专题1.4 二次函数的应用（知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题1.4 二次函数的应用 （知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数的应用 2 知识点梳理02：二次函数综合题 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：图形问题(实际问题与二次函数) 3 考点2：图形运动问题(实际问题与二次函数) 5 考点3：拱桥问题(实际问题与二次函数) 6 考点4：销售问题(实际问题与二次函数) 9 考点5：投球问题(实际问题与二次函数) 11 考点6：喷水问题(实际问题与二次函数 13 考点7：增长率问题(实际问题与二次函数) 14 考点8：其他问题(实际问题与二次函数) 15 考点9：线段周长问题(二次函数综台) 20 考点10：面积问题(二次函数综合) 23 考点11：角度问题(二次函数综合) 29 考点12：特殊三角形问题(二次函数综合) 36 考点13：特殊四边形(二次函数综台) 40 考点14：相似三角形问题(二次函数综合) 45 考点15：其他问题(二次函数综合) 49 中考真题 实战演练 53 难度分层 拔尖冲刺 59 基础夯实 59 培优拔高 67 知识点梳理01：二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点梳理02：二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 考点1：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的“关联矩形”．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分）的“关联矩形”为矩形OABC．若二次函数图象的“关联矩形”恰好也是矩形OABC，求b的值． 【答案】b的值为或 【思路点拨】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【规范解答】解：根据题意可知，点A的坐标为． 对于， 当时，， ． 四边形是矩形， ． 分析题意可知，有两种情况符合题意： ①当抛物线经过点O，B时，将，代入， 得， 解得； ②当抛物线经过点A，C时，将，代入， 得， 解得． 综上所述，b的值为或． 【变式训练】（25-26九年级上·青海海东·期中）某建筑商计划依靠一面长19米的墙建造一个如图所示的矩形仓库，仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成．设这个矩形仓库边长为． (1)若仓库面积的面积为，求x的值； (2)当边的长是多少米时，仓库的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)14 (2)当边的长为9米时，仓库的面积最大为162． 【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设为米，则有为米，然后可得函数关系式，根据面积为构造一元二次方程解答即可； （2）根据（1）中函数关系式及二次函数的性质可进行求解． 【规范解答】（1）解：设为米， ∴为米； ∴． 当时，, 解得， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意； ∴x的值为14； （2）解：∵， ∵S与的二次函数图象开口向下， ∴当时，S可取最大值， 当时，边的长为（米），仓库依靠的墙长度为18米，符合实际情况． ∴当时，仓库的面积可取最大，最大值为162； 答：当边的长为9米时，仓库的面积最大为162． 考点2：图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，点 Q从点B出发，以的速度沿 方向运动到点 C 停止，同时点P 从点 B 出发，以的速度沿路线 B→A→D→C 运动到点C 停止.若 的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则下列最能反映y与x之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．解题时注意分类讨论的数学思想． 根据题意分三部分确定函数解析式：当时，当时，当时，然后结合函数图像求解即可． 【规范解答】解：根据题意可知，， ∵， ∴当时，， 当时，，故选项D不合题意； 当时，，此时图象为抛物线，且抛物线的开口向下，故选项B符合题意，选项A、C不合题意． 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【规范解答】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值0， 即经过6秒，四边形的面积最小， 故答案为：6． 考点3：拱桥问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图是某个拱型彩灯门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点M 且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知，，，O为的中点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)为支撑拱型彩灯门的结构，在抛物线上的点E，F处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出二次函数解析式． （1）由题意可知，顶点，设抛物线的函数解析式为，将代入求解即可； （2）设，则，，然后表示出这三条撑杆的长度和，然后根据二次函数得性质求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，顶点， ∵O为的中点，，， ∴点， 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数解析式为； （2）解：设，则， 则这三条撑杆的长度和， ∴当时，所需撑杆长度和的最大值为． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【规范解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 考点4：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这20天中第几天销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 【答案】(1) (2)第5天的销售利润为18000元 (3)不能，理由见解析 【思路点拨】本题考查二次函数、一次函数的应用． （1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据函数的性质求最值即可得出结论． 【规范解答】（1）解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； （3）不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]． (1)求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ (3)销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，可获得最大月利润，最大月利润为元 (3)销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质和销售利润之间的关系是解题的关键， （1）根据总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量的关系式分别列出当或时的方程，整理即可得到函数关系式； （2）由开口向下，根据二次函数的性质得到在对称轴的位置取得最大值，从而得到答案； （3）由于店铺销售该运动鞋要盈利，故，即．再根据二次函数的图象性质可得当时，，从而得到答案． 【规范解答】（1）解：（1）①当时，根据题意得， 整理得：， ②时，根据题意得， 整理得， 综上所述：月销售总利润关于销售单价的函数关系式为：． （2）解：由（1）得：， ∴，开口向下，有最大值， ∴对称轴为：， ∴当时，取最大值， （元） 答：当销售单价定为85元时，可获得最大月利润，最大月利润为6125元． （3）解：∵店铺销售该运动鞋要盈利， ∴，即． ∵令， ∴解得，， ∵二次函数开口向下， ∴当时，， ∴销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利． 考点5：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·四川泸州·期中）运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： (1)求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； (2)求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 【答案】(1)实心球运行满足的函数关系式为 (2) 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，能够正确求出函数关系式是解题关键； （1）直接用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质直接求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，以为原点，为y轴，为x轴，建立直角坐标系， 由题意：，， 将两点代入得到：， 解得， ∴实心球运行满足的函数关系式为； （2）∵，， ∴当时，取到最大值为， 答：实心球在运行过程中离地面的最大高度为． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）教练对小明某次扔铅球的录像进行技术分析，并根据录像画面建立如图所示的平面直角坐标系，发现铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为．由此可知，这次铅球扔出的距离为（   ） A．12m B．10m C．13m D．15m 【答案】B 【思路点拨】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出的值，的正值即为所求． 