专题01 有理数（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、幻方幻圆 【解惑】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）    A． B．5 C．6 D． 【融会贯通】 1．《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏，如图所示，将数字1．2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（    ） A．100 B．500 C．505 D．510 2．把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为 ．    3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ． 类型二、绝对值方程 【解惑】求出下列各式中的实数： (1)； (2) 【融会贯通】 1．若，求的值 2．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 3．绝对值的几何意义：表示一个数x在数轴上对应的点到原点的距离，表示a，b两数在数轴上对应两点之间的距离.解决下列问题： (1)若，则__________； (2)已知点P在数轴上对应的数是1，若a，b（）两数在数轴上对应点A，B之间的距离为12，且它们到P的距离相等，则__________，__________； (3)若，直接写出x的值. 类型三、循环小数化为分数 【解惑】【阅读理解】利用一元一次方程将化成分数，设，则， ∵，∴，化简得，解得，∴． (1)请参照上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． (2)尝试类比这种方法，把循环小数化为分数为____________．（直接写结果） 【融会贯通】 1．借助方程可将循环小数化成分数．例如，在将化为分数时，可设．由…可知，…．所以．所以．解这个方程，得，即． (1)将化为分数，填写下面的空格： 设，由…可知，． 所以．所以______．解这个方程，得______． (2)将化为分数． 2．先阅读下面材料，再完成任务： 【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题，利用一元一次方程将化为分数，设，则，而 所以，化简得，解得．所以 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程 3．阅读理解题：无限循环小数与分数． 如果一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数．例如，0.666…的循环节是“6，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数；又如，0.1333…的循环节是“3”，它可以写作，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数． 请将下列分数化成小数：______；______； (2)无限循环小数化成分数，有两种方法： 方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数． 例如：． 请将纯循环小数化为分数：______； 如果小数是混循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯循环小数，然后再化为分数． 例如：． 请将混循环小数化为分数：______． 方法二：应用一元一次方程来解． 例如：将纯循环小数化成分数． 设，则， ， ． 所以． (3)试一试，请你用方法二将化成分数（要求写出过程）． 类型四、绝对值”1“与”-1“的化简 【解惑】已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【融会贯通】 1．我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 2．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 3．问题探究：若，求的值． (1)请补充以下解答过程（直接填空） ①当两个字母中有2个正，0个负时，______； ②当两个字母中有1个正，1个负时，______； ③当两个字母中有0个正，2个负时，______， 综上，当均不为零，______． (2)请仿照解答过程完成下列问题： ①若均不为零，求的值． ②若均不为零，且，直接写出的值． 类型五、绝对值最值 【解惑】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a－b|． 请用上面的知识解答下面的问题： （1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－4的两点之间的距离是__________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______； （2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是___________，如果|AB|=2，那么x为_______； （3）取最小值是_____________． 【融会贯通】 1．在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，，那么． (1)若，则x的值为　　． (2)当　　（x是整数）时，式子成立． (3)当式子的最小值是　　，此时x的值为　　． 2．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)若，则等式表示的几何意义是什么？直接写出的值； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 3．阅读理解：对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a-b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：的几何意义即数轴表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)根据的几何意义，若，那么x的值是 ． (2)画数轴分析的几何意义，并求出的最小值是 ． (3)的最小值是多少？ 类型六、裂项求和 【解惑】探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣… 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）＝　　 ； （2）利用你发现的规律计算：． （3）． 【融会贯通】 1．观察分析：． (1)写出第6个式子和第个式子； (2)结合上式所反映的规律，计算； (3)拓展据高：计算． 2．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 3．观察下面各式： ，，， (1)按照上述规律，第5个等式是：________________； (2)第n个等式是：________________； (3)运用你发现的规律计算：． 类型七、数列求和 【解惑】（1）填空： 31—30=2×3（ ）, 32—31=2×3（ ）, 33—32=2×3（ ） ， … （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； （3）利用上述规律计算：30+31+32+33+…+32015+32016= ， 其末位数字是 . 【融会贯通】 1．我们把“n个相同的数a相乘”记为“”，例如． (1)计算： ， ． (2)观察以下等式： …     由以上规律，我们可以猜测 ． (3)计算：． 2．阅读下文，寻找规律： 已知时， ，，… (1)填空：                         ． (2)观察上式，并猜想： ①______． ②_________． (3)根据你的猜想，计算： ①______． ②的值． 3．观察下列各式： ，而； ，而； ，而； (1)猜想并填空： ______________； (2)根据以上规律填空： ______________； (3)求解：． 类型八、数轴动点求t 【解惑】如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 【融会贯通】 1．