数学建模 建立统计模型进行预测课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教A版 数学 选择性必修第三册 数学建模 建立统计模型进行预测 课标定位素养阐释 1.了解建立统计模型进行预测的一般流程. 2.会用数学建模思想解决一些简单问题. 3.提升数学建模、数学运算和数据分析的核心素养. 合作探究 释疑解惑 探究一 利用数学建模求经验回归方程 【例1】 下面给出了根据某地2017~2023年水果人均消费量y(单位:kg)和年份代码x绘制的散点图(2017~2023年的年份代码x分别为1~7). 某地2017~2023年水果人均消费量散点图 探究一 探究二 解:(1)根据题中散点图可知,散点均匀地分布在一条直线附近,且随着x的增大y增大,故y与x成线性相关,且为正相关. 探究一 探究二 求经验回归方程的三个步骤 (1)画散点图:由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关 关系. (2)求回归系数:若存在线性相关关系,则求回归系数. (3)写出经验回归方程. 探究一 探究二 【变式训练1】 下表是高二年级某名学生连续5次月考的历史、政治的成绩: 月份 9 10 11 12 1 历史x/分 79 81 83 85 87 政治y/分 77 79 79 82 83 (1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差; (2)一般来说,学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关性, 探究一 探究二 探究一 探究二 探究二 通过数学建模对实际问题进行预测 【例2】 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售量(单位:t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究,发现年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值. x/万元 2 4 5 3 6 y/t 2.5 4 4.5 3 6 (1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程; (2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=y-0.05x2-1.85,根据(1)中的结果回答问题: ①当年宣传费为10万元时,年销售量及年利润的预测值是多少? ②估算该公司应该投入多少宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大. 探究一 探究二 探究一 探究二 探究一 探究二 (2)①由(1)知,当x=10时,年销售量y的预测值y=0.85×10+0.6=9.1, 年利润z的预测值z=9.1-0.05×100-1.85=2.25. 探究一 探究二 【变式训练2】 随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站1~8月某类产品促销费用(单位:万元)和产品销量(单位:万件)的具体数据: 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 促销费用x 2 3 6 10 13 21 15 18 产品销量y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5 (1)根据数据绘制出散点图,根据散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系吗?请用样本相关系数r加以说明;(系数精确到0.01) (2)建立y关于x的经验回归方程 (系数精确到0.01);如果该网站计划在9月份实现该类产品销量不低于6万件,预测至少需要投入促销费用多少万元.(结果精确到0.01) 探究一 探究二 探究一 探究二 解:(1)根据数据绘制散点图如下, 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,并且在逐步上升, 所以可用线性回归模型拟合y与x的关系. 探究一 探究二 探究一 探究二 随堂练习 1.某食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系,在市场上收集了一部分不同年份的该酒品,并测定了其芳香度如表. 由最小二乘法得到经验回归方程 =1.03x+1.13,但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液,污损了一个数据,请你推测该数据为(　　) A.6.5 B.6.6 C.6.7 D.6.8 年份x 1 3 4 5 7 芳香度y 1.1 4.8 5.45 ■ 8.3 答案:B 2.(多选题)下列说法正确的是(　　) 附:χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 答案:BD 3.恩格尔系数(Engel’s Coefficient)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重,恩格尔系数越小,消费结构越完整,生活水平越高,某学校社会调查小组得到如下数据: 年个人消费支出总额x/万元 1 1.5 2 2.5 3 恩格尔系数y 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 若y与x之间有线性相关关系,某人年个人消费支出总额为2.6万元,据此估计其恩格尔系数为　　　　　.  答案:0.26 4.某出版社为了研究印刷单册书籍的成本y(单位:元)与印刷册数x(单位:千册)之间的关系,在印制某种书籍时进行了统计,相关数据见下表: 印刷册数x/千册 2 3 4 5 8 单册成本y/元 3.2 2.4 2 1.9 1.7 (1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务. ①完成下表(计算结果精确到0.1); ②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2,并比较Q1,Q2的大小,判断哪个模型拟合效果更好. (2)该书上市之后,受到广大读者热烈欢迎,不久便售罄,于是该出版社决定进行二次印刷.根据市场调查,新需求量为8 000册(概率0.7)或16 000册(概率0.3),若该出版社以每册5元的价格将书籍出售给订货商,估计该出版社二次印刷8 000册还是16 000册能获得更多利润?(按(1)中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本) 解:(1)①经计算,可得下表: ②模型甲的残差平方和为Q1=0.12+(-0.1)2+0.12=0.03, 模型乙的残差平方和为Q2=0.12=0.01, 故Q1>Q2,模型乙的拟合效果更好. (2)若二次印刷8 000册,则估计出版社获利为 (5-1.7)×8 000×0.7=18 480(元); 若二次印刷16 000册,由(1)可知,单册书印刷成本为 +1.6=1.625(元), 则估计出版社获利为(5-1.625)×16 000×0.3=16 200(元). 又18 480>16 200,故出版社印刷8 000册能获得更多利润. (1)根据散点图分析y与x之间的相关关系; (2)根据散点图相应数据计算得yi=1 074,xiyi=4 517,求y关于x的经验回归方程. (2)依题意,×(1+2+3+4+5+6+7)=4, yi=×1 074≈153.43, ≈7.89, ≈153.43-7.89×4=121.87, 故y关于x的经验回归方程为=7.89x+121.87. 根据上表提供的数据,求两个变量x,y的经验回归方程x+. (附:xiyi=33 230,=34 485) 解:(1)×(79+81+83+85+87)=83,×(77+79+79+82+83)=80, 故政治成绩的方差s2=×[(77-80)2+(79-80)2+…+(83-80)2]=4.8. (2)∵=83,=80,xiyi=33 230,=34 485,n=5, ∴, ∴=80-0.75×83=17.75, ∴变量x,y的经验回归方程为=0.75x+17.75. 附:经验回归直线x+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 . 参考数据:xiyi=88.5,=90. 解:(1)=4, =4. =0.85,=4-0.85×4=0.6. 故y关于x的经验回归方程为=0.85x+0.6. ②∵z=0.85x+0.6-0.05x2-1.85, ∴=-+0.85. ∵0.05x+≥2=0.5, 当且仅当0.05x=,即x=5时取等号, ∴=-+0.85≤-0.5+0.85=0.35. ∴该公司应该投入5万元宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大. x+ 参考数据:(xi-11)(yi-3)=74.5,(xi-11)2=340,(yi-3)2=16.5, ≈18.44,≈4.06,其中xi,yi分别为第i个月的促销费用和产品销量,i=1,2,3,…,8. 参考公式:(1)样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数r=, (2)对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 计算×(2+3+6+10+13+21+15+18)=11, ×(1+1+2+3+3.5+5+4+4.5)=3, 故样本相关系数r=≈0.99, 由样本相关系数的值接近于1,说明变量y与x的线性相关性很强. (2)计算≈0.22, ≈3-0.22×11=0.58, 故y关于x的经验回归方程为=0.22x+0.58. 令=0.22x+0.58≥6, 解得x≥24.64, 即实现产品销量不低于6万件,预测至少需要投入促销费用24.64万元. 解析:推测该数据为m, =4, , 则样本点的中心坐标为, 代入=1.03x+1.13,得=1.03×4+1.13, 解得m=6.6.故选B. A.经验回归方程对应的直线x+至少经过其样本数据点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点 B.命题“∀x≥1,x2+3≥4”的否定是“∃x≥1,x2+3<4” C.样本相关系数r越小,表明两个变量相关性越弱 D.由一个2×2列联表,得χ2=13.079,根据小概率值α=0.001的独立性检验,认为这两个变量间有关系 参考数据:xiyi=4,=22.5. 参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 解析:=2,=0.5. 又xiyi=4,=22.5, 故=-0.4,=0.5+0.4×2=1.3, 则y关于x的经验回归方程为=-0.4x+1.3. 取x=2.6,得=-0.4×2.6+1.3=0.26. 根据以上数据,技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到两个经验回归方程,方程甲:+1.1,方程乙:+1.6. 印刷册数x/千册 2 3 4 5 8 单册成本y/元 3.2 2.4 2 1.9 1.7 模型甲 估计值 2.4 2.1 1.6 残差 0 -0.1 0.1 模型乙 估计值 2.3 2 1.9 残差 0.1 0 0 印刷册数x/千册 2 3 4 5 8 单册成本y/元 3.2 2.4 2 1.9 1.7 模型甲 估计值 3.1 2.4 2.1 1.9 1.6 残差 0.1 0 -0.1 0 0.1 模型乙 估计值 3.2 2.3 2 1.9 1.7 残差 0 0.1 0 0 0 $$