【规范解答】解：令，则，即， 解得，． 由题意可知，， ， 这次铅球扔出的距离为10m． 故选：B． 考点6：喷水问题(实际问题与二次函数 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1m的喷水管，喷水最高点离地面3m，此时点离喷水口的水平距离为．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函数表达式为 （不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】 【思路点拨】设抛物线的顶点式 ，将点代入即可求解抛物线的解析式． 【规范解答】解：∵点是抛物线的顶点， ∴可设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点 ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）某景点圆形喷水池中心处竖直安装一根水管，喷水口处的水流呈抛物线型，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，已知水流落地处离池中心处的距离为，于点，，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求水管的高度． 【答案】(1) (2)水管的高度为米 【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）令代入函数解析式可得结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得，， 设函数解析式为， 把代入得， 解得，， ∴函数解析式为； （2）解：当时，， 所以，水管的高度为米． 考点7：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度总值约为千亿元，第三季度总值为千亿元，则函数解析式即可求得． 【规范解答】解：根据题意得： 关于的函数表达式是：， 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【规范解答】解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 考点8：其他问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． (1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． (2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． (3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为 (2)9米 (3) 【思路点拨】（1）先求出，再设滑道所在抛物线的解析式为，将代入，求出，即可得出抛物线的解析式，再求出点D的坐标即可； （2）先求出直线的解析式为，再求出点，求出抛物线的解析式为，然后求出顶点坐标，即可得出答案； （3）先根据题意得出点M的坐标为，然后求出当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，，再求出当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方，此时，最后求出d的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：对于，当时，， ∴， 设滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得，解得（负值已舍去）． ∴滑道所在抛物线的解析式为， 把代入得： 解得：或， ∴点D的坐标为． （2）解：由题意知点G的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 对于，当时，， ∴， ∴滑道所在抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 对于，当时，， ∴， 答：车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度是9米． （3）解：由题意知点M的坐标为，点N的横坐标为， 由题意知，当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，， 当点N与点F重合时，， 解得：， 当时，点M的纵坐标为， ∴点M，N的高度差为， ∴当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方， 对于，当时，， 令， 解得：（不合题意的值已舍去）， 分析可知，符合题意的d的取值范围为：． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·期中）海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”，如图1所示，是北京动物园的海洋馆中，海豚从水面跳出的一个瞬间，如图2所示，以海豚的出水点为原点，以水面为x轴，建立平面直角坐标系．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． (1)第一次跳跃时，海豚的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 1 2 4 6 7 竖直高度 1.75 3 4 m 1.75 根据表中数据，直接写出m的值为______，a的值为______； (2)在（1）的条件下，海豚在这次跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过，已知呼啦圈的圆心与水面的距离为3.75米，直接写出呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为______米； (3)第二次跳跃时，海豚的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：．记海豚第一次跳跃时入水点的水平距离为，记第二次跳跃时入水点的水平距离为，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，正确求得二次函数解析式是解题的关键． （1）根据二次函数的性质可得函数的顶点坐标为，再将代入即可解答； （2）根据题意得到竖直高度，再代入函数解析式即可求得水平高度； （3）将分别代入两个函数解析式即可求得，，即可解答． 【规范解答】（1）解：根据表中数据可得函数的顶点坐标为，则可得， 把代入函数解析式可得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 把代入可得， 故答案为：；； （2）解：由题意，把代入函数解析式可得， ， 解得， 所以呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为米或米， 故答案为：或； （3）解：把代入， 可得， 解得， ， 把代入， 可得， 解得， ， ， 故答案为：． 考点9：线段周长问题(二次函数综台) 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的图象（记为）经过点B，C．直线与两个图象，分别交于点D，E，与x轴交于点P． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，当点P在线段上时，求四边形面积的最大值； (3)设点D，E到直线的距离分别为m，n．当时，请求出对应的t值． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【思路点拨】此题考查了二次函数与几何综合题，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）设，，得到，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过点D作于点T，过点E作于点S，设直线与直线交于点G，得到，当时，解方程即可求出答案． 【规范解答】（1）解：对于二次函数， 当时，， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点B，C， ∴解得： ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∵直线与x轴垂直， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值为； （3）如图，过点D作于点T，过点E作于点S，设直线与直线交于点G， ∵，， 设直线表达式为：，代入点，， 则 ∴直线表达式为， ∴， ， ， ∵，， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴，∵轴， ∴， ∵，， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， 同理， 即， 当时， ∴，整理得：， ∴或， 解得，，，． 【变式训练】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）将两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式； （2）根据坐标求出所在直线解析式为，设，，进而求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴这个二次函数的表达式为． （2）解：∵点P是直线下方的抛物线上一动点， ∴设，， 设直线的解析式为， 将点和点代入得， ∴， ∴直线的解析式为． ∵过P点作y轴的平行线交直线于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴线段的最大值为． 考点10：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·江西新余·期中）如图1，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上一点，满足，求点的横坐标； (3)如图2，已知，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿轴向上翻折，得到图象（虚线部分），点为图象的顶点，现将图象保持其顶点在直线上平移，得到的图象与线段至少有一个交点．求图象的顶点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)图象顶点横坐标的取值范围： 【思路点拨】（1）将点、的坐标分别代入函数解析式，列出关于、的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）满足，则点到的距离与点到的距离相等； （3）设抛物线：的顶点为，则点关于轴对称点的坐标为：，由题意易得直线，设图象顶点为，然后进行分类求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入抛物线的解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1， 由（1）可知：抛物线的解析式为：， 令时，则有， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当在直线的左侧时， ， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 方程组无解， 不在直线的左侧， 当在直线的右侧时，在轴上取点M，使，分别过点O、M作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 过点作直线交抛物线于点， 同理可求直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴或； （3）解：设抛物线：的顶点为，则点关于轴对称点的坐标为：， 又， 同理可得直线， ∵图象顶点在直线上， ∴设图象顶点为， 如图2， 由点与的坐标关系，得到点的对应点，即， 由可得直线， 当点在直线上时，， ， 此时点K的横坐标为， ∴点在线段上， 如图3， 设图象所在抛物线方程为：，点为直线与抛物线的交点，则点的坐标满足下列方程组： ， 点的横坐标是方程：的解， 整理得：， 当图象与直线相切时有：， 解得：， ∴方程为， 解得：， ，（在线段上）， ∴图象顶点横坐标的取值范围：． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】(1) (2)有最大值为，点的坐标为 【思路点拨】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数与三角形，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，设点的坐标为，再求出直线的表达式为，得到点的坐标为，则，表示出的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：将，，代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图2，过点作轴交于点， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值为，此时点的坐标为． 考点11：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线，点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、． (1)求此抛物线的解析式； (2)当轴时，求的值； (3)当时，求点的坐标； (4)设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 (4)或 【思路点拨】（1）将点代入解析式，由对称轴为直线得，即可求解； （2）由轴得，即可求解； （3）由勾股定理得，，，即可求解； （4）分类讨论：①当、都在直线的左侧时，②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，③当点在直线的右侧且在直线上方时，④当点在直线的右侧且在直线下方时；即可求解． 【规范解答】（1）解：点，对称轴为直线， ，， 解得：， 故此抛物线的解析式； （2）解： 轴， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 故； （3）解：点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、， ，， ， ， ， 当时， ， ， 解得：，； 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （4）解：由（3）得，顶点坐标为， ①当、都在直线的左侧时， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； ②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图， ， 解得：， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 此种情况的值不存在； ③当点在直线的右侧且在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）； 的值为； ④当点在直线的右侧且在直线下方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：的值为或． 【变式训练】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在点，使的面积最大，面积的最大值为 (3)或 【思路点拨】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等角对等边，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据点A的坐标可得的长，则可得到的长，进而得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出直线的解析式为；过点P作交于E，设，则，可求出，，据此求解即可； （3）分点M在点B上方和点M在点B下方两种情况，讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C在y轴的正半轴， ∴； ∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作交于E，设，则， ∴； ∵ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：如图所示，当点M在B上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在点B下方时，设直线交x轴于F， 设， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 考点12：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M ，使得是等腰直角三角形？如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若点E是x轴上一个动点，点E向上平移4个单位长度得到点F，点F向右平移2个单位长度得到点G，点G向下平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或； (3) 【思路点拨】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式； （2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解； （3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，求得或，当G点在抛物线上时，求得或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点． 【规范解答】（1）解：由得，时，， ∴． ∵抛物线经过、两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，令，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵是直线上的点，设， 当为斜边时，， ∴， 解得：， ∴； 当时，， ∴， 解得：（不合题意舍去） ∴； 综上所述，存在，点M的坐标为或； （3）解：∵点E的横坐标， ∴， 由题可知，，，， 当F点在抛物线上时，， 解得或， 当G点在抛物线上时，， 解得或， ∴时，四边形与抛物线有公共点． 【变式训练】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，已知抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上一点（不与B，C重合），轴，且交抛物线于点M，交轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得为直角三角形，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或 【思路点拨】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，根据，列出二次函数关系式，求最值即可； （3）分，和，三种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，设抛物线 ∵图象过点， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为，即． （2）解：设直线的解析式为， ∵图象过 ∴，解得， ∴． 设，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时，最大， ∵当时，， ∴． （3）解：由（2）知：， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴， 当为直角三角形时，分3种情况： ①当时，则，即：， 解得， ∴； ②当时，则，即：， 解得， ∴； ②当时，则，即：， 解得， ∴； 综上：点坐标为或或或． 考点13：特殊四边形(二次函数综台) 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林四平·期中）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； (4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 (4)存在，点的坐标为或 【思路点拨】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点，面积问题，矩形的性质，正方形的性质与判定； （1）直接将的坐标代入二次函数解析式可求出，从而得到二次函数的解析式； （2）令，解方程得点坐标； （3）由，同底等高的两个三角形面积相等，得出，进而分类讨论，当在轴上方时，由抛物线的对称性可得的坐标，当在轴的下方时，，代入函数解析式求得横坐标，即可求解； （4）分是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入二次函数解析式， 得． 解得，． （2）由（1）可得，二次函数解析式为， 令，得． 解得或． ∴点的坐标为． （3）在中，令，得，则点的坐标为， ∵， ∴ 当当在轴的上方时，点、关于二次函数对称轴对称． ∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 当在轴的下方时，， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为； （4）设直线的解析式为：，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 如图， 若为矩形的对角线， ∵， ∴， ∵ ∴，，矩形是正方形 ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分， ∴，， 若为矩形的边， 同理可得，矩形是正方形， 由，，得，， 综上所述，存在，，使能构成矩形． 【变式训练】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第三象限内抛物线上一动点，设点的横坐标为的面积为；求与的函数关系式； (3)若是抛物线上的动点，是直线上的动点；是否存在以四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点与点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；或或或 【思路点拨】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式． （2）设出点的坐标，利用即可进行解答； （3）当是平行四边形的边时，表示出的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当是对角线时，由图可知点与应该重合． 【规范解答】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：， 将三点代入函数解析式， 得： 解得：， 所以此函数解析式为：； （2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上， ∴点的坐标为：， 如图，连接， ， ， ∴． （3）解：设． 当为边时，如图，根据平行四边形的性质知，且， ∴的横坐标等于的横坐标， 又 ∵直线的解析式为， 则． 由，得，即， 解，得：（舍去）或， 此时； 解，得：， ∴或． 如图，当为对角线时，， 则与应该重合，． 四边形为平行四边形则的横坐标为 4 ， 代入得出为． 此时； 由此可得或或或． 考点14：相似三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，其中， (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，点，当点面积最大时，点为轴上一动点，求最小值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据题意可知，和，即可点坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）连接，设点，则 利用二次函数的性质求得最大值，此时点，面积最大为12，连接，取点，则，，，过点O作交延长线于点F，有，即有，若点Q和点重合时，取最小值，则即可求得最小值． 【规范解答】（1）解：∵点， ∴， ∵， ∴，即点， ∵， ∴，即点， 则，解得， 则； （2）解：连接，如图， 设点，则 ∵， ∴时，点，面积最大为12， 连接，取点，则，，，过点O作交延长线于点F，如图， 则， ∴， 即， 若点Q和点重合时，三点共线，最小值， 即, ∵， ∴， 则， 故最小值为． 【变式训练】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【思路点拨】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【规范解答】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 考点15：其他问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过三点． (1)求二次函数的解析式； (2)设点在二次函数的图象上，将绕点C按顺时针方向旋转至，使得射线经过点D且与y轴的正半轴交于点E，射线与线段交于点F．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查二次函数的解析式求解以及几何图形的旋转与全等证明，解题的关键是利用待定系数法求二次函数解析式，通过作辅助线、证明三角形全等进行几何推导． （1）利用待定系数法，将、、三点坐标代入二次函数，解方程组求出、、的值，得到解析式． （2）先求出点坐标，再求出直线的解析式，确定点坐标，结合全等三角形的性质，得出，进而推导出． 【规范解答】（1）解：把代入， 得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点C作于点轴于点， ， ， ， ， ∵将绕点按顺时针方向旋转至， ， 即， 又 ∵， ， ， ∵二次函数的解析式为， 当时，， ， 设直线，把代入得 ， ∴直线 ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为M，交x轴于点和点B．点是抛物线上一点． (1)求b的值； (2)求M的坐标； (3)若点P是x轴上方抛物线上的点（不与点A，B，D重合），设点P的横坐标为n，过点P作轴，交直线于点Q．当线段的长随n的增大而增大时，请求出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）将解析式化为顶点式即可求解． （3）由题意分别求出，分和两种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点是抛物线上的点， ， 解得； （2）解：根据（1）抛物线的表达式为， ∴抛物线顶点的坐标为； （3）解：令，解得：或， 即， 设直线的表达式为， ， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点且， 则点， 当点在点的下方，即时，； 故当时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，即时，． ∴当时，线段的长随的增大而增大， 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或． 1．（2024·河北张家口·中考真题））阅读材料：抛物线 上任意一点到定点和到定直线的距离相等，我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，如，抛物线的焦点为，准线为直线． 解决问题：如图，为抛物线上的一点，为该抛物线的焦点，点的坐标为，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的综合应用，垂线段最短，勾股定理的应用，仔细审题得出函数的准线与焦点坐标是解答本题的关键．首先得出焦点的坐标和准线方程，由点到点的距离等于点到准线的距离，从而根据垂线段最短的知识可找到点的位置，结合图形可得出这个最小值． 【规范解答】解：由题意得，抛物线的焦点的坐标为，准线为直线． 过点作直线，交直线于点，过点作直线，交直线于点，与抛物线的交点为点，如图： 则由题意可得，， 故可得：， 结合垂线段最短，可得当点与点重合时，，此时的值最小， 此时， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 故选：A． 2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)写出该抛物线的对称轴为_______，顶点坐标为______； (2)若直线与抛物线交于两点A、B，其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当的面积随m的增大而减少时，求m的取值范围． 【答案】(1)直线； (2) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再计算顶点坐标即可； （2）可求出直线与抛物线的一个交点坐标为，则利用待定系数法可求出抛物线解析式，进而求出两函数的另一个交点坐标；表示出点N和点M的坐标，根据点M在点N的下方可得m的取值范围，再由，求出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的增减性求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， ∴直线与抛物线的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴直线与抛物线的另一个交点坐标为； 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∵点M在点N的下方， ∴此时一次函数图象在二次函数图象的上方， ∴； ∴ ； ∴ ， ∵，， ∴当时，随m的增大而减小，即此时的面积随m的增大而减少． 3．（2024·福建厦门·中考真题）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求的值； (3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为．和，且，求的取值范围． 