如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 2．如图，点对应的有理数为，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且，点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点． (1)___________，___________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数； (3)若点从点开始以个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间秒，则的值是否随着的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 3．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点出发的同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设、两点运动的时间为秒． (1)点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） (2)当，时，分别求线段的长． (3)当时，求所有符合条件的的值． (4)若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴的负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，当时，直接写出的值． 类型九、数轴新定义 【解惑】对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为． 例如：P，Q两点表示的数如图1所示，则．A，B两点表示的数如图2所示． (1)求A，B两点的绝对距离； (2)若C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数． 【融会贯通】 1．已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有，则称点C为点A，B的“5和距离点”． (1)如果点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为，那么m的值是          ； (2)如果点D是数轴上点A，B的“6和距离点”，那么点D表示的数为      ； (3)如果点E在数轴上（不与A，B重合），满足，且此时点E为点A，B的“m和距离点”，求m的值． 2．在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段的中点表示的数为．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点R在线段上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段的中点R所表示的数为＝4，所以点R在线段上，则点A与点B关于线段径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2． (1)点B，C分别表示的数为，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段径向对称； (2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段径向对称，求线段长度的最小值，并写出求解过程； (3)在数轴上，动点K从表示的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段上至少存在一点与点A关于线段径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______． 类型十、有理数的圈次方 【解惑】类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，记作，读作“的圈次方”．如，记作，读作“的圈次方”：记作，读作“的圈次方”，除方也可以转化为幂的形式，如． (1)计算：． (2)将一个非零有理数写成幂的形式． 【融会贯通】 1．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，类比有理数的乘方，把记作，读作“2的圈3次方”．一般地， 把（）记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______； 【深入思考】我们知道，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）仿照上面的算式，将运算结果直接写成幂的形式：______； （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是______； （4）计算：． 2．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 3．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作aⓝ，读作“a的圈n次方” 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，_______； （2）关于除方，下列说法错误的是（    ） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． _____；______； 想一想：将一个非零有理数a的圈n次方（）写成幂的形式等于______； （4）利用（3）的结论计算：． 【一览众山小】 1．已知：，则（    ） A． B． C． D． 2．有一列数，其中，则（    ） A． B． C． D．1 3．如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 4．已知，，则的值是 ． 5．有一组数据：记，，，…，．，则 ． 6．根据公式（其中n为正整数，且）．计算 ． 7．阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 8．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 9．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)　　　　　； (2)　　　　　　　　； (3) ． 10．已知：，c比b大2． (1)______，______，______． (2)在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c． ①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． ②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当______时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、幻方幻圆 【解惑】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）    A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，要先读懂题意，根据题意获取数量关系，再用尝试法，直到找到合理的数值，本题综合性比较强，比较注重逻辑推理．由题意可知，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．所以有，进而得，，，再利用尝试法，把数据代入验证，可得，，，的值，并代入计算可得结论． 【详解】解：由题意可得： ， 所以有，，， 由图中可知，，，的值，由，，5，，6，8中取得， 由于，且只有， ，， 这时，的值从，，中取得， 当和，计算验证，都不符合题意， 所以时，符合题意． 具体数值如下图所示，    所以，，，， 则． 故选：B． 【融会贯通】 1．《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏，如图所示，将数字1．2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（    ） A．