精品解析：江西省吉安市吉州区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

吉州区2023-2024学年第二学期期末检测 七年级数学试卷 一、选择题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 1. 下面四幅作品分别代表“谷雨”、“小暑”、“立秋”、“小寒”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数可能是一个三角形的三边长的是（ ） A B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁牧的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084为_________． 8. 计算：＝____． 9. 若关于x代数式完全平方式，则常数______． 10. 在庆祝“中国共产党建党一百周年”之际，小明用长方形彩色纸条折叠蝴蝶结．按图中那样折叠后，若得到，则___________． 11. 如图，，,，，垂足分别是点D、E，，，则的长是________． 12. 如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当∥时，t的值为__________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，四边形的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图． （1）如图1，在线段上找一点P，使最短． （2）如图2，线段上找一点Q，使最小． 16. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，9个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同． （1）若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ． （2）若先从盒子中取走n个黄球，然后在剩下的球中随机摸出一个球，使摸到白球的概率为，则n为多少？ 17. 如图，直线相交于点，于点． （1）若，求的度数； （2）若，请判断与垂直吗？如果垂直，请说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某公交车每月的支出费用为4000元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元． x 1000 1500 2500 3000 y （1）请写出y与x之间的关系式， （2）完成表格： （3）当每月乘客量达到多少人以上时，该公交车才不会亏损？ 19. 如图，点在直线上，点、、在直线上，，连接、、，其中，． （1）证明：； （2）当时，请求出的度数． 20. 已知等边三角形纸片，点E、F、G三点分别在边、、上，连接、，将沿翻折得到，直线与相交于点M；将沿翻折得到，直线与相交于点N． （1）如图1，若点M与点N重合，求度数； （2）如图2，若点N在点M的右侧，且，求的度数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）若，求的值； 【知识迁移】（3）两块全等特制直角三角板()如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，，若，，求一块直角三角板的面积． 22. 如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作， （1）求证： （2）如图连接交于E．求证： （3）若，，求的面积． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线． 解决问题： （1）①三角形的中线、高线、角平分线中．一定是三角形的二分线的是___________； ②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则___________（填“是”或“不是”）的一条二分线． （2）如图2，四边形中，，点是的中点，射线交射线于点，取的中点．连接．求证：是四边形的二分线． （3）如图3，在中，，、分别是线段、上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉州区2023-2024学年第二学期期末检测 七年级数学试卷 一、选择题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 1. 下面四幅作品分别代表“谷雨”、“小暑”、“立秋”、“小寒”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：B、C、D均不能找到一条直线，使B、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B、C、D不是轴对称图形，不符合题意； A能找到一条直线，使A沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形，符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数可能是一个三角形的三边长的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，比较每个选项中的两个较小数的和与最大数的大小关系即可得出答案． 【详解】解：A、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意； B、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意； C、∵，∴是一个三角形的三边长，符合题意； D、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方逆用逐项判断即可，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4. 水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断各容器的水的高度随时间上升的快慢进行判断即可． 【详解】解：根据图象，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢， 选项A、B、C中容器上下粗细均匀，水的高度随滴水时间变化，上升速度一致，不符合题意； 选项D中容器下细上粗，水高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，从图象中得到水的高度随时间上升的快慢以及各容器的结构是解答的关键． 5. 如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、B，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角定理判断C、D． 【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC， ∴，；选项A、B正确； ∵， ∴∠ACD=∠A =40°， ∵，， ∴∠ABC=∠ACB =70°， ∴，选项D错误； ∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确； 故选：D 【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键 6. 在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的性质逐项分析即可得出答案． 【详解】根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，判定①正确； 设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确； 过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确， 全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM，从而得到AM是△AEG的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选A． 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁牧的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数， 将小数写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 计算：＝____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9. 若关于x代数式是完全平方式，则常数______． 【答案】±1 【解析】 【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2求出m的值． 详解】解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，x2+4mx+4是完全平方式， ∴±4x＝4mx， ∴m＝±1． 故答案为：±1． 【点睛】本题考查了完全平方式，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2的熟练应用，两种情况是求m值得关键． 10. 在庆祝“中国共产党建党一百周年”之际，小明用长方形彩色纸条折叠蝴蝶结．按图中那样折叠后，若得到，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平角的定义得到∠BOB' = 100°，根据折叠的性质得到∠BOG=∠BOB' = 50°，最后平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵∠AOB' +∠BOB' = 180°，∠AOB' = 80°， ∴∠BOB' = 180°- 80°= 100°， ∵四边形OB'C'G由四边形OBCG折叠而成， ∴∠BOG=∠BOB' =50°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ABCD， ∴∠BOG +∠OGC = 180°， ∴∠OGC= 180°- 50° = 130° 故答案为：130°． 【点睛】此题考查了折叠和平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”及折叠的性质是解题的关键． 11. 如图，，,，，垂足分别是点D、E，，，则的长是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据条件可以得出，利用可以得出，再根据全等三角形的性质得出，，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， 故答案为：2． 12. 如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当∥时，t的值为__________________． 【答案】12或48或84 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，根据时，分类讨论角度之间的关系列方程是解此题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】解：设旋转时间为t秒后，， 如图1， ∴， ， 解得：． 如图2， 由图得： 解得： 如图3， ∴ 解得： 如图4， ∴ 解得：(舍去） 综上所述：12或48或84 故答案为：12或48或84． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂和利用平方差公式简便计算，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键． （1）先计算绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）将原式变形为，利用平方差公式简便计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，根据完全平方公式和平方差公式化简求值即可． 【详解】原式 ， 当，时， 原式 ． 15. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，四边形的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图． （1）如图1，在线段上找一点P，使最短． （2）如图2，在线段上找一点Q，使最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点E，连接交于P，则点P即为所作； （2）作点B关于的对称点E，连接交于Q，则点Q好戏为所作． 【小问1详解】 解：如图1所示，点P即为所作； 由图可得：与相交于H，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可得最短． 【小问2详解】 解：如图2所示，点Q即为所作； 由作图可知：点B与点E关于关于对称， ∴ ∴ 根据两点之间，线段最短，得出最小． 【点睛】本题考查利用网格作图，全等三角形的判定与性质，对顶角相等，三角形内角和定理，轴对称的性质，垂线段最短，线段最短．熟练掌握垂线段最短和两点之间线段最短是解题的关键． 16. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，9个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同． （1）若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ． （2）若先从盒子中取走n个黄球，然后在剩下的球中随机摸出一个球，使摸到白球的概率为，则n为多少？ 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）根据概率计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；∵在一个不透明的盒子中装有2个白球，9个黄球，且每个球被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 17. 如图，直线相交于点，于点． （1）若，求的度数； （2）若，请判断与垂直吗？如果垂直，请说明理由． 【答案】（1） （2）垂直，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据和平角的定义计算即可； （2）利用等量代换，可计算出，即可证明出与垂直． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 直线相交于点， ， 故的度数为：； 【小问2详解】 解：垂直， 理由如下： ， ， ， ， ， 故与垂直． 【点睛】本题考查了垂直、对顶角、等量代换等知识点，解题的关键是理解垂直、对顶角的定义． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某公交车每月的支出费用为4000元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元． x 1000 1500 2500 3000 y （1）请写出y与x之间的关系式， （2）完成表格： （3）当每月乘客量达到多少人以上时，该公交车才不会亏损？ 【答案】（1） （2），，1000，2000 （3）当每月乘客量达到2000人以上，该公交车才不会亏损 【解析】 【分析】本题考查用关系式表示两个变量的关系、用表格法表示变量的关系，理解题意是解答的关键． （1）直接根据题中的等量关系：每月收入与支出的差额票价每月乘车人数支出求解即可； （2）分别求出对应的y值即可求解； （3）根据每月收入与支出的差额不小于0求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，y与x之间的关系式； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 完成表格如下： x 1000 1500 2500 3000 y 1000 2000 【小问3详解】解：根据题意，令， 解得， 答：当每月乘客量达到2000人以上，该公交车才不会亏损． 19. 如图，点在直线上，点、、在直线上，，连接、、，其中，． （1）证明：； （2）当时，请求出的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义与判定； （1）证明，即可得到； （2）由，设，，根据列方程计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 20. 已知等边三角形纸片，点E、F、G三点分别在边、、上，连接、，将沿翻折得到，直线与相交于点M；将沿翻折得到，直线与相交于点N． （1）如图1，若点M与点N重合，求的度数； （2）如图2，若点N在点M的右侧，且，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查折叠性质和角的运算，根据折叠的性质可知，，又点M与点N重合，可知，最后根据计算，即可求解． （1）本题考查折叠的性质和角的运算，根据折叠的性质可知，，且，可得到的度数，最后根据计算，即可求解． 【小问1详解】 解：沿翻折得到， ， 沿翻折得到， ， 点M与点N重合， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）同理可证，， ， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）若，求的值； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板()如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，，若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键． （1）用完全平方公式展开，代入已知代数式即可得出答案； （2）利用完全平方公式由可得，化简再将代入即可得出答案； （3）设，，由得，据此可得，然后再由得，由此利用完全平方公式可求出，最后再利用三角形的面积公式可求出一块直角三角板的面积． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）设，， ∵，A，O，D在一直线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴． ∴一块直角三角板面积为． 22. 如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作， （1）求证： （2）如图连接交于E．求证： （3）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）15． 【解析】 【分析】（1）由，的角平分线交于点G，，得，从而利用即可证明； （2）先证明，从而证明，得，进而证明，即可得证； （3）由，得，从而利用三角形的面积公式即可得解． 【小问1详解】 证明：∵，的角平分线交于点G，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、垂直的定义以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线． 解决问题： （1）①三角形的中线、高线、角平分线中．一定是三角形的二分线的是___________； ②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则___________（填“是”或“不是”）的一条二分线． （2）如图2，四边形中，，点是的中点，射线交射线于点，取的中点．连接．求证：是四边形的二分线． （3）如图3，在中，，、分别是线段、上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长． 【答案】（1）①三角形的中线 ②是 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是解题的关键． （1）①由平面图形的二分线定义可求解； ②由面积的和差关系可得，可得是的一条二分线； （2）根据的中点，所以，由，是的中点，证明，所以，所以，可得是四边形的二分线； （3）证明，可得，由是四边形的一条二分线，可得，则，即可得出，从而求解． 【小问1详解】 解：①三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分； 三角形的中线是三角形的二分线， 故答案为：三角形的中线 ②是边上的中线 ， ， ， ， 是的一条二分线 故答案为：是 【小问2详解】 解：∵的中点F， ∴， ∵， ∴， ∵G是中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是四边形的二分线． 【小问3详解】 解：∵ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵是四边形的一条二分线， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $