精品解析：福建省南平市2023-2024学年高二下学期7月期末质量检测数学试题

南平市2023—2024学年第二学期高二期末质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 考试形式：闭卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. “在上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，，则（ ） A. 10 B. 20 C. 50 D. 100 5. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（ ） X 0 1 P n A. 5 B. C. D. 6. 将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（ ） A. 72种 B. 42种 C. 114种 D. 36种 8. 以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则n的值可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 10. 已知函数（且）在R上为单调函数，，则（ ） A. 实数a的取值范围为 B. 当时，的取值范围为 C. 函数是周期函数 D. 函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对 11. A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（ ） A. 当时，点A恰好位于轮子的最高点 B. C. 当时，点A距离地面的高度在下降 D. 若，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则________． 13. 若，则________． 14. 若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，二项式系数和为64． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含的项． 16. 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2. 表1： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 20 乙 8 合计 40 表2： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 收益y（亿元） 6.5 7 8 8.5 （1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？ （2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？ 附：①，. ②临界值表： α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ③参考公式：，. 17. 已知函数，为偶函数． （1）求实数a的值； （2）写出的单调区间（不需要说明理由）； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 18. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同． （1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望． （2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球． （ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率； （ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率． 19. 函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）． （1）若关于T可线性分解，求，； （2）若，关于3可线性分解． （ⅰ）求函数的零点； （ⅱ）对，，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市2023—2024学年第二学期高二期末质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 考试形式：闭卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用交集定义计算即可. 【详解】由已知可得. 故选：C. 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式求出，再利用独立重复试验的概率公式计算得解. 【详解】随机变量，由，得，解得， 所以. 故选：B 3. “在上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，进而求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得或，即函数在上单调递增， 而在上单调递增，于是，显然真包含于， 所以“在上单调递增”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 若，，则（ ） A. 10 B. 20 C. 50 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可. 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 5. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（ ） X 0 1 P n A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用概率分布列的性质求出，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即得. 【详解】依题意，，解得，， ，而， 所以. 故选：A 6. 将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用三角函数图象变换求出. 【详解】依题意，，因此. 故选：C 7. 将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（ ） A. 72种 B. 42种 C. 114种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】可先将小球分组去掉1和2在一组的分法，再将三组小球放入三个盒子中即可. 【详解】5个不同的小球，先分成3组，可分为1,1,3,或者是1,2,2， 共种， 将每一种分法放到3个盒子中，共有种不同方法， 根据分步乘法计数原理得：种. 故选：C. 8. 以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据定义，得到，两次运用基本不等式，再运用不等式性质，得到,开方即可. 【详解】设，则.显然． ，当且仅当取得等号. ，当且仅当取得等号. 两式相乘，即，则. 此时，前面都要成立，则，，则. 的最小值为2,当且仅当取得最小值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则n的值可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】BC 【解析】 【分析】利用组合数公式化简，再利用组合数性质求出n的值. 【详解】依题意，，因此， 所以或. 故选：BC 10. 已知函数（且）在R上为单调函数，，则（ ） A. 实数a的取值范围为 B. 当时，的取值范围为 C. 函数是周期函数 D. 函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对 【答案】ACD 【解析】 【分析】由单调性求出a的范围判断A；求出函数值域判断B；由周期函数的定义判断C；由函数的图象关于直线的图象与函数的图象交点个数判断D. 【详解】对于A，由函数在R上为单调函数，而在上为增函数， 得，解得，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，显然，函数是周期函数，C正确； 对于D，函数的图象关于对称的图象对应解析式， 由，得，即， 由，，得，又， 因此函数的图象与函数的图象有无数个交点， 所以函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对，D正确. 故选：ACD 11. A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（ ） A. 当时，点A恰好位于轮子的最高点 B. C. 当时，点A距离地面的高度在下降 D. 