第5课 二次函数与方程、不等式-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第5课 二次函数与方程、不等式 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会用图象法求一元次方程的近似解；掌握二次函数与一元次方程的关系； 2.会求抛物线与x轴交点的坐标， 3.掌握二次函数与不等式之间的联系; 4.经历探索验证二次函数y= ax2 +bx +c(a>0)与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 知识点02 二次函数与轴交点情况 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 知识点03 二次函数与不等式（组） 1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解 2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值. ( 能力拓展 )考点01 二次函数与一元二次方程 【典例1】若二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝5，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝1，x2＝﹣5 【即学即练1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），且图象对称轴为直线x＝2，则方程ax2+bx+c+2＝0（a≠0）的解为 　　． 考点02 二次函数与轴交点情况 【典例2】已知二次函数y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣4）（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴必有两个公共点； （2）若点A（2，y1），B（2m，y2）在二次函数的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是 　 　． 【即学即练2】已知二次函数当x＝1时取最小值﹣4，且抛物线图象经过点（0，﹣3）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与x轴的交点坐标． 考点03 二次函数与不等式（组） 【典例3】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集为（　　） A．﹣2≤x≤1 B．x≤﹣2，或x≥1 C．1≤x≤4 D．x≤1，或x≥4 【即学即练3】如图，已知直线y＝﹣x+h（h为常数）与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）相交于点A，D，与坐标轴相交于点B，C，且A，B，C，D四点的横坐标分别为﹣，0，2，3，则不等式﹣x+h的解为（　　） A．﹣＜x＜2 B．﹣＜x＜3 C．0＜x＜2 D．0＜x＜3 ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．若抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A．﹣4 B．0 C．4 D．8 2．若二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 3．下表示用计算器探索函数y＝x2+5x﹣3时所得的数值： x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围为（　　） A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1 4．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 5．若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 6．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则y＞0的解集是 　　． 7．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　 　． 8．若二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 　 　． 9．已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴的交点坐标是 　　，y轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象； （3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 　 　． 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的根； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集； （3）若方程ax2+bx+c＝k无实数根，写出k的取值范围． 11．已知函数y＝ax2﹣2x﹣3（a是常数） （1）当a＝1时，该函数图象与直线y＝x﹣1有几个公共点？请说明理由； （2）若函数图象与x轴只有一公共点，求a的值． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 题组B 能力提升练 13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2．若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则c的范围是（　　） A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6 14．若不等式x2+bx+c＞m的解集为x＜﹣1或x＞3，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则关于x的方程ax2+bx+5＝0 的解是（　　） x … 0 30 80 … y … 2 ﹣3 2 … A．x1＝30，x2＝50 B．x1＝0，x2＝80 C．x1＝x2＝40 D．x1＝x2＝55 16．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 17．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（　　） A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β 18．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3]． （1）图象数为[1，﹣1，0]的二次函数表达式为 　　． （2）求证：“图象数”为[1，m+3，m]的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 19．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx的图象过点A（3，3）． （1）求该二次函数的解析式； （2）用描点法画出该二次函数的图象； （3）当0＜x＜3时，对于x的每一个值，都有kx＞x2+bx，直接写出k的取值范围． 题组C 培优拔尖练 20．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜4 C．