均浓度35μg/m3，24 h平均浓度75μg/m3 .16号城市为使24 h PM2.5浓度的平均值符合国家安全标准，则该城市24 h 汽车流量应如何控制？ 解：由回归方程知 ：当时，（千辆） 因此，16号城市24 h 汽车流量应控制在1260辆以内. 问题7 是否有通过控制汽车流量达到控制空气中PM2.5浓度的案例？ 设置问题7主要是通过北京、伦敦、新德里在空气质量较差时实施汽车单双号限行政策以降低污染程度，用来突出PM2.5与汽车流量的相关性，佐证我们推断的正确性，可以通过控制汽车流量以控制大气中PM2.5浓度. 图6 各地施行车辆限行降低污染程度 问题8上述回归方程可以用来预测其他城市的PM2.5浓度吗？ 如果该城市是与样本里24个城市的社会经济发展一致，可以估计，若不是，也可能会存在很大误差. 设计意图：通过具体问题的应用，让学生真正理解如何用汽车流量来控制PM2.5浓度，同时通过现实社会的应用案例加以佐证模型的有效性. 环节五 模型反思 模型优化 5.1 继续探究PM2.5浓度与其他可能影响因素的关系 问题9： 观察下图PM2.5浓度与汽车流量的散点图，你还什么发现？ 图7 PM2.5浓度与汽车流量的散点图(*) 我们除了发现PM2.5浓度随着汽车流量的增加呈线性增长以外，还发现汽车流量相近时，PM2.5的浓度有时相差很大，说明PM2.5浓度除了受汽车流量的影响外，可能还受到已知或未知的因素（如风速、空气湿度、空气温度等）影响.下面请同学们依照我们刚才的研究方法和过程，自选软件研究影响PM2.5浓度的其他因素风速、空气湿度、空气温度与PM2.5浓度的回归模型.请学生分享研究结果，研究结果如图7，图8，图9所示. 图8 PM2.5浓度与风速的回归分析 图9 PM2.5浓度与湿度的回归分析 图10 PM2.5浓度与气温的回归分析 设计意图：请同学将自己的研究结果进行分享，检测学生对线性回归分析的掌握程度，表达是否准确清晰.同时针对这三个研究结果给出可以通过控制风速和湿度来控制PM2.5的浓度，同时也能解释为什么沿海城市的空气相对内地要优的原因. 问题10：影响PM2.5浓度的各因素之间是否独立？ 这些因素的选择是否合理？ 问题11：PM2.5浓度实际上是受到多个因素的影响，同学们可以 在课堂研究的基础上，利用信息技术，采用多元线性回归模型进行预测或控制，使得分析更加客观和精确. 问题12：你知道厨房烹饪时PM2.5浓度有多高吗？ 对于以上三个思考，请同学们课下组建合作团队，选择其一做进一步开展数学建模活动，参考表2撰写研究报告，遇到问题查阅以下资料： 微信公众号：R语言和统计 书籍：《多元统计分析》陈钰芬、陈骥编写 书籍：《统计建模与R软件》（第2版）作者：薛毅、陈立萍 表2 数学建模活动研究报告 设计意图：此处设置三个问题，一是对本节内容的延续性思考，二是对数学建模现实意义的感知，三是让学生认识到虽然已经可以处理简单的成对数据的统计相关问题，但是对于更加实用的多元统计知识和方法还没有涉及，鼓励同学课后自主查阅资料，完善学习，提升数学建模能力和数据分析处理能力，并能规范撰写数学建模活动报告. 环节六 小结图11 建立统计模型的一般流程 1 设计意图：通过小结回顾数学建模终建立统计模型的一般步骤，特别强调数学建模和数据分析素养是数学的核心素养，是推动数学学习应用的路径，让有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验； 让学生提升获取数据、分析数据、处理数据的能力，让学生感受数学直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展，从而提升数学学习的动力和成就感. 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加. 学科网（北京）股份有限公司 $$