100 B．500 C．505 D．510 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算的应用．根据题意，计算10阶幻方中，所有数字的和，再分析10阶幻方的特点、性质，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，时，需要将100个正整数1，2，3，，100，填入的方格内， 全部数字的和为， 而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为， 又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故． 故选：C． 2．把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为 ．    【答案】 【分析】根据九宫格每一行、每一列的数的和相等，先求出这个值，再逐一求出其他数． 【详解】解：这九个数的和为， 每一行、每一列的数之和均相对，即上中下三行的数之和相等， 每一行、每一列的数之和为15． 下中为，下右为，上左为，左中为，右中为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加法和减法．解题的关键在于先根据九宫格的特性，求出每一行、每一列和对角线的和均为15，再逐一求出空格中的数值．注意九宫格不只是一种，但是中间的位置，一定是5，其他的位置数值可以变动． 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了对题干中“幻方”特征的理解和有理数的乘方运算，根据“每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”建立与的关系式和与的关系式，利用关系式得到与的值，即可解题． 【详解】解：由题知，，整理得， ，整理得， 将，代入中，有． 故答案为：27． 类型二、绝对值方程 【解惑】求出下列各式中的实数： (1)； (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了绝对值的意义、平方根的定义，熟练掌握绝对值的意义、平方根的定义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可得出答案； （2）根据平方根的意义解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， 解得：； （2）解：， 或， 解得：，． 【融会贯通】 1．若，求的值 【答案】-5或-13 【分析】依据绝对值的性质求得a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】∵|a|=4，|b|=9，|a-b|=a-b， ∴a=±4，b=±9，a-b≥0． ∴a=±4，b=-9． 当a=4，b=-9时，则a+b=4+（-9）=-5； 当a=-4，b=-9时，则a+b=-4+（-9）=-13． 综上所述，a+b的值为-5或-13． 【点睛】考查了绝对值的性质、有理数的加法法则，熟练掌握相关性质是解题的关键． 2．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解； （2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解； （3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解； （4）首先对方程进行整理，得出，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解． 【详解】（1）解：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或； （2）解：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或； （3）解：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或； （4）解：， 整理，可得：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． 3．绝对值的几何意义：表示一个数x在数轴上对应的点到原点的距离，表示a，b两数在数轴上对应两点之间的距离.解决下列问题： (1)若，则__________； (2)已知点P在数轴上对应的数是1，若a，b（）两数在数轴上对应点A，B之间的距离为12，且它们到P的距离相等，则__________，__________； (3)若，直接写出x的值. 【答案】(1)或3 (2)，7 (3)或 【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （2）根据题意可知点P是的中点，则，据此求解即可； （3）由题意可分当和两种情况进行求解即可； 【详解】（1）解：由题意得表示的是一个数x在数轴上对应的点到1的距离为2， 表示的数为或3， 故答案为：或3； （2）解：由题意得：， ，， 故答案为：，7； （3）解：由题意可分当时，则原式化为， ； 当时，则有， ； 当时，，（不合题意，舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，绝对值方程，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． 类型三、循环小数化为分数 【解惑】【阅读理解】利用一元一次方程将化成分数，设，则， ∵，∴，化简得，解得，∴． (1)请参照上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． (2)尝试类比这种方法，把循环小数化为分数为____________．（直接写结果） 【答案】(1) (2) 【分析】 本题主要考查了无限循环小数转化为分数的方法，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出方程，解方程即可． （1）设，方程两边都乘10，转化为，求出其解即可； （2）设，方程两边同乘100，转化为，求出其解即可． 【详解】（1） 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 即． （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 【融会贯通】 1．借助方程可将循环小数化成分数．例如，在将化为分数时，可设．由…可知，…．所以．所以．解这个方程，得，即． (1)将化为分数，填写下面的空格： 设，由…可知，． 所以．所以______．解这个方程，得______． (2)将化为分数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意列出方程是解答本题的关键． （1）根据题意可得关于x的一元一次方程，求出其解即可； （2）根据阅读材料设，则，，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设，由…可知，． 所以．所以． 解这个方程，得； （2）设，则，， ∴， ∴． 2．先阅读下面材料，再完成任务： 【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题，利用一元一次方程将化为分数，设，则，而 所以，化简得，解得．所以 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键． （1）设①，则②，得出，再求出x即可； （2）设，则，则，再求出x即可． 【详解】（1）解：设①，则②， ，得， 解得：， 即， 故答案为：； （2）解：设，则 而 ∴ 解得 ∴． 3．阅读理解题：无限循环小数与分数． 如果一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数．例如，0.666…的循环节是“6，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数；又如，0.1333…的循环节是“3”，它可以写作，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数． 请将下列分数化成小数：______；______； (2)无限循环小数化成分数，有两种方法： 方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数． 