若，，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设轮子滚动了后到达了点，过点作垂直地面，过点作，求得函数的解析式为，结合余弦型函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为， 如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，可得 过点作垂直地面，过点作， 则，即， 对于A中，当时，，所以A不正确； 对于B中，可得，所以B正确； 对于C中，当时，可得， 由余弦型函数的性质，都可在上单调递减，所以C正确； 对于D中，由，可得， 可得，所以， 令且，且， 则，且， 当时，可得的最小值为，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则________． 【答案】0.2## 【解析】 【分析】根据正态分布概率曲线图，结合对称性可解. 【详解】如图，画出正态分布的曲线图，，即，即红色区域面积为. 根据对称性，知，则 故答案为：0.2. 13. 若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为： 14. 若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】令，转化问题为，进而根据函数的单调性求出，转化问题为，即可求解． 【详解】解：， ， ，， 令， 若存在使得不等式成立， ， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， ， 即， ， 解得：， ， 实数的最大值为1， 故答案为：1． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，二项式系数和为64． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含的项． 【答案】（1）4096； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出，再利用赋值法求出各项系数和. （2）求出展开式的通项公式，再求出指定项. 【小问1详解】 由的展开式中，二项式系数和为64，得，解得， 所以展开式中各项系数的和为. 【小问2详解】 展开式的通项公式， 令，得，所以展开式中含的项为. 16. 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2. 表1： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 20 乙 8 合计 40 表2： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 收益y（亿元） 6.5 7 8 8.5 （1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？ （2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？ 附：①，. ②临界值表： α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ③参考公式：，. 【答案】（1）列联表： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 2 20 乙 12 8 20 合计 30 10 40 产品合格率与生产工艺有关； （2）12.75亿元. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，与临界值比对即得. （2）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再代入计算即可. 【小问1详解】 列联表为： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 2 20 乙 12 8 20 合计 30 10 40 零假设：两种工艺生产的配件与合格率无关， 由列联表中数据得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 显然， ，， 则，， 因此关于的线性回归方程为， 令，得， 所以预估研发投入10亿元，收益将达到12.75亿元. 17. 已知函数，为偶函数． （1）求实数a的值； （2）写出的单调区间（不需要说明理由）； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）递减区间是，递增区间是； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求出值. （2）利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得. （3）利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，即，又不恒为0， 所以. 【小问2详解】 函数，令，函数在上单调递增， 当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增， 又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减， 所以函数的递减区间是，递增区间是. 【小问3详解】 由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增， 不等式， 则，而， 于是， 依题意，对于任意恒成立， 当时，，当且仅当或时取等号， ，当且仅当时取等号，因此， 所以实数k的取值范围是. 18. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同． （1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望． （2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球． （ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率； （ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 4 数学期望为2； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）求出的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）（ⅰ）利用古典概型及全概率公式计算即得；（ⅱ）利用条件概率公式计算得解. 【小问1详解】 依题意，的可能值为， ，， ， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 【小问2详解】 （ⅰ）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，事件“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”， 事件“从甲盒中摸出2个黑球”，事件“从乙盒中摸出1个黑球”， 显然，且两两互斥，， ， 则， 所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是. （ⅱ）在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的事件是在事件发生的条件下，事件发生， 因此， 所以在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的概率为. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 19. 函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）． （1）若关于T可线性分解，求，； （2）若，关于3可线性分解． （ⅰ）求函数的零点； （ⅱ）对，，求m的取值范围． 【答案】（1），； （2）（ⅰ），；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，赋值计算，. （2）（ⅰ）利用定义求得，再由结合最值确定，进而求出零点；（ⅱ）由的周期为3，则按分类求出，进而求出m的范围. 【小问1详解】 若关于可线性分解，则，即， 由，得(*)， 若，则充分大时，将大于2， 而的值域为，故等式(*)不可能成立，所以必有. 【小问2详解】 （i）由（1）知，即，则，， 而，则，，又，则， 此时，不符合题意； 或，，又，则， 此时，满足，符合题意， 因此， 依题意，，则或， 显然不成立，于是， 则，解得，， 所以函数的零点为，. （ii）显然， 又周期为3，则当时，， 当时，， 当时， ， 因此恒成立，则， 所以的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $