九年级数学期末模拟试卷（2）-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

九年级数学上册期末模拟试卷（2） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．抛掷1枚骰子，出现6点向上 B．任意画一个三角形，其内角和是180° C．抛物线y＝﹣3x2关于y轴成轴对称 D．圆内接四边形的对角互补 2．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（　　） A．cm B．2（﹣1）cm C．4（﹣1）cm D．6（﹣1）cm 3．如图，⊙O是△CDB的外接圆，AB为直径，若∠ABC＝10°，则∠BDC的度数是（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 4．将抛物线y＝（x﹣2）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x﹣5）2+2 B．y＝（x﹣5）2﹣8 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2+2 5．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（　　）（精确到0.01）． A．0.56 B．0.54 C．0.53 D．0.52 6．如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　） A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（　　） A．149° B．69° C．62° D．31° 8．若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠D＝40°，下列结论不正确的是（　　） A．∠B＝50° B．直线AO垂直平分CD C．∠A＝∠B D．∠ACB＝30° 10．已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知＝，则的值＝　 　． 12．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是 　 　． 13．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件 　 　． 14．已知二次函数y＝mx2+4mx+n，当﹣3≤x≤2时，y的最大值是16，最小值是8，则4m+n＝　 　． 15．《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，N是弦AB的中点，M在上，MN⊥AB．“会圆术”给出长l的近似计算公式：，当OA＝2，∠AOB＝60°时，l＝　 　．（结果保留根号） 16．2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系：y＝﹣2x+180（30≤x≤50）． （1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为 　 　； （2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为 　 　元． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．已知二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）． （1）求m的值． （2）判断点（﹣2，﹣1）是否在这个二次函数的图象上． 18．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求： （1）摸出的2个球都是白球的概率． （2）摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率． 19．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积． 20．综合与实践． 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查，刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 21．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AB＝4，AC＝2，求： （1）DE的长． （2）阴影部分的面积． 22．综合与实践 探究主题 直角三角板与圆 探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于90°”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况（如图1），具体研究如图1． 探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理：　 　． 探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为180°．如图2，若∠P＝90°，则＝180°，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图3，连接AC ∵∠ACD＝，∠CAB＝， 又∵∠P＝∠ACD﹣∠CAB＝90°， ∴﹣＝90°． ∴﹣＝180°． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论：＝　 　． 探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角∠APD并反向延长两边交圆于B，C两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想：　 　．（可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述） 证明：… 探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦CD⊥AB，BP＝3，DP＝6，CP＝2，求圆的直径． 比赛评分标准如表： 等级 评价标准 得分 ☆☆ 根据条件求出3条以上线段长，但没有求出直径 2分 ☆☆☆☆ 根据条件求出直径，但没有运用以上探究结论 4分 ☆☆☆☆☆ 创新运用探究任务4的结论，根据条件求出直径 5分 你的解答是：… 23．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）若OC＝OB，求a的值． （2）点P（m，y1），Q（m+1，y2），T（2，y3）是二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）图象上三个不同的点． ①当y1＝y2时，求m的值； ②当y1＜y3＜y2时，求m的取值范围． 24．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F． （1）求证：∠ODF＝∠BDE； （2）求证：△DOE∽△ABC； （3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册期末模拟试卷（2） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．抛掷1枚骰子，出现6点向上 B．任意画一个三角形，其内角和是180° C．抛物线y＝﹣3x2关于y轴成轴对称 D．圆内接四边形的对角互补 【思路点拨】根据随机事件的概念，逐项判断即可求解． 【解析】解：A、抛掷1枚骰子，出现6点向上，属于随机事件，符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，不符合题意； C、抛物线y＝﹣3x2关于y轴成轴对称，属于必然事件不符合题意； D、圆内接四边形的对角互补，属于必然事件，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是随机事件的概念，熟练掌握随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 2．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（　　） A．cm B．2（﹣1）cm C．4（﹣1）cm D．6（﹣1）cm 【思路点拨】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 【解析】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝4（﹣1）cm． 故选：C． 【点睛】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值． 3．如图，⊙O是△CDB的外接圆，AB为直径，若∠ABC＝10°，则∠BDC的度数是（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【思路点拨】连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，而∠ADC＝∠ABC＝10°，所以∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝80°，于是得到问题的答案． 【解析】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠ABC＝10°， ∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣10°＝80°， 故选：B． 【点睛】此题重点考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．将抛物线y＝（x﹣2）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x﹣5）2+2 B．y＝（x﹣5）2﹣8 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2+2 【思路点拨】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解析】解：将抛物线y＝（x﹣2）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的抛物线的表达式为：y＝（x﹣2+3）2﹣3+5，即y＝（x+1）2+2． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 5．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（　　）（精确到0.01）． A．0.56 B．0.54 C．0.53 D．0.52 【思路点拨】根据图表中数据可知，随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53解答本题即可． 【解析】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率． 6．如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　） A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错 【思路点拨】分别根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【解析】解：方法1， ∵AC∥BD，BD＝2AC， ∴＝＝， ∴点P把线段AB分成1：2的两条线段； 方法2，如图，连接BC，AD， ∵BC∥AD，AD＝2BC， ∴＝＝， ∴点P把线段AB分成1：2的两条线段； ∴方法1，2都对． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，关键是熟练掌握平行线分线段成比例的应用． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（　　） A．149° B．69° C．62° D．31° 【思路点拨】由直角三角形的性质可得∠BAC＝59°，由旋转的性质可得A'C＝AC，即可求α的值． 【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝31°， ∴∠BAC＝59°， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C， ∴A'C＝AC， ∴∠BAC＝∠AA'C＝59°， ∴∠ACA'＝62°＝α， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 8．若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由点A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）在同一个函数图象上，可得B与C关于y轴对称；当x＜0时，y随x的增大而增大，继而求得答案． 【解析】解：∵点B（﹣2，m），C（2，m）， ∴B与C关于y轴对称， 即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意； ∵A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m）， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 9．如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠D＝40°，下列结论不正确的是（　　） A．∠B＝50° B．直线AO垂直平分CD C．∠A＝∠B D．∠ACB＝30° 【思路点拨】根据圆周角定理可得∠BCD＝90°，从而根据三角形内角和求出∠B，A选项即可判断；根据平行的性质及圆周角定理设∠A＝∠ACB＝x，则∠BOA＝2x，根据三角形内角和即可求出x的值，从而求出∠A，∠ACB，∠AOB，从而可判断C、D选项；延长AO交CD于点E，根据对顶角相等可得到∠DOE，从而求出∠OED＝90°，再结合垂径定理可判断出AO与CD的关系，即可判断出选项B． 