【答案】(1)不是“定点抛物线” (2)或 (3) 【思路点拨】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）把点代入计算，再根据“定点抛物线”的定义判定即可求解； （2）根据“定点抛物线”的定义可得当时，，再根据抛物线与直线交点的计算，联立方程，由根与系数的关系得到，由此即可求解； （3）一次函数的图象与定点抛物线有交点，联立方程可得，即，根据横坐标的特点得到或，根据，得到，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴二次函数的图象不经过点， ∴不是“定点抛物线”； （2）解：∵抛物线是定点抛物线， ∴当时，， ∴， ∵定点抛物线与直线只有一个公共点，令， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 解得，或； （3）解：根据题意，， 整理得，， ∴，即， ∴或， ∴交点的横坐标为或， ∵， ∴， 解得，， ∴的取值范围为：． 4．（2024·天津河东·中考真题）阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当售价每降低1元，平均一周可多卖出10个． (1)设每个电子产品降价元，则每周可销售__________个； (2)若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？ (3)设商户每周盈利元，当每个电子产品降价多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)10元 (3)每个电子产品降价7元，每周的销售利润最大，最大利润为5290元 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数关系式，是解题的关键： （1）根据售价每降低1元，平均一周可多卖出10个，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可； （3）根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【规范解答】（1）解：设每个电子产品降价元，由题意，每周可销售个； 故答案为：； （2）由题意，， 解得，， 尽量减少库存， ． 答：每个电子产品降价10元． （3）根据题意得：， ， 当时，取得最大值，最大值为5290． 答：每个电子产品降价7元，每周的销售利润最大，最大利润为5290元． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，一次函数的应用，勾股定理，先求出，得到，直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，求出，从而可得，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为， ∵， ∴此时的值也最大，为， 故答案为：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【规范解答】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位上涨时，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出结果． 【规范解答】解：∵， ∴当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故小朱本次投掷实心球的成绩为8米； 故选：C． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）满足两条直角边的和等于12的直角三角形，它们的面积都不会超过（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【思路点拨】该题考查了二次函数的应用，设一条直角边为x，三角形的面积为S，，利用二次函数的性质求最值即可． 【规范解答】解：设一条直角边为x，三角形的面积为S， 则， 所以当时，S最大，此时， 所以当两条直角边都是6时，此直角三角形的面积最大，最大为18． 故面积都不会超过18． 故选：B． 4．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）iasudu物体从空中下落时，受重力影响速度会匀速加快，实验测得重力加速度米/秒2（下落速度以每秒10米/秒的速率增加）．一个距地面30米（相当于10层楼高）的砖块从静止状态自然落下，触地瞬间的速度约为 米/秒（保留一位小数）． 【答案】 【思路点拨】本题考查函数解析式，物体从静止开始自由落体，已知重力加速度、下落高度，利用速度与位移的关系公式求解末速度． 【规范解答】解：由自由落体运动公式，其中初始速度，加速度 ，下落高度． 代入得， 所以，保留一位小数约为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，将高度代入关系式，建立关于t的方程，求解即可得到所需时间． 【规范解答】由题意，令，得方程， 整理得：， 两边同时除以，得：， 因式分解得：， 解得或， 经检验，和均满足，故符合题意， 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·河南周口·期中）某商场进一批货物，销售量（件）与每件货物的利润（元）的关系式为，则总利润与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数解析式． 这批货物的总利润等于每件货物的利润销售量，将已知销售量与每件利润的函数关系代入即可求解． 【规范解答】解：由题意得， 总利润； 故答案为：． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是8米，跨度是16米，在线段上距离处6米的地方，桥的高度是 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线解析式．先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入解析式求出相应的的值即可． 【规范解答】解：建立平面直角坐标系，如右图所示， 由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 点在该抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入，得：， 即线段上距离处6米的地方，桥的高度是米， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为______． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)12 (2) 【思路点拨】本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1）可得，根据二次函数的性质即可解答． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， 设交于点， ∵四边形的两条对角线，互相垂直， 即， ∴ ； 故答案为：12； （2）解：设，四边形面积为S， 则， 由（1）得到， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时， ∴当时，四边形的面积最大． 9．（25-26九年级上·天津红桥·期中）阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价x（元/千克） 12 14 16 销售量y（千克） 180 160 140 (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ (3)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)13元/千克 (3)定价20元/千克时，利润最大，最大利润为1000元 【思路点拨】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的应用，二次函数的图象性质，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读取表中的数据，再运用待定系数法进行列方程，再解得， （2）理解题意，得每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克，根据水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元进行列式，得出，（舍去），即可作答． （3）理解题意，得，根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，设与之间的函数解析式为， 根据题意，得， 解得， ， ∵规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元． ∴． 即； （2）解：依题意，每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克， 根据题意，得． 解得，（舍去）． 当销售单价定为每千克13元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄可获得的利润为510元． （3）解：根据题意，得 ∵， ∴开口向下， 当销售单价为每千克20元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润为1000元． 10．（25-26九年级上·河北张家口·期中）有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为 (1)能否围成一个面积为的矩形？ (2)写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值． 【答案】(1)能 (2)，9 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据矩形的周长和面积公式建立函数关系，再利用二次函数的性质求解． （1）根据矩形周长求出宽，结合面积公式列方程，判断方程是否有实数解； （2）根据矩形面积公式建立函数关系式，再通过二次函数的性质求面积最大值． 【规范解答】（1）解：能，理由如下： 设矩形的长为，则宽为． 根据题意可得： 解得． 当时，宽为；当时，宽为，均符合矩形长和宽的实际意义， 能围成面积为的矩形； （2）解：矩形面积公式，． 矩形的长，宽， ， 即函数关系式为． 当时，面积的最大值为9． 答：与的函数关系式为，面积最大值为9． 培优拔高 11．（25-26九年级上·湖北·期中）已知抛物线经过点、，则下列结论：①若，、在该抛物线上，；②若抛物线与y轴交于点，当时y的最大值与最小值的差为6；③平面直角坐标系内，线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，a的取值范围是；④以为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是．