1号卷·A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考数学试题

引号老·A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考 数学试题 侧漏一中合肥八中难南二中大安一中南陵中学舒城中学太渐中竿天轮中学充溪一中童城中学 兼州中学池州一中阜阳一申要量申学宿城一申合妃六申太和申学合图七申料大附申野需申学 本试春分第【春《速择题}和第■卷（◆忠择题》两每分。满分1分。考议时间）令计。请在等随卷上什客 发古希售数学家特埃特图斯(Teus)科用如周所示的直角三角形来构 第1卷选择题〔共0分) 一，透择现（本蔬共8小显。每小驱5分，共40分。在每小要给出的四个选项中，只有一项是符合 达无理数已每AB=C=CD=1.AB⊥C,AC⊥(CD,AC与D 题日要求的.) 交于点0，若D0=2A丽+4，期A+:=() L,已知0-ix+l+iy=1-3i,xyeR.周x-y=( .5-1 B.1-5 A I B.-1 .3 0.-3 C2+1 2-1 2已知集合A==3站-4，A∈N.B={种=加(-+x+I2明用AnB的元素个数州 二，选择题（本题共4小盟。每小量5分，共0分.在每小整给出的选项中，有多项符合盟目要求，全 部选对的得5分，部分选对的得2分，有选情的得0分，) AI B.2 G.3 D.4 身电影《八角蓬中》星由王导滴并参演的一电影，讲述了年轻人为理思直务力奋斗的数事.该 3设a-2ib-kg,5e-lg,5,则( 电影一上陕然引起了广大说众的热设，票房也超出了颜期，观随机物取干名昆众进行码聋。新 Lc<日<b B.h<c<o C.a<b<c D.a<c<b 得数据烧计如下表所示，则( 4已南发商C芳茶-o>0,6>例的条折运线与线-2y-0手.期C的心幸 喜欢该电影不喜玫核电影 男性观众 160 为 女性暖众 140 0 A6 B.5 C3 D.2 5夏日克灰，某妍茶店排出了新散奶茶一冰插”系列。受到了轻消 。若在被网在的底众中随机轴眼【人期输到释欢该电影修男生起众怕授本为 :在敲到雀的成众中，男性不喜玫该电影的比例高于女生 份者的喜爱，已知如该系列奶蒸的容器可以看作是一个闭台与一个到住接 C复长小餐率值夏=0.5的驻立性检验，可以认为被调查现众的性料与对电影的喜爱程度有是异 直成，北轴餐而如图所不，其中EF“20cm.CD=14cm,4E-3cm D根据小概零值《一0,0！的维立程检验，晖以认为蔽测查说众的性用与对电影的喜爱程度有差异 AC=326m.碳该容器的容视为(）（不考货科厚度） n(ad-be) A 1265:cm B.1365xcm' 开=程+办十e+d (a+bj(c+d)(a+c)(b+d) 心.1295xcm D.1395n cm' 6.23年7月28口晚，第31届世界大学生夏平运动合在成都盛大开幕.为宜传成军大运合 .1000o 某大学团委开展了“阳光烂青存与其”大运会知俱意赛活动，各班以周支溶为单位参加比等 。20634165 10828 某班团支部在6道想中气包含4有图片赠和2道悦填随，依次不数河稳磨机抽取2道幽作答，设 事作A为“第1次離到图片要”，事件B为“第2衣拍到税频避，则PNB1A( t0已知直线1：西-y-加+3=0成刚eR)及司C:(x-2+(y-4)=3,刚() 龙 A.直线/过园点 B.直线/截到C所得弦长量小值为2 3 n.2 G存在m,使得直线/与制C相切 D存在刚，使得圆C关于线/对移 7已知平区城0-{《名F+'到.0-{《F+≤0，-（红+s 儿，已知两数fx=m-+mr+},期( 记0,020的面积分别为号，S.S,博《) Af八(x)是偶雨数 北f(x)的图象关于直线x=2对移 A S,<S <S B.S cS.<S GS<ScS D S.<S <S 工f《x)的最小周原为2 D,f(x)在(D,1)上单递增 多表·A1@宽4州高三上字刷月成开字模限号，数个该超第1属共4溪 多表，A1原置卫4铜高三上宁隔器月底开学模我号，数学试慧第？直我4可 12已知指调为的致列问！的藏n顶和为5，其中S,=S+a,十心，记致列1-a的载n 19(本小题端分2分1 2023 已知等差数列{，}端足偶=14，属=2+6，数刘{也，}的用：项和为8。乌一1，且数列 现积为T,增() 人号 2三是会比为{的等比数到 B3heN”,6<d b 2 C730e>0 队.使得工<0域立的量小正特数k的算为202S (1)求数到风}，b,}的通项公式： 第Ⅱ卷非选择（共90分） (2)若心=4，久，记数列C,}的前m和为T,.试比较T,与(4n-6)2”+4的大小 三.填空题《本眼共4小醒。每小镇5分，共20分，) 位(-中信表 (用数学作答) 14.由线f(x)=nx+2(x在点L,/)处的场线方程为 20【本小题端分12分) 切图，在五而体ABCDEF中，底面ABD为正方形，侧面CDEF为等程棉形，二面角 15.已知抛物线C:y=8x与直线：3x-y-25=0交于M.N两点（点M在第象限），C的 E-CD-A为直二而布，AB=2EF=4.AF=3V5 期点为F,期F= (IV求点F列平面AD的距离： 16已知止方体ABCD-4BCD的所有圆点均在一个表面积为12x的球童上，空同内的一点E端 (2》设点P为线段C的中点，点Q情足A0-AA正气2>0)，若直线PQ与平面ADE及 足AE⊥BD,AE⊥AD,若ABC平而a,AEH平面a,且BC门平面a=F,刚CF的 平南A孤CD成的角相等，求入的值 长为 四。解答置《本置共8小避。共70分，解答应写出文字说明。证明过程或演算步露。) 17.1本小题满分10分1 △4BC中.角4，B,C的时边分料为，b,r,2simB+2stm'C+2 sin BsinC+c0s[2(B+C)=1. ∠A的平分线交BC边干D,过D作DE⊥AC,章是为点E. (1)卡角4的大小： 12)若b-20=4,求AE的长 21.【本小题端分12分 已知椭测C:三+片-a>b>0)的上顶点到右顾点的师离为V万，点M在C上，且点M到 右患点兜离的最大直为3，过点P02)且不与x物垂直的直线与C交于A.B两点 (I)求C的方型： 1深1本小题满分12分) (2)记O为拿标原点，求△AOB面积的量大值 某公同使用甲，乙两台机群生产芯汁，已知鲜天甲乱暮生产的心汁占产量的六成，且合格率为94%： 乙机普生产的老片占产量的四规，L合格事为95。，已知两台机器生产若片的质量直不影响 限对某天生产的心片进行抽样 22(本小题端分12分1 (【)从所芯片中任重抽取一个，求诚芯升是不合格品的概率： (2)税果用有放国的法随机甜数3个书片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为X。求X的分布 已每函数f(x)=e'一脚n风用ER) 列以及数学周里(X) (1)若f(x)在 3x 42 上恰有2个零点。求m的取值范围： (2)若>0.N<0,g(x)=f(x)+肛+V2期，无是g气x)的零点(gx)是g(x)的导数)，求证 g(志)+nln2≥rn(-r) 多表·A1际夏记4州高三上字刷长川感开李授花号·数容试超前1可共4可 多表，A1原置2以4铜高三上宁隔器月密开学视我号，数学试慧第4直我4可乡卷·A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考 数学参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.) 题号 2 3 5 > 答案 C B D B D C A A 1.C因为(1-i)x+(1+i)y=x+y+(y-x)i=1-3i,所以x-y=3,故选C 2.B由题意得，A={-4,-1,2,5,},B={x3<x<4},故A∩B={-1,2},故选B. 所以a<c<b.故选D. b 4.B由题意得， b=2,则e=1+a =√5.故选B 5.D由题意得，圆台的高h=√4C- AB-CD 2 =15cm,故该容器的容积 V=元x10×3+写×(x10+x7产+x10x7）小x15=1395(cm）.故选D. 6c因为0-是-子Ra-是5，所以Pe0=X0-号 故选C A215 P(A)5 7.A分别作出曲线+川=1，x2+y2=1,x4+y2=1的大致图形如图所 示（先作出第一象限的图形，再由对称性作出全部图形），观察可知， S<S<S2,故选A 8.A以C为坐标原点，CD,CA所在直线分别为x,y轴建立如图所示的坐标系， √22 则40).是之 C(0,0),AB= 22 22 AC=(0,-√2)因为CB=CD=1,∠DCB=135°，故∠BDC=22.5°， 2tan22.5° 因为tan45°= 1-tan222.59 =1,所以an22.5°=√2-1（负值舍去）， 故0(0，V2-1又D(-1,0),则D6=自，√2-1)因为 1=5 DO=元AB+uAC,所以 1=√2 ,解得 2-1=- -5 =-1 2 所以入+4=2-L.故选A 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.) 题号 9 10 11 12 答案 AC ABD AB ACD 】多冬·A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考·数学参考答案第1页共6页 400亏枚A正确：因为60、40 9AG因为160=2 ,故B错误： 200200 I'= 400×(160×60-140×40_1 ≈5.333，因为5.333>3.841,5.333<6.635，故C正 300×100×200×200 3 确，D错误.