﹣2≤a＜4 D．﹣2＜a≤4 21．二次函数y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）的图象经过（﹣2，y1），（0，y2），（3，y3），（5，y4）四个点，下列说法正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y2y4＜0，则y1y3＞0 C．若y1y4＜0，则y2+y3＜0 D．若y3+y4＜0，则y1y2＜0 22．已知函数，y2＝mx+n（m＞0），当p≤x≤q时，y1＜y2，则（　　） A．0≤q﹣p＜2 B．0≤q﹣p≤2 C．0≤q﹣p＜1 D．0≤q﹣p≤1 23．在平面坐标系中，抛物线y＝﹣3（x﹣h）2+5与x轴交于（m，0），（n，0）两点，其中m＜n．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴交于（p，0），（q，0）两点，且p＜q，下列结论正确的是（　　） A．m+n＜p+q，n﹣m＜q﹣p B．m+n＜p+q，n﹣m＞q﹣p C．m+n＝p+q，n﹣m＜q﹣p D．m+n＝p+q，n﹣m＞q﹣p 24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．下列结论：①bc＜0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是﹣3≤x≤0；④a2﹣ab+ac＜0；⑤关于x的方程ax2+bx+c+4＝0无解；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题SHEJITI 由例5可知，求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．如图1﹣20．若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1•y2＜0，那么抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程x2+x﹣1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2+x﹣1＝0的解． 【任务】 （1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是 　　.（从以下选项中选2个即可） 例5利用二次函数的图象方程x2+x﹣1＝0的解（或近似解）． 解设y＝x2+x﹣1，则方程x2+x﹣1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数y＝x2+x﹣1的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．观察图1﹣20，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈﹣1.6．所以方程x2+x﹣1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈﹣1.6． A．数形结合 B．分类讨论 C．统计思想 D．转化思想 （2）先完成下表，并判断： 方程3x2﹣x﹣1＝0的解x1，x2（x1＜x2）分别在哪两个相邻的整数之间． x的值 ﹣2 ﹣1 0 1 3x2﹣x﹣1的值 　　 　　 　　 　　 （3）若抛物线y＝ax2+bx+2的开口向下，试判断方程ax2+bx＝﹣2根的情况． 26．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1． （1）求m的值及二次函数的表达式； （2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积； （3）当x为何值时，该一次函数的值大于二次函数的值？请根据函数图象回答． 27．函数的图象，如图所示．已知和y2＝kx+b的交点A的横坐标为﹣3，另一交点B的横坐标为1． 回答下列问题： （1）完善下列表格：y1、y2与x的对应值 x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y1 … ﹣16 0 4 2 0 4 20 54 112 … y2 … ﹣1 　　 1 2 　　 4 5 6 7 … 根据表格中的y2与x的对应值，在图中描点并画出y2＝kx+b的图象． 从中选取合适的数据，求出k，b的值． （2）根据图象，描述当﹣2≤x≤0时，函数y1随自变量变化的变化趋势． （3）根据图象，直接写出不等式x2（x+3）≤kx+b的解集． （4）若m，n分别满足关于x的方程x2（x+3）＝6和kx+b＝6，则m 　＜　n（填“＜”或“＞”）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课 二次函数与方程、不等式 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会用图象法求一元次方程的近似解；掌握二次函数与一元次方程的关系； 2.会求抛物线与x轴交点的坐标， 3.掌握二次函数与不等式之间的联系; 4.经历探索验证二次函数y= ax2 +bx +c(a>0)与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 知识点02 二次函数与轴交点情况 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 知识点03 二次函数与不等式（组） 1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解 2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值. ( 能力拓展 )考点01 二次函数与一元二次方程 【典例1】若二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝5，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝1，x2＝﹣5 【思路点拨】先确定抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题确定方程ax2﹣4ax+c＝0的解． 【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2， ∴点（﹣1，0）关于直线x＝2的对称点的坐标为（5，0）， 即二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0）， ∴方程ax2﹣4ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 【即学即练1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），且图象对称轴为直线x＝2，则方程ax2+bx+c+2＝0（a≠0）的解为 　1或3　． 【思路点拨】由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），对称轴是直线x＝2，则抛物线一定经过点（1，﹣2）关于直线x＝2的对称点（3，﹣2），从而可得答案． 【解析】解：由二次函数图象可得， 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），对称轴是直线x＝2， 则抛物线一定经过点（1，﹣2）关于直线x＝2的对称点（3，﹣2）， 当y＝﹣2时，关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2（a≠0）的两个解为：x1＝3，x2＝1． ∴方程ax2+bx+c+2＝0（a≠0）的解为x1＝3，x2＝1； 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键． 考点02 二次函数与轴交点情况 【典例2】已知二次函数y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣4）（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴必有两个公共点； （2）若点A（2，y1），B（2m，y2）在二次函数的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是 　m＞1　． 【思路点拨】（1）当y＝0时，（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝0，解得x1＝m，x2＝m+4，即可得到结论； （2）把A（2，y1），B（2m，y2）两点代入y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣4），然后整理、化简，最后解不等式求解即可． 【解析】（1）证明：当y＝0时，2（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝0， 解得x1＝m，x2＝m+4， ∵m≠m+4，方程有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，函数图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）解：把A（2，y1），B（2m，y2）两点代入y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣4）得： y1＝2（2﹣m）（2﹣m﹣4）， y2＝2（2m﹣m）（2m﹣m﹣4）＝2m（m﹣4）， ∵y1＞y2， ∴2（2﹣m）（2﹣m﹣4）＞2m（m﹣4）， 解得：m＞1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，不等式的解法，求得交点坐标和顶点坐标是解题的关键． 【即学即练2】已知二次函数当x＝1时取最小值﹣4，且抛物线图象经过点（0，﹣3）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与x轴的交点坐标． 【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解； （2）令y＝（x﹣1）2﹣4＝0，即可求解． 【解析】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k， 则y＝a（x﹣1）2﹣4， 将（0，﹣3）代入上式得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣4； （2）令y＝（x﹣1）2﹣4＝0， 解得：x＝3或﹣1， 即抛物线与x轴的交点坐标为：（3，0）、（﹣1，0）． 【点睛】本题考查的是抛物线和x轴的交点，求出函数表达式是解题的关键． 考点03 二次函数与不等式（组） 【典例3】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集为（　　） A．﹣2≤x≤1 B．x≤﹣2，或x≥1 C．1≤x≤4 D．x≤1，或x≥4 【思路点拨】由ax2﹣bx﹣c≥0得出ax2≥bx+c，即抛物线在直线上方的部分，根据图象和A，B的坐标即可确定答案． 【解析】解：由ax2﹣bx﹣c≥0得：ax2≥bx+c， ∴满足不等式的解为抛物线在直线上方的部分， ∴x≤﹣2或x≥1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数与不等式的关系，关键是要能由ax2﹣bx﹣c≥0得出ax2≥bx+c． 【即学即练3】如图，已知直线y＝﹣x+h（h为常数）与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）相交于点A，D，与坐标轴相交于点B，C，且A，B，C，D四点的横坐标分别为﹣，0，2，3，则不等式﹣x+h的解为（　　） A．﹣＜x＜2 B．﹣＜x＜3 C．0＜x＜2 D．0＜x＜3 【思路点拨】几何函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【解析】解：∵直线y＝﹣x+h（h为常数）与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）交点A、D的横坐标分别为﹣，3， ∴当﹣＜x＜3时，﹣x2+bx+c＞﹣x+h， 即﹣x2+bx+c＞﹣x+h的解集为﹣＜x＜3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，把解不等式问题转化为比较两函数值的大小． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．若抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A．﹣4 B．0 C．4 D．8 【思路点拨】根据抛物线与x轴没有交点，知x2+4x+c＝0无解，根据根的判别式小于0，列不等式求解． 【解析】解：∵抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点， ∴x2+4x+c＝0无解， ∴Δ＝16﹣4c＜0， 解得c＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．若二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 【思路点拨】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝32﹣4k×（﹣1）≥0，然后解不等式即可得到k的值． 【解析】解：∵二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点， ∴Δ＝32﹣4k×（﹣1）≥0， 解得k≥﹣， 又∵y＝kx2﹣4x+4是二次函数， ∴k≠0， ∴k的取值范围是k≥﹣且k≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，正确记忆对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点是解题关键． 3．下表示用计算器探索函数y＝x2+5x﹣3时所得的数值： x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围为（　　） A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1 【思路点拨】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【解析】解：∵二次函数y＝x2+5x﹣3中a＝1＞0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴x＝﹣＝﹣， ∴x＞﹣时y随x的增大而增大， ∵当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，y＝1.31＞0， ∴方程x2+5x﹣3＝0的一个正根：0.5＜x＜0.75， 故选：C． 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 4．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 【思路点拨】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解． 【解析】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0）， ∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0）， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 5．若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 【思路点拨】先把x＝2代入ax2+k＝0得出k＝﹣4a，再把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k，然后令y＝0，解方程即可． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2， ∴4a+k＝0， 解得k＝﹣4a， 把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k中， 得y＝a（x+1）2﹣4a， 当y＝0时，a（x+1）2﹣4a＝0， 即a（x+1）2＝4a， ∵a≠0， ∴（x+1）2＝4， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣3，0）， 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解一元二次方程﹣直接开平方法，关键是解方程方法的应用． 6．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则y＞0的解集是 　﹣1＜x＜9　． 【思路点拨】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴的一个交点坐标为（9，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴当﹣1＜x＜9时，y＞0． 故答案为：﹣1＜x＜9． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）的两个实数解．也考查了二次函数的性质． 7．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　2＜x＜5　． 【思路点拨】根据图象及点A，B坐标求解． 【解析】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方， ∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n， 故答案为：2＜x＜5． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，结合图象求解． 8．若二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 　m≥﹣4　． 【思路点拨】根据已知得出方程x2﹣4x﹣m＝0有两个实数根，即Δ≥0，求出不等式的解集即可． 【解析】解：∵函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点， ∴方程x2﹣4x﹣m＝0有两个实数根，即Δ＝42﹣4×1×（﹣m）≥0， 解得：m≥﹣4． 故答案为：m≥﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式. 9．已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴的交点坐标是 　（1，0），（3，0）　，y轴的交点坐标是 　（0，3）　，顶点坐标是 　（2，﹣1）　； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象； （3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 　﹣1≤y＜3　． 【思路点拨】（1）令y＝0，可得y＝x2﹣4x+3＝0，解方程的x，可得与x轴交点的横坐标，令x＝0可得与y轴交点纵坐标，抛物线变形为y＝（x﹣2）2﹣1，可得顶点坐标； （3）依据题意，根据抛物线与对称轴交点坐标及对称轴可得图象； （4）由x＝﹣2时抛物线有最小值，再求x＝﹣4、x＝2时的函数值可y的范围． 【解析】解：（1）令y＝0，可得y＝x2﹣4x+3＝0， ∴x＝1或x＝3． ∴抛物线与x轴额交点坐标为（1，0），（3，0）． 令x＝0可得，y＝3． ∴与y轴交点为（0，3）， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）； 故答案为：（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，﹣1）； （2）由（1）可画图象如下： （3）由题意，当x＝2时抛物线有最小值y＝﹣1； 当x＝4时，y＝3； 当x＝1时，y＝0， 由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3． 故答案为：﹣1≤y＜3． 【点睛】本题考查的是考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，画出二次函数的图象是解答此题的关键． 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的根； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集； （3）若方程ax2+bx+c＝k无实数根，写出k的取值范围． 【思路点拨】（1）（2）（3）利用图象法即可解决问题． 【解析】解：（1）观察图象可知，方程ax2+bx+c＝0的根，即为抛物线与x轴交点的横坐标， ∴x1＝0，x2＝2． （2）观察图象可知：不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜0或x＞2． （3）由图象可知，k＞2时，方程ax2+bx+c＝k无实数根． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 11．已知函数y＝ax2﹣2x﹣3（a是常数） （1）当a＝1时，该函数图象与直线y＝x﹣1有几个公共点？请说明理由； （2）若函数图象与x轴只有一公共点，求a的值． 【思路点拨】（1）转化为求方程组，然后通过消元化为一元二次方程，通过判断一元二次方程的根的判别式，即可判断抛物线与直线的交点情况； （2）分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点； ②当函数为二次函数时，利用判别式Δ＝0，转化为方程即可解决问题． 【解析】解：（1）a＝1时，y＝x2﹣2x﹣3， ∴， ∴x2﹣3x﹣2＝0， ∵△＝9﹣4×1×（﹣2）＝17＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴函数图象与直线有两个不同的公共点． （2）①当a＝0时，函数y＝﹣2x﹣3的图象与x轴只有一个交点（﹣，0）； ②当a≠0时，若函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴只有一个交点，则方程ax2﹣2x﹣3＝0有两个相等的实数根， 所以△＝（﹣2）2﹣4a•（﹣3）＝0， 解得a＝﹣． 综上，若函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴只有一个交点，则a的值为0或﹣． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点及根的判别式，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 【思路点拨】（1）根据函数与方程的关系，当y1＝0时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值； （2）先求两个函数的交点C的坐标，把y2＝﹣x﹣1代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可； （3）根据A（﹣1，0），C（2，﹣3），结合图象，即可确定x的取值范围． 【解析】解：（1）当y1＝0时， x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）． ∵直线y2＝﹣x+b经过A点， ∴0＝﹣（﹣1）+b， ∴b＝﹣1； （2）由（1）知y2＝﹣x﹣1， 联立得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1， 整理得x2﹣x﹣2＝0 解得：x＝﹣1（舍），x＝2， 把x＝2代入y＝﹣x﹣1，得y＝﹣3， ∴C（2，﹣3）， ∴S△ABC＝×[3﹣（﹣1）]×|﹣3|＝6； （3）A（﹣1，0），C（2，﹣3）， 当x＜﹣1或x＞2时，抛物线在直线的上方， ∴当y1＞y2时，x＜﹣1或x＞2． 【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 题组B 能力提升练 13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2．若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则c的范围是（　　） A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6 【思路点拨】由当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化为顶点式可得y1+y2的最小值，进而求解． 【解析】解：∵当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2． ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2， ∴b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4）， ∴当y1＝y2＝c﹣4时，y1+y2取最小值为2c﹣8， ∴2c﹣8≥2， 解得c≥5． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 14．若不等式x2+bx+c＞m的解集为x＜﹣1或x＞3，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3 【思路点拨】根据不等式x2+bx+c＞m的解集为x＜﹣1或x＞3可以得出x＝﹣1或x＝3是关于x的方程x2+bx+c＝m的解，即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝m的交点为（﹣1，m），（3，m），整理后即可求出b的值． 【解析】解：∵不等式x2+bx+c＞m的解集为x＜﹣1或x＞3， ∴x＝﹣1或x＝3是关于x的方程x2+bx+c＝m的解， ∴抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝m的交点为（﹣1，m），（3，m）， ∴（x+1）（x﹣3）＝m， ∴x2﹣2x﹣3＝m ∴b的值为﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，以及二次函数与一元二次方程的关系，关键是对二次函数性质的掌握． 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则关于x的方程ax2+bx+5＝0 的解是（　　） x … 0 30 80 … y … 2 ﹣3 2 … A．x1＝30，x2＝50 B．x1＝0，x2＝80 C．x1＝x2＝40 D．x1＝x2＝55 【思路点拨】根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和c的值，从而可以得到x＝30和x＝50时对应的函数值都是﹣3，再将x＝30，y＝﹣3代入函数解析式，整理可以得到方程ax2+bx+5＝0，从而可以得到该方程的解． 【解析】解：由表格可知， 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝＝40， 则x＝30和x＝50对应的函数值都是﹣3， 当x＝0时，y＝2，即c＝2， 当x＝30时，y＝﹣3，即﹣3＝ax2+bx+2， 整理，得ax2+bx+5＝0， 则方程ax2+bx+5＝0的解是x1＝30，x2＝50， 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【思路点拨】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4）， ∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 17．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（　　） A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β 【思路点拨】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解． 【解析】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β）， 方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点． 由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N． 由图象可知，M＜α＜β＜N， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 18．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3]． （1）图象数为[1，﹣1，0]的二次函数表达式为 　y＝x2﹣x　． （2）求证：“图象数”为[1，m+3，m]的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【思路点拨】（1）根据[1，﹣1，0]中的数字所含有的意义作答； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为y＝x2+（m+3）x+m，然后根据判别式的意义得到Δ＝（m+3）2﹣4m＞0，从而证得结论． 【解析】（1）解：根据题意知：图象数为[1，﹣1，0]的二次函数表达式为y＝x2﹣x． 故答案为：y＝x2﹣x； （2）证明：由题意得：二次函数的解析式为y＝x2+（m+3）x+m， ∵Δ＝（m+3）2﹣4m＝（m+1）2+8＞0， ∴“图象数”为[1，m+3，m]的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 19．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx的图象过点A（3，3）． （1）求该二次函数的解析式； （2）用描点法画出该二次函数的图象； （3）当0＜x＜3时，对于x的每一个值，都有kx＞x2+bx，直接写出k的取值范围． 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用描点法画出所给函数的图象即可； （3）由于当直线y＝kx经过点（3，3）时，k＝1，利用一次函数和二次函数的性质，当0＜x＜3时，函数y＝kx的值大于二次函数y＝x2+bx的值． 【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx的图象过点A（3，3）， ∴3＝9+3b，解得b＝﹣2， ∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x； （2）利用描点法画出所给函数的图象； x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 3 … ； （2）当直线kx经过点（3，3）时，3＝3k，解得k＝1， 此时函数y＝kx与二次函数y＝x2+bx的交点为（0，0）和（3，3）， 观察图象，当0＜x＜3时，函数y＝kx的值大于二次函数y＝x2+bx的值， 所以当0＜x＜3时，对于x的每一个值，都有kx＞x2+bx，k的取值范围是k≥1． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与不等式（组），数形结合是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 20．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜4 C．﹣2≤a＜4 D．﹣2＜a≤4 【思路点拨】先将所给的二次函数整理，再根据图象与x轴没有公共点，得出判别式Δ＜0，从而解得a＜4；然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，可得a≥﹣2，从而得出选项． 【解析】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9 ＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8， ∵图象与x轴没有公共点， ∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0 解得a＜4； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小， ∴a≥﹣2， ∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 21．二次函数y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）的图象经过（﹣2，y1），（0，y2），（3，y3），（5，y4）四个点，下列说法正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y2y4＜0，则y1y3＞0 C．若y1y4＜0，则y2+y3＜0 D．若y3+y4＜0，则y1y2＜0 【思路点拨】先根据抛物线的对称性判断函数值的大小，再个有理数的运算法则进行判断求解． 【解析】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝2， ∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣0＝2，3，﹣2＝1，5﹣2＝3，m＞0， ∴y1＞y4＞y2＞y3， A：若y1y2＞0，则y1、y2同号，当y1、y2同为正数时，y4为正数，y3可正可负，故A是错误的； B：若y2y4＜0，则y2、y4异号，则y2＞0，y4＜0，∴y1为正数，y3为负，∴y1y3＜0，故B是错误的； C：若y1y4＜0，则y1、y4异号，当y1为正，y4为负，∴y3、y2都为负数，∴y2+y3＜0，故C是正确的； D：若y3+y4＜0，当y3、y4都为负数时，y2必为负数，y1可正可负，故D是错误的； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，掌握函数的性质是解题的关键． 22．已知函数，y2＝mx+n（m＞0），当p≤x≤q时，y1＜y2，则（　　） A．0≤q﹣p＜2 B．0≤q﹣p≤2 C．0≤q﹣p＜1 D．0≤q﹣p≤1 【思路点拨】联立，y2＝mx+n（m＞0）并解得x＝0或1，则0＜x＜1时，y1＜y2，进而求解． 【解析】解：联立，y2＝mx+n（m＞0）， 解得x＝0或1， ∵m＞0，故抛物线开口向上， 则0＜x＜1时，y1＜y2， ∵p≤x≤q时，y1＜y2， ∴0≤p＜q≤1， ∴0≤q﹣p≤1， 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与一次函数交点问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 23．在平面坐标系中，抛物线y＝﹣3（x﹣h）2+5与x轴交于（m，0），（n，0）两点，其中m＜n．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴交于（p，0），（q，0）两点，且p＜q，下列结论正确的是（　　） A．m+n＜p+q，n﹣m＜q﹣p B．m+n＜p+q，n﹣m＞q﹣p C．m+n＝p+q，n﹣m＜q﹣p D．m+n＝p+q，n﹣m＞q﹣p 【思路点拨】因为抛物线y＝﹣3（x﹣h）2+5开口向下，所以抛物线向上平移，对称轴不变，与x轴的两交点距离变长解答即可． 【解析】解：∵抛物线y＝﹣3（x﹣h）2+5与x轴相交于（m，0），（n，0）两点（m＜n）， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴相交于（p，0），（q，0）两点（p＜q）， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线向上平移对称轴不变， ∴， 即m+n＝p+q， ∵抛物线y＝﹣3（x﹣h）2+5开口向下， ∴将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴两交点间距离会变长， ∴n﹣m＜q﹣p， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关键． 24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．下列结论：①bc＜0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是﹣3≤x≤0；④a2﹣ab+ac＜0；⑤关于x的方程ax2+bx+c+4＝0无解；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据二次函数图象与系数的关系可判断①和②；结合图象可直接得关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是x≤﹣3或x≥0，即可判断③；将x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c，结合图象可得y＝a﹣b+c＜0，而a＞0，则a（a﹣b+c）＝a2﹣ab+ac＜0，即可判断④；由图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣4没有交点，即关于x的方程ax2+bx+c+4＝0无解，即可判断⑤． 【解析】解：由抛物线图象可知，a＞0，c＞0，＜0， ∴b＞0， ∴bc＞0， 故结论①不正确，不符合题意； ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0， 故结论②正确，符合题意； 由图象可知，关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是x≤﹣3或x≥0， 故结论③不正确，不符合题意； 由抛物线图象可知，当x＝﹣1时，抛物线y＝ax2+bx+c对应的函数值小于0， 即a﹣b+c＜0， ∵a＞0， ∴a（a﹣b+c）＝a2﹣ab+ac＜0， 故结论④正确，符合题意； 由抛物线图象可知，抛物线的最低点的纵坐标介于﹣3和﹣2之间， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣4没有交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c+4＝0无解， 故结论⑤正确，符合题意． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与不等式（组）、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题SHEJITI 由例5可知，求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．如图1﹣20．若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1•y2＜0，那么抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程x2+x﹣1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2+x﹣1＝0的解． 【任务】 （1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是 　A，D　.（从以下选项中选2个即可） 例5利用二次函数的图象方程x2+x﹣1＝0的解（或近似解）． 解设y＝x2+x﹣1，则方程x2+x﹣1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数y＝x2+x﹣1的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．观察图1﹣20，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈﹣1.6．所以方程x2+x﹣1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈﹣1.6． A．数形结合 B．分类讨论 C．统计思想 D．转化思想 （2）先完成下表，并判断： 方程3x2﹣x﹣1＝0的解x1，x2（x1＜x2）分别在哪两个相邻的整数之间． x的值 ﹣2 ﹣1 0 1 3x2﹣x﹣1的值 　13　 　3　 　﹣1　 　1　 （3）若抛物线y＝ax2+bx+2的开口向下，试判断方程ax2+bx＝﹣2根的情况． 【思路点拨】（1）结合解答过程即可得出答案； （2）观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值由正到负，故可判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1． （3）根据抛物线的开口向下，与y轴的交点为（0，2），即可判断抛物线与x轴有两个交点，从而判断方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0． 【解析】解：（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是A，D． 故答案为：A，D； （2）填表如下： x的值 ﹣2 ﹣1 0 1 3x2﹣x﹣1的值 13 3 ﹣1 1 ∴﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1． （3）∵y＝ax2+bx+2， ∴当x＝0时，y＝2， 又∵a＜0， ∴方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0． 【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是明确方程与函数的关系． 26．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1． （1）求m的值及二次函数的表达式； （2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积； （3）当x为何值时，该一次函数的值大于二次函数的值？请根据函数图象回答． 【思路点拨】（1）根据待定系数法即可求得m的值及二次函数解析式； （2）解析式联立组成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可； （3）根据图象即可求得． 【解析】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（0，3）， ∴m＝3， ∴直线为y＝x+3， ∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1． ∴， 解得， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）解， 解得或， ∴B（1，4）， ∴△OAB的面积＝＝； （3）由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数与不等式，数形结合是解题的关键． 27．函数的图象，如图所示．已知和y2＝kx+b的交点A的横坐标为﹣3，另一交点B的横坐标为1． 回答下列问题： （1）完善下列表格：y1、y2与x的对应值 x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y1 … ﹣16 0 4 2 0 4 20 54 112 … y2 … ﹣1 　0　 1 2 　3　 4 5 6 7 … 根据表格中的y2与x的对应值，在图中描点并画出y2＝kx+b的图象． 从中选取合适的数据，求出k，b的值． （2）根据图象，描述当﹣2≤x≤0时，函数y1随自变量变化的变化趋势． （3）根据图象，直接写出不等式x2（x+3）≤kx+b的解集． （4）若m，n分别满足关于x的方程x2（x+3）＝6和kx+b＝6，则m 　＜　n（填“＜”或“＞”）． 【思路点拨】（1）描两个点得到y2＝kx+b的图象，再利用待定系数法求y2的解析式，然后利用解析式求出自变量为﹣3和0所对应的函数值； （2）当﹣2≤x≤0时，函数y1减函数； （3）结合函数图象，写出y2的图象不在y1的图象下方所对应的自变量的范围即可； （4）结合函数图象，利用两函数图象与直线y＝6的交点位置可判断m、n的大小． 【解析】解：（1）如图， 把（﹣2，1），（﹣1，2）代入y＝kx+b得， 解得k＝1，b＝3， ∴一次函数解析式为y2＝x+3， 当x＝﹣3时，y2＝﹣3+3＝0；当x＝﹣3时，y2＝0+3＝3； 故答案为：0，3； （2）当﹣2≤x≤0时，函数y1随自变量的增大而减小； （3）不等式x2（x+3）≤kx+b的解集为x≤﹣3或﹣1≤x≤1； （4）m，n分别满足关于x的方程x2（x+3）＝6和kx+b＝6，则m＜n． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围、也考查了待定系数法求一次函数解析式和抛物线与x轴的交点问题． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$