以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数解析、抛物线的图象性质，一元二次方程的求解，点与圆的位置关系，数形结合思想是解题的关键． 运用抛物线的解析式，抛物线的图象性质，一元二次方程的求解，点与圆的位置关系求解． 【规范解答】解：∵拋物线上点、关于对称轴对称，， ∴拋物线对称轴为直线，拋物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当，即时，、，两点在对称轴上或右侧，恒成立； 当即时，则，即， ∴； 所以当时，； 故①正确； 设拋物线解析式为，把代入可得， ∴拋物线的解析式为，对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，时y有最大值为5，时y有最小值为， ∴y的最大值与最小值的差为9，故不符合题意；故②错误； 把、代入，得，解得， ∴， 把代入可得，，解得， 把代入可得，，解得， ∵当抛物线与线段有交点， ∴a的取值范围是，故③正确； ∵抛物线经过点、， ∴， ∴以为直径的圆的半径为2， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当以为直径的圆与x轴下方抛物线有交点时，，解得， ∴a的取值范围是，故④错误． 故选：B． 12．（11-12九年级下·四川南充·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数与图形运动，二次函数的图象性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，分别列出与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积y的表达式，然后结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【规范解答】解：如图所示： ∵为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向下的二次函数， 如图所示： 依题意， 则 ∴ 故， 同理得出是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向上的二次函数， 观察四个选项，唯有A选项符合题意； 故选：A 13．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）小明同学为了研究物体在太阳光照射下影子的长度与时间的变化，某天在学校操场上测量了一根垂直于地面的直杆的影子长度，发现影子长度y与时间t之间近似二次函数关系，并在当天，，时分别测得直杆影子的长度为1.31米、1.1米和1.25米．则下列判断正确的是（   ） A．前，直杆的影子长度逐渐变长 B．后，直杆的影子长度逐渐变短 C．在到之间，会有某个时刻直杆的影子长度达到当日最短 D．在到之间，会有某个时刻直杆的影子长度也为1.1米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象及性质，结合题意按照二次函数的性质判断结论是本题的解题关键． 由题意可得影子长度先减小再增大，逐项判断即可． 【规范解答】解：由题意可得在到之间，影子长度先减小再增大，即二次函数图象开口向上， 又∵在以后，还需要一定时间影子长度为米， 所以对称轴位在还过大于时长，即以后．即对称轴位于到之间， A、前，直杆的影子长度逐渐变短，故A错误，不符合题意； B、后，直杆的影子长度逐渐变长，故B错误，不符合题意； C、在到之间，不会有某个时刻直杆的影子长度达到当日最短，故C错误，不符合题意； D、在到之间，会有某个时刻直杆的影子长度也为1.1米，根据二次函数的性质可得D正确，符合题意， 故选：D． 14．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称轴为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【规范解答】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴解方程组得， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）已知函数的图像如图所示，若直线与该图像有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查分段函数的图像与性质，一次函数图像上点的坐标特征，结合图像求出的最大值和最小值是解题的关键．根据题意可知，当直线经过点时，直线与该图像有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，令的，进而可得出的最大值是15，最小值是2，即可得到答案． 【规范解答】解：当直线经过点时， 可有，解得； 当直线与抛物线只有一个交点时，可得， 整理得， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴的最大值是15，最小值是2， ∴若直线与该图像有公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 16．（2025九年级·全国·专题练习）有一雕塑，从点向外喷水，喷出的水柱为抛物线．如图，以为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点．已知雕塑高，距水平距离处为水柱最高点，落水点与雕塑之间的距离为，则喷出的水柱最大高度为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 根据题意得水柱形成抛物线的对称轴为直线，过点，，用待定系数法求出函数的解析式，即可得到喷出水柱的最大高度． 【规范解答】解：∵距水平距离处为水柱最高点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设水柱所在抛物线的函数表达式为． 雕塑高， 点的坐标为． 落水点与雕塑之间的距离为， 点的坐标为， 解得 水柱所在抛物线的函数表达式为 ， ∵，开口向下，二次函数有最大值， 喷出的水柱最大高度为． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知y是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，画出图形，数形结合确定最大值和最小值，进行求解即可． 【规范解答】解：画出，的图象如下： 令，解得或， 当时，； 当时，； 当时，， 由图可知：当时，有最小值为； 当时，有最大值为； ∴y的最小值与最大值的和为； 故答案为：3． 18．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，抛物线交轴于点和（点在点的左侧），交轴于点，顶点坐标为 (1)求抛物线的解析式； (2)在轴上方的抛物线上是否存在点，使得的面积是面积的一半？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点或或 【思路点拨】（）利用待定系数法解答即可求解； （）求出点的坐标，进而可得，，即得，，再利用面积法可求得点到的距离为，再分直线向上和向下两种情况平移，当平移的直线与直线的距离为时，可知抛物线上存在点，使得的面积是面积的一半，据此解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点到的距离为，则， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ①当直线向上平移到直线，且直线与直线的距离为时，可知此时抛物线上存在点，使得的面积是面积的一半，如图，设直线与轴的交点为，过点作直线于，则， ∵直线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴点的坐标为或； ②当直线向下平移到直线，且直线与直线的距离为时，可知此时抛物线上存在点，使得的面积是面积的一半，如图，设直线与轴的交点为，过点作直线于，则， 同理①可得， ∴， ∴，即点在抛物线的对称轴上， 同理①可得直线的解析式为， 由，解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为； 综上，在轴上方的抛物线上存在点或或，使得的面积是面积的一半． 19．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D是函数图象第二象限上的一点，连接，交x轴于点E ． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，包括待定系数法求二次函数解析式，利用三角形面积求点的坐标． （1）根据已知的两点坐标代入二次函数的解析式即可求得两个待定系数，从而确定二次函数的解析式； （2）首先求得点C的坐标，由得出点D和点C到x轴的距离相等，可求出点D到x轴的距离，再根据点D在第二象限推出点D的纵坐标为3，代入二次函数解析式可求得x的值，最终得到点D的坐标． 【规范解答】（1）解：∵二次函数与x轴交于，两点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：当时，， ∴， ∵， ∴点D和点C到x轴的距离相等， ∴点D到x轴的距离为3， 又∵点D在第二象限， ∴点D的纵坐标为3， 当时，即， 解得，（舍去）， ∴点D的坐标为． 20．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 【答案】(1)，， (2)或2 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了抛物线与面积、特殊四边形的综合问题，涉及二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，以及定值定点问题． （1）根据抛物线的解析式求得时x的值，和时y的值，即可得点A、B、C的坐标； （2）求得的表达式为，设，过D点作轴，交于F点，则，由可求得m的值，即D点的横坐标，根据，即可求得E点的横坐标； （3）设，然后求出直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，可得直线经过定点，则得到，而直线过点，代入得到，同理，将，代入，得到，最后把代入直线，整理得：，则当时，，此时，即可确定过定点． 【规范解答】（1）解：由得， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解： 设的表达式为， 则，解得， ∴的表达式为， 过D点作轴，交于F点， 设， 则， ∴， ∵由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去），， 当时， 解得， ①当时，D点在第三象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； ②当时，D点在第四象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得， 综上，点E的横坐标为或2； （3）证明：设， 设直线的表达式为 ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 同理可求直线的表达式为， 直线的表达式为， 直线的表达式为， ∵直线， ∴直线经过定点， 将点代入直线：， 则， ∴， ∵直线过点， ∴， ， ∴ 同理：， ∴， 将，代入，则， 化简得：， 把代入直线， 整理得：， ∴当时，，此时， ∴直线经过定点． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 二次函数的应用 （知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数的应用 2 知识点梳理02：二次函数综合题 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：图形问题(实际问题与二次函数) 3 考点2：图形运动问题(实际问题与二次函数) 4 考点3：拱桥问题(实际问题与二次函数) 4 考点4：销售问题(实际问题与二次函数) 5 考点5：投球问题(实际问题与二次函数) 7 考点6：喷水问题(实际问题与二次函数 7 考点7：增长率问题(实际问题与二次函数) 8 考点8：其他问题(实际问题与二次函数) 9 考点9：线段周长问题(二次函数综台) 11 考点10：面积问题(二次函数综合) 13 考点11：角度问题(二次函数综合) 15 考点12：特殊三角形问题(二次函数综合) 17 考点13：特殊四边形(二次函数综台) 19 考点14：相似三角形问题(二次函数综合) 21 考点15：其他问题(二次函数综合) 23 中考真题 实战演练 25 难度分层 拔尖冲刺 26 基础夯实 26 培优拔高 29 知识点梳理01：二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点梳理02：二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 考点1：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的“关联矩形”．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分）的“关联矩形”为矩形OABC．若二次函数图象的“关联矩形”恰好也是矩形OABC，求b的值． 【变式训练】（25-26九年级上·青海海东·期中）某建筑商计划依靠一面长19米的墙建造一个如图所示的矩形仓库，仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成．设这个矩形仓库边长为． (1)若仓库面积的面积为，求x的值； (2)当边的长是多少米时，仓库的面积最大？最大面积是多少？ 考点2：图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，点 Q从点B出发，以的速度沿 方向运动到点 C 停止，同时点P 从点 B 出发，以的速度沿路线 B→A→D→C 运动到点C 停止.若 的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则下列最能反映y与x之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 考点3：拱桥问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图是某个拱型彩灯门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点M 且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知，，，O为的中点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)为支撑拱型彩灯门的结构，在抛物线上的点E，F处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 考点4：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这20天中第几天销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]． (1)求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ (3)销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？ 考点5：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·四川泸州·期中）运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： (1)求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； (2)求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）教练对小明某次扔铅球的录像进行技术分析，并根据录像画面建立如图所示的平面直角坐标系，发现铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为．由此可知，这次铅球扔出的距离为（   ） A．12m B．10m C．13m D．15m 考点6：喷水问题(实际问题与二次函数 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1m的喷水管，喷水最高点离地面3m，此时点离喷水口的水平距离为．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函数表达式为 （不要求写出自变量的取值范围）． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）某景点圆形喷水池中心处竖直安装一根水管，喷水口处的水流呈抛物线型，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，已知水流落地处离池中心处的距离为，于点，，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求水管的高度． 考点7：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 考点8：其他问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． (1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． (2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． (3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·期中）海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”，如图1所示，是北京动物园的海洋馆中，海豚从水面跳出的一个瞬间，如图2所示，以海豚的出水点为原点，以水面为x轴，建立平面直角坐标系．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． (1)第一次跳跃时，海豚的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 1 2 4 6 7 竖直高度 1.75 3 4 m 1.75 根据表中数据，直接写出m的值为______，a的值为______； (2)在（1）的条件下，海豚在这次跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过，已知呼啦圈的圆心与水面的距离为3.75米，直接写出呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为______米； (3)第二次跳跃时，海豚的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：．记海豚第一次跳跃时入水点的水平距离为，记第二次跳跃时入水点的水平距离为，则______（填“”、“”或“”）． 考点9：线段周长问题(二次函数综台) 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的图象（记为）经过点B，C．直线与两个图象，分别交于点D，E，与x轴交于点P． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，当点P在线段上时，求四边形面积的最大值； (3)设点D，E到直线的距离分别为m，n．当时，请求出对应的t值． 【变式训练】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 考点10：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·江西新余·期中）如图1，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上一点，满足，求点的横坐标； (3)如图2，已知，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿轴向上翻折，得到图象（虚线部分），点为图象的顶点，现将图象保持其顶点在直线上平移，得到的图象与线段至少有一个交点．求图象的顶点横坐标的取值范围． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 考点11：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线，点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、． (1)求此抛物线的解析式； (2)当轴时，求的值； (3)当时，求点的坐标； (4)设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【变式训练】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 考点12：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M ，使得是等腰直角三角形？如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若点E是x轴上一个动点，点E向上平移4个单位长度得到点F，点F向右平移2个单位长度得到点G，点G向下平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 【变式训练】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，已知抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上一点（不与B，C重合），轴，且交抛物线于点M，交轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得为直角三角形，求点Q的坐标． 考点13：特殊四边形(二次函数综台) 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林四平·期中）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； (4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第三象限内抛物线上一动点，设点的横坐标为的面积为；求与的函数关系式； (3)若是抛物线上的动点，是直线上的动点；是否存在以四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点与点的坐标． 考点14：相似三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，其中， (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，点，当点面积最大时，点为轴上一动点，求最小值． 【变式训练】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 考点15：其他问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过三点． (1)求二次函数的解析式； (2)设点在二次函数的图象上，将绕点C按顺时针方向旋转至，使得射线经过点D且与y轴的正半轴交于点E，射线与线段交于点F．求证：． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为M，交x轴于点和点B．点是抛物线上一点． (1)求b的值； (2)求M的坐标； (3)若点P是x轴上方抛物线上的点（不与点A，B，D重合），设点P的横坐标为n，过点P作轴，交直线于点Q．当线段的长随n的增大而增大时，请求出n的取值范围． 1．（2024·河北张家口·中考真题））阅读材料：抛物线 上任意一点到定点和到定直线的距离相等，我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，如，抛物线的焦点为，准线为直线． 解决问题：如图，为抛物线上的一点，为该抛物线的焦点，点的坐标为，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)写出该抛物线的对称轴为_______，顶点坐标为______； (2)若直线与抛物线交于两点A、B，其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当的面积随m的增大而减少时，求m的取值范围． 3．（2024·福建厦门·中考真题）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求的值； (3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为．和，且，求的取值范围． 4．（2024·天津河东·中考真题）阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当售价每降低1元，平均一周可多卖出10个． (1)设每个电子产品降价元，则每周可销售__________个； (2)若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？ (3)设商户每周盈利元，当每个电子产品降价多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 5．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是 ． 基础夯实 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）满足两条直角边的和等于12的直角三角形，它们的面积都不会超过（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 4．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）iasudu物体从空中下落时，受重力影响速度会匀速加快，实验测得重力加速度米/秒2（下落速度以每秒10米/秒的速率增加）．一个距地面30米（相当于10层楼高）的砖块从静止状态自然落下，触地瞬间的速度约为 米/秒（保留一位小数）． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为 ． 6．（25-26九年级上·河南周口·期中）某商场进一批货物，销售量（件）与每件货物的利润（元）的关系式为，则总利润与之间的函数关系式为 ． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是8米，跨度是16米，在线段上距离处6米的地方，桥的高度是 米． 8．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为______． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 9．（25-26九年级上·天津红桥·期中）阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价x（元/千克） 12 14 16 销售量y（千克） 180 160 140 (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ (3)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 10．（25-26九年级上·河北张家口·期中）有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为 (1)能否围成一个面积为的矩形？ (2)写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值． 培优拔高 11．（25-26九年级上·湖北·期中）已知抛物线经过点、，则下列结论：①若，、在该抛物线上，；②若抛物线与y轴交于点，当时y的最大值与最小值的差为6；③平面直角坐标系内，线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，a的取值范围是；④以为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是．以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（11-12九年级下·四川南充·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）小明同学为了研究物体在太阳光照射下影子的长度与时间的变化，某天在学校操场上测量了一根垂直于地面的直杆的影子长度，发现影子长度y与时间t之间近似二次函数关系，并在当天，，时分别测得直杆影子的长度为1.31米、1.1米和1.25米．则下列判断正确的是（   ） A．前，直杆的影子长度逐渐变长 B．后，直杆的影子长度逐渐变短 C．在到之间，会有某个时刻直杆的影子长度达到当日最短 D．在到之间，会有某个时刻直杆的影子长度也为1.1米 14．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为 ． 15．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）已知函数的图像如图所示，若直线与该图像有公共点，则的取值范围是 ． 16．（2025九年级·全国·专题练习）有一雕塑，从点向外喷水，喷出的水柱为抛物线．如图，以为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点．已知雕塑高，距水平距离处为水柱最高点，落水点与雕塑之间的距离为，则喷出的水柱最大高度为 ． 17．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知y是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为 ． 18．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，抛物线交轴于点和（点在点的左侧），交轴于点，顶点坐标为 (1)求抛物线的解析式； (2)在轴上方的抛物线上是否存在点，使得的面积是面积的一半？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 19．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D是函数图象第二象限上的一点，连接，交x轴于点E ． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，求点D的坐标． 20．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 第 1 页 共 12 页 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