故选AC. x-1=0 x=1 10.ABD由1：mx-y-m+3=0→m(x-1)+(3-y)=0,得 解得 所以直线/过 3-y=01 y=31 定点为(1,3)，故A正确：由圆的标准方程可得圆心为C(2,4),半径r=√3，直线I过的定点 为M(1,3),当1⊥CM时，直线/截圆C所得弦长最短，因为CM=√2，则最短弦长为 25-(2=2,故B正确：因为点ML,3)在圆C内，所以直线1与圆C一定相交. 故C错误：当直线过圆心C时，满足题意，此时2m-4-m+3=0,解得m=1,故D正确. 故选ABD. L.A8由f)=n-训+sm合+)如叫-cos受.知f到-km-cos罗，所 以f(x)是偶函数，故A正确：因为 4-利=小如(4-小-c@2-受-n叫-cos受=，所以)的图象关于 直线x=2对称，故B正确：因为f(0)=-L,f(2)=1,则f0)≠f(2),所以2不是f(x)的 网期.故c误：国为0=付}1-受，则0<付) 故D错误故选AB. a2>0, 2AD由题意得，Q=a83放a二+03x4<号放A正确：a-80230 故数列{an}单调递增，故B错误：Tn=(1-a)小(1-a）…(1-an). d 2023a,+C-2023+a,)a,枚1=1-1， 累加可得 2023 2023 a +2023 a d 罗 1 合a+2023>2-2023× 1 1 >1,则 a,+2023aam4 a2024 2+2023 4<l,由数列{a,}单调递增，得2a<a,<a<<a4<l,所以m>0,放C 正确；因为1=2- 1 <2-2024×, 2025 4+2023 1一=1，所以as>1,所以 1+2023 T2s=T024(1-a5)<0,所以使得T<0成立的最小正整数k的值为2025，故D正确。 故选ACD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.15 〔r-到并式的海为7，=C)广（引 =C(-1yx2-,令12-3r=0,解得r=4. 故常数项为C。=15. 14.x+y+1=0(其他形式的答案只要正确也可) 由题意得，f'(x)=二+2f'0),所以f山)=1+2f"),解得∫')=-l,故fx)=nx-2x,则 】号卷·A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考·数学参考答案第2页共6页 f()=-2,所以曲线在点(1，f(I)处的切线方程为y+2=-（x-1),即x+y+1=0, 15.8 由题意得，直线I过C的焦点F且顿斜角a=子，故刘MF=1-c0sC =8 1-cos 3 16.5 D 由题意得，元×（√5AB=12π，故AB=2.因为AE⊥BD,所以 AE⊥BD,又AE⊥AD,BD∩AD=D,所以AE⊥平面ABD, G 则直线AE即为直线AC.取线段B,C的中点F,连接AF,BF,连接 AB,交AB于G,连接FG,易证FGI∥AC,故AC∥平面AFB,故 平面a即为平面AFB,则CF=√5 四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分) (1)2sin2B+2sin2C+2sin Bsin C+cos 2(B+C)=1, sm2g+sn2c+如BsnC=1-cos28+C】-sn(B+C)=5m24.2分 2 由正弦定理可得：b2+c2+bc=a2,即b2+c2-a2=-bc,…3分 由余弦定理可得：cosA=+c2-a21 2be 2 …4分 A(0,).A=2 …5分 (2)SABC=Sm+SsACD,AD是△ABC的角平分线.。 besin2亚=c-4Dsin+b-ADsin5.7分 32 32 3 b=2,c=4AD= Γ3 …8分 在RIAADE中.AD=4:∠DAE=π AE=ADcos=2 3 …10分 33 18.(本小题满分12分) (1)记事件A表示芯片来白甲机器生产，事件A,表示芯片来白乙机器生产，事件B表示取到的是合格品. P(B)=P(4BU4B)=P(4)P(B4)+P(4)P(B4) =0.6×1-0.94)+0.4×(1-0.95)=0.056.…4分 (2)由题意。X-日3号)。 …5分 故Px-o-(-西Px--c) Px-2=c-瓷PK=-高 …9分 所以X的分布列为 】号卷·A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考·数学参考答案第3页共6页 0 1 2 3 P 27 54 36 8 …10分 125 125 125 125 故E(X)=3x2-5 …12分 55 19.(本小题满分12分) (1)设等差数列{an}的公差为d, a3=14 由 得/%+2d=14 a,=2a4+6 a,+8d=2(a,+3d)+61 4=4 解得d=5 .an=5n-1. …3分 题，2各会)得即s-得6 as=2- …4分 武作：-8=6-2-写]及 化简得： 1-a-2)=0.4=24 …5分 数列{b}是以b=1为首项、2为公比的等比数列，bn=2 …6分 (2)由(1)得，cn=(5n-1)21, Tn=4×2°+9×2+14×22+…+(5n-6)×2m2+(5n-1）x21, 2Tn=4×2+9×22+14×23+…+(5n-6)×21+(5n-1)×2”, …8分 -T=-(5n-1)×2”+5×(2°+2+22+…+2-）-1， …9分 .T.=(5n-1）2+1-5(2”-1)=(5n-6)2"+6,…10分 Tn-[(4n-6)2”+14]=n-2”-8,…11分 当n=1时，Tn<(4n-6)2"+14;当n=2时，Tn=(4n-6):2"+14；当n>2,n∈N时， Tn>(4n-6)2+14.…12分 20.(本小题满分12分) (1)如图，过点F作FO⊥DC于点O,连接OA. 因为二面角E-CD-A为直二面角，所以平面CDEF⊥平面ABCD, 又平面CDEF∩平面ABCD=CD,FOC平面CDE,所以FO⊥平面ABCD, 因为OAC平面ABCD,所以FO⊥OA.…2分 因为四边形CDEF为等腰梯形，AB=CD=2EF=4, 所以OD=3,所以AO=5.…4分 又AF=3√3，所以FO=√2，即点F到平面ABCD的距离为√2.…5分 (2)以O为坐标原点，分别以OD,OF所在直线分别为x,z轴，过点O作平面CDEF的垂线为y轴，建 立如图所示的空间直角坐标系Oxz. 】号卷·A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考·数学参考答案第4页共6页 则A(3,4,0),D(30,0),E(2.0,2,F0,0,2P(-1,2,0) ，…6分 由A0=AE=(-元，42,2，得0(3-元，4-42） .P回=(4-，2-4元，2，…7分 设平面4DE的法向量为n=(化，y,2.由DA=(0,40),D正=（1,0，V2), nDA=0 n.DE=0 4y=0 得 …9分 -x+2z=0 .令z=1.则n=(20, 又易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).…10分 设直线PQ与平面ADE所成角为O,与平面ABCD所成角为a, 则sin0=sina, n.PO mPO …1山分 |n‖Pg1 mPO 整理得 4W2 3 V2a1,由2>0，得元=4固 …12分 3 21.(本小题满分12分) √a+b=√万 (1)由题意得， a2=b2+c2 ,…2分 a+c=3 解得：=4公=3，故C的方程为+上 4+3 =1.…4分 (2)设A(x,),B(x,乃)，直线1：y=x+2, y=k+2 联立 3r2+4r2=12 整理得：(3+42)x2+16x+4=0. 由4>0得k3≥：且写+5 16k 4 3+4k2,5= 3+4k2 …6分 =+Pk-=+122-习 …8分 3+4k2 :点O到直线l的距离d= 2 …9分 V1+k2 5.o 3+4k2 …10分 令1=V12-3>0,故4k2 12112 +1,故S4o2+122SV3, 3 当组收当1号.甲1=26，大=±5时等号成立 故△AOB面积的最大值为√3 …12分 】多冬·A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考·数学参考答案第5页共6页 22.(本小题满分12分) 1 sinx (1)令f(x)=0,显然m≠0， …门分 e 令p)=sinr 3ππ 4 42 则p'()=cosx-sinx …2分 e e 3ππ 故当x∈44) 时，p'(x)>0,当x ππ 、4'2 时，p'(x)<0, 故函数p(x)在 3rπ 上单调递增，在 ππ 上单调递减，…3分 4’4 4'2 作出p(x)的大致图象如图所示，因为p(O)=0, 所以要使函数的图象p(=snx与直线y=上在 3ππ m 4’2 上恰有2个不同的交点， 则s1V …5分 ei m 2e+ 解得√2e<m≤e2,即实数m的取值范围为 2e4,e2 …6分 2)要证：8)并nh2≥nh(-).即运：gc)≥nn经引 因为g(x)=f(x)+nx+V2m=e*-msinx+r+√2m. 所以g'(x)=e-mcosx+n,则g'(x)=e-mcoSxo+n=0,7分 g(xo)=g(xo)+g'(xo)=2e*-m(sinxo+cosxo)+nxo+n+2m =2e-5msn6+ +x,+n+√2m …9分 令h(x)=2e+x+n,则'(x)=2e+n …10分 故当x.0.当xe+ 时，h(x)>0, 故函数h(x)在 上单调递增， 即g(x)+nln2≥nlh(-n) …12分 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分. 】号卷·A10联盟2024届高三上学期8月底开学摸底考·数学参考答案第6页共6页