【解析】解：如图，延长AO交CD于点E， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠BCD﹣∠D＝180°﹣90°﹣40°＝50°， 故A选项正确； ∵BC∥OA， ∴设∠A＝∠ACB＝x，则∠BOA＝2x， ∵x+2x＝50°+x ∴x＝25°， ∴∠ACB＝∠A＝25°，∠BOA＝50° ∴故D选项不正确； ∵∠B＝50°， ∴∠A＝； 故C选项正确； 根据对顶角相等可得：∠DOE＝∠BOA＝50°， ∴∠OED＝180°﹣50°﹣40°＝90°， ∴OE⊥CD， ∵O是圆心， ∴DE＝CE， ∴直线AO垂直平分CD； 故B选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理，涉及到垂直平分线的定义、三角形内角和等，解题关键是熟练运用圆周角定理和垂径定理． 10．已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 【思路点拨】根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定p+1＝m，即可得到p＝m﹣1，由抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）得到t＝p2﹣2mp＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1，结合﹣1≤m≤2即可确定t的最小值． 【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣2mx， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m， ∵抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）， ∴点A（p，t）和点B（p+2，t）关于对称轴对称，t＝p2﹣2mp， ∴＝m，即p+1＝m， ∴p＝m﹣1， ∴t＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1， ∵﹣1≤m≤2， ∴m＝2时，t有最小值为：﹣4+1＝﹣3． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知＝，则的值＝　2　． 【思路点拨】由题意n＝3m，代入皇化简计算即可． 【解析】解：由题意n＝3m， ∴＝＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题． 12．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是 　　． 【思路点拨】图文题新颖，首先看有食物的情况占总情况的多少即可．从图中可以看出共有6条路径，其中有2条路径树枝上有食物，从而根据等可能概型的计算方法求解即可． 【解析】解：设事件A表示能找到食物的路径，S为样本， ∵从图中可以看出共有6条路径，其中有2条路径树枝上有食物， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对概率公式的掌握，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件 　∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．　． 【思路点拨】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， 即∠BAC＝∠DAE， 所以，添加的条件为∠D＝∠B或∠C＝∠AED或． 故答案为：∠D＝∠B或∠C＝∠AED或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC＝∠DAE是确定其他条件的关键． 14．已知二次函数y＝mx2+4mx+n，当﹣3≤x≤2时，y的最大值是16，最小值是8，则4m+n＝　12　． 【思路点拨】根据二次函数的性质求出y的最大值和最小值，即可求解． 【解析】解：∵二次函数y＝mx2+4mx+n＝m（x+2）2﹣4m+n， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，函数的最值为﹣4m+n， 当x＝﹣2时，y＝﹣4m+n， ∵x＝2时，y＝4m+8m+n＝12m+n， 若m＞0，则当﹣3≤x≤2时，y的最大值是12m+n，最小值是﹣4m+n， 即，解得，则4m+n＝2+10＝12； 若m＜0，则当﹣3≤x≤2时，y的最大值是﹣4m+n，最小值是n， 即，解得，则4m+n＝﹣2+14＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握二次函数的性质是本题的关键． 15．《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，N是弦AB的中点，M在上，MN⊥AB．“会圆术”给出长l的近似计算公式：，当OA＝2，∠AOB＝60°时，l＝　　．（结果保留根号） 【思路点拨】如图：连接ON，由题意可得ON⊥AB，O，M，N共线，由OA＝2、∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得，即得，然后代入公式计算即可． 【解析】解：如图：连接ON， ∵是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，N是弦AB的中点，M在上，MN⊥AB， ∴ON⊥AB， ∴O，M，N共线， ∵OA＝2、∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝2，∠OAN＝60°， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆中的垂径定理，读懂题意、作出辅助线求ON的长度是解题的关键． 16．2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系：y＝﹣2x+180（30≤x≤50）． （1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为 　w＝﹣2x2+240x﹣5400　； （2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为 　1600　元． 【思路点拨】（1）依据题意，由该网店每周销售该礼盒所获利润为w＝单个利润×销量，进而列式可以得解； （2）依据题意，由（1）得解析式，配方成顶点式后，结合自变量的取值范围进行判断可以得解． 【解析】解：（1）该网店每周销售该礼盒所获利润为w＝（x﹣30）（﹣2x+180）， ∴w＝﹣2x2+240x﹣5400． 故答案为：w＝﹣2x2+240x﹣5400． （2）由题意，∵w＝﹣2x2+240x﹣5400＝﹣2（x2﹣120x+3600）+1800＝﹣2（x﹣60）2+1800， 又30≤x≤50，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝60， ∴当x＝50时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大＝﹣2 （50﹣60）2+1800＝1600（元）． 故答案为：1600． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决问题． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．已知二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）． （1）求m的值． （2）判断点（﹣2，﹣1）是否在这个二次函数的图象上． 【思路点拨】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值； （2）代入x＝﹣2，求出y值，再将其与﹣1比较后，即可得出结论． 【解析】解：（1）∵二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）， ∴3＝m（1+1）2﹣5， 解得：m＝2， ∴m的值为2； （2）当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2+1）2﹣5＝﹣3， ∵﹣3≠﹣1， ∴点（﹣2，﹣1）不在这个二次函数的图象上． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入点的坐标，求出m的值是解题的关键． 18．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求： （1）摸出的2个球都是白球的概率． （2）摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率． 【思路点拨】（1）画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的2个球都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由树状图可得摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：（1）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的结果有4种， ∴摸出的2个球都是白球的概率为． （2）由树状图可知，摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果有4种， ∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积． 【思路点拨】（1）由∠AFD＝∠ABC，＝，即可得出△ABC∽△AFD； （2）证明△AED∽△BEC，得＝＝，从而可得结论． 【解析】（1）证明：∵∠BAF＝∠DBC， ∴∠BAF+∠ABF＝∠DBC+∠ABF， 即∠AFD＝∠ABC， ∵＝， ∴△ABC∽△AFD； （2）解：由（1）得：△ABC∽△AFD， ∴∠ADE＝∠ACB， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△AED∽△BEC， ∵AD＝2，BC＝5， ∴＝＝， ∵S△ADE＝4， ∴S△BCE＝25． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握和灵活运用相似三角形性质． 20．综合与实践． 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查，刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； （2）将t＝4代入（1）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （3）求出（1）中函数的最大值，与80m比较，即可解决问题． 【解析】解：（1）设y＝at2+bt+c， 将（0，0），（1，27），（2，48）代入， 得， 解得， ∴y关于t的函数解析式为：y＝﹣3t2+30t， （2）当t＝4时，y＝﹣3×42+30×4＝72， 答：汽车刹车4s后，行驶了72m； （3）不会． 理由如下：∵y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75， ∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75m， ∵75＜80， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 21．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AB＝4，AC＝2，求： （1）DE的长． （2）阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）由E是弧AC的中点，可得OE⊥AC．根据垂径定理得：，在Rt△OAD中，运用勾股定理可将OD的长求出，由DE＝OE﹣OD即可求解； （2）利用阴影部分面积等于扇形AOC面积减去△AOC面积即可求出． 【解析】解：（1）∵E是弧AC的中点，， ∴OE⊥AC， ∴， ∵AB为半圆O的直径，AB＝4， ∴OA＝OE＝2， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2， ∴， 解得：OD＝1， ∴DE＝OE﹣OD＝1， ∴DE的长为1； （2）连接OC， 在Rt△AOD中，OD＝1，OA＝2， ∴， ∴∠AOD＝60°， ∵OE⊥AC， ∴∠AOC＝120°， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 22．综合与实践 探究主题 直角三角板与圆 探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于90°”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况（如图1），具体研究如图1． 探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理：　直角所对的弦是直径　． 探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为180°．如图2，若∠P＝90°，则＝180°，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图3，连接AC ∵∠ACD＝，∠CAB＝， 又∵∠P＝∠ACD﹣∠CAB＝90°， ∴﹣＝90°． ∴﹣＝180°． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论：＝　　． 探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角∠APD并反向延长两边交圆于B，C两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想：　+＝+　．（可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述） 证明：… 探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦CD⊥AB，BP＝3，DP＝6，CP＝2，求圆的直径． 比赛评分标准如表： 等级 评价标准 得分 ☆☆ 根据条件求出3条以上线段长，但没有求出直径 2分 ☆☆☆☆ 根据条件求出直径，但没有运用以上探究结论 4分 ☆☆☆☆☆ 创新运用探究任务4的结论，根据条件求出直径 5分 你的解答是：… 【思路点拨】探究任务1：根据直角所对的弦是直径即可求解； 探究任务2：连接DO并延长，交⊙O于点F，则＝； 探究任务3：根据+＝180°，＝180°，即可求解； 探究任务4：如图所示，作直径DG，作GH∥CD交⊙O于点H，连接DH，设AB，GH交于点Q，证明△BDP∽△CAP得出AB＝7，CD＝8，根据平行弦的性质得出CG＝DH＝1，进而根据勾股定理，即可求解． 【解析】解：探究任务1：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径，理由是：直角所对的弦是直径； 故答案为：直角所对的弦是直径． 探究任务2：如图2所示， 连接DO并延长，交⊙O于点F，则＝， 理由如下，连接CF，AC， ∵DF是直径， ∴∠FCD＝90°， ∴∠P＝∠FCD， ∴FC∥AP， ∴∠ACF＝∠BAC； ∴＝． 故答案为：． 探究任务3：结论：+＝+， 如图，连接BC，OA，OC，OB，OD， ∵∠PBC＝∠AOC，∠PCB＝∠BOD， ∴∠APC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）＝90°， ∴+＝180°， 则：+＝180°， ∴+＝+； 故答案为：+＝+． 探究任务4：如图所示，作直径DG，作GH∥CD交⊙O于点H，连接DH，设AB，GH交于点Q，则四边形CGHD是矩形； ∵＝，＝， ∴∠BDC＝∠BAC，∠DBA＝∠DCA， ∴△BDP∽△CAP， ∴， ∵BP＝3，DP＝6，CP＝2， ∴PA＝＝＝4，则AB＝7，CD＝8， ∵CD⊥AB，GH∥CD， ∴AB⊥GH， ∵CD∥GH， ∴∠CDG＝∠DGH， ∴＝， ∴CG＝DH， 又∵四边形CGHD是矩形， ∴CD＝GH， ∵矩形和圆都是轴对称图形， ∴BP＝AQ， ∴CG＝DH＝PQ＝AB﹣2PB＝7﹣6＝1， 在RtGDH中， GD＝＝＝， 即圆的直径为． 【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的性质与判定，弧与圆心角圆周角的关系，圆内角化为两圆周角和，圆外角化为两圆周角之差，转化思想，也考查圆心角，圆周角，弧和弦之间的关系，轴对称性质，解题的关键掌握圆内角化为两圆周角和，圆外角化为两圆周角之差，转化思想，圆心角，圆周角，弧和弦之间的关系，轴对称性质等知识点． 23．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）若OC＝OB，求a的值． （2）点P（m，y1），Q（m+1，y2），T（2，y3）是二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）图象上三个不同的点． ①当y1＝y2时，求m的值； ②当y1＜y3＜y2时，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）根据题意求出A、B两点坐标，由OC＝OB，且a＞0，求出C点坐标，代入二次函数解析式中即可求解． （2）①由题意可知，抛物线的对称轴为直线，由y1＝y2，得点P，Q关于直线x＝1对称，列方程求解即可． ②由题意可得点T（2，y3）关于对称轴直线x＝1对称的点为（0，y3），根据二次函数的图象与性质求解即可． 【解析】解：（1）令a（x+1）（x﹣3）＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3． 又∵点A在点B的左边， ∴点A（﹣1，0），点B（3，0）． ∵OC＝OB，且a＞0， ∴点C的坐标为（0，﹣3）． ∴当x＝0时， ﹣3a＝﹣3， 解得a＝1． 答：a的值为1． （2）①由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ∵y1＝y2， ∴点P，Q关于直线x＝1对称． ∴m+m+1＝1×2， 解得． 答：m的值为． ②由题意可得点T（2，y3）关于对称轴直线x＝1对称的点为（0，y3）， 结合函数图象， ∵y1＜y3， ∴0＜m＜2． ∵m＜m+1，且y1＜y2， ∴点Q（m+1，y2）在对称轴右侧． 又∵y3＜y2，且在对称轴右侧，y随x的增大而增大． ∴m+1＞2，即m＞1． 综上所述，当y1＜y3＜y2时，m的取值范围是1＜m＜2． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 24．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F． （1）求证：∠ODF＝∠BDE； （2）求证：△DOE∽△ABC； （3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若，求的值． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO＝∠ACB，根据平行得出∠DOE＝∠ABC，根据相似三角形的判定得△DOE∽△ABC，根据圆周角定理得出∠A＝∠BDC，推出∠ODE＝∠BDC即可； （2）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO＝∠ACB，根据平行得出∠DOE＝∠ABC，根据相似三角形的判定得出结论； （3）设出OE＝2a，OD＝3a，根据△DOE∽△ABC，求出S△ABC＝4S△DOE＝4S1，再得出S△DBE＝S1，进而得出S2＝S1，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEO＝90°， ∴∠DEO＝∠ACB， ∵OD∥BC， ∴∠DOE＝∠ABC， ∴△DOE∽△ABC； ∴∠ODE＝∠A， ∵∠A和∠BDC是 所对的圆周角， ∴∠A＝∠BDC， ∴∠ODE＝∠BDC， ∴∠ODF＝∠BDE； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEO＝90°， ∴∠DEO＝∠ACB， ∵OD∥BC， ∴∠DOE＝∠ABC， ∴△DOE∽△ABC； （3）解：∵， ∴设OE＝2a，OD＝3a， ∴OB＝OC＝OD＝3a，AB＝2OD＝6a， ∵△DOE∽△ABC， ∴＝（）2＝ 即S△ABC＝4S△DOE＝4S1， ∵OA＝OB， ∴S△BOC＝S△ABC， 即S△BOC＝2S1， ∵DE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∵BE＝OB﹣OE＝3a﹣2a＝a， ∴S△DBE＝BE×DE＝a×DE＝××2a×DE＝××DE＝S1， ∵S2＝S△BOC+S△DOE+S△DBE＝2S1+S1+S1＝S1， ∴＝＝ 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$