例如：． 请将纯循环小数化为分数：______； 如果小数是混循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯循环小数，然后再化为分数． 例如：． 请将混循环小数化为分数：______． 方法二：应用一元一次方程来解． 例如：将纯循环小数化成分数． 设，则， ， ． 所以． (3)试一试，请你用方法二将化成分数（要求写出过程）． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了无理数的相关知识点，正确读懂材料内容是解题关键． （1）将分数化成小数即可； （2）根据材料中给出的两种方法即可求解； （3）设，则，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， 故答案为：， （2）解：由材料可知：； ； 故答案为：， （3）解：设，则， ， ． 所以． 类型四、绝对值”1“与”-1“的化简 【解惑】已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)＜，＝ ，＜ (2) (3) 【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值等知识， （1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小和，即可判断； （2）利用绝对值的性质化简即可解决问题； （3）利用绝对值的性质化简即可解决问题 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∵， ∴，，； （2）解：原式＝ ＝ （3）解：原式＝ ＝ ＝ 【融会贯通】 1．我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 2．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）当时，，当时，； （2）由数轴可知：，根据，计算求解即可； （3）若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况：①若n，m，p都为正数；②若n，m，p有两个正数；③若n，m，p有一个正数；④若n，m，p都为负数；分别化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可知：， ∴， ∴的值为； （3）解：若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况： ①若n，m，p都为正数，即，，，则； ②若n，m，p有两个正数，不妨设，，，则； ③若n，m，p有一个正数，不妨设，，，则； ④若n，m，p都为负数，即，，，则； 综上，若有三个均不为零的数n，m，p，则的值为或． 【点睛】本题考查了化简绝对值，利用数轴比较有理数的大小．解题的关键在于分情况求解． 3．问题探究：若，求的值． (1)请补充以下解答过程（直接填空） ①当两个字母中有2个正，0个负时，______； ②当两个字母中有1个正，1个负时，______； ③当两个字母中有0个正，2个负时，______， 综上，当均不为零，______． (2)请仿照解答过程完成下列问题： ①若均不为零，求的值． ②若均不为零，且，直接写出的值． 【答案】(1)①2；②0；③；0或2或 (2)①1或或3或；②1或 【分析】（1）①当两个字母中有2个正，0个负时，；②当两个字母中有1个正，1个负时，；③当两个字母中有0个正，2个负时，；然后作答即可． （2）①由题意知，当中有3个正，0个负时，；当中有2个正，1个负时，；当中有1个正，2个负时，；当中有0个正，3个负时，；然后作答即可；②由，可得，，，则，当中有2个正，1个负时，原式；当中有1个正，2个负时，原式；然后作答即可． 【详解】（1）解：①当两个字母中有2个正，0个负时，； 故答案为：2； ②当两个字母中有1个正，1个负时，； 故答案为：0； ③当两个字母中有0个正，2个负时，； 综上，当均不为零，0或2或， 故答案为：；0或2或． （2）①解：由题意知，当中有3个正，0个负时，； 当中有2个正，1个负时，； 当中有1个正，2个负时，； 当中有0个正，3个负时，； 综上所述，的值为1或或3或； ②解：∵， ∴，，， ∴， 当中有2个正，1个负时，原式； 当中有1个正，2个负时，原式； ∴的值为1或． 【点睛】本题考查了绝对值的化简．解题的关键在于正确的化简并分情况求解． 类型五、绝对值最值 【解惑】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a－b|． 请用上面的知识解答下面的问题： （1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－4的两点之间的距离是__________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______； （2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是___________，如果|AB|=2，那么x为_______； （3）取最小值是_____________． 【答案】（1）4，2，4；（2），1或；（3）3． 【详解】试题分析：（1）在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解； （2）在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解． 试题解析：（1）|1﹣5|=4；|﹣2﹣（﹣4）|=2，|1﹣（﹣3）|=4；故答案为4，2，4； （2）|x﹣（﹣1）|=|x+1|；由|AB|=2，得到：|x+1|=2，∴x=1或；故答案为，1或； （3）当x＜﹣1时，|x+1|+|x-2|=﹣x-1﹣x+2=﹣2x+1； 当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1﹣x+2=3； 当x＞2时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1； 在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到﹣1及到2的距离之和，所以当﹣1≤x≤2时，它的最小值为3． 考点：1．绝对值；2．数轴． 【融会贯通】 1．在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，，那么． (1)若，则x的值为　　． (2)当　　（x是整数）时，式子成立． (3)当式子的最小值是　　，此时x的值为　　． 【答案】(1)5或1 (2)，，0 (3)4，2 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可求解； （2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由，即可求解； （3）首先根据题意得到为表示x的点到3的距离加上表示x的点到2的距离加上表示x的点到的距离，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在数轴上到3和x的点的距离为2， ∴或， 故答案为：5或1； （2）解：∵， ∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3， ∵， ∴， ∵ x是整数， ∴x取，，0； 故答案为：，，0； （3）解：∵ ∴表示x的点到3的距离加上表示x的点到2的距离加上表示x的点到的距离， ∴当时，有最小值， 此时． 故答案为：4，2． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 2．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)若，则等式表示的几何意义是什么？直接写出的值； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)数轴上表示数和2的两点之间的距离为3，或 (2)6 (3)当时，代数式的值最小为4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、化简绝对值： （1）根据题中给出的数轴上两点之间的距离的计算公式即可求解； （2）根据当时化简绝对值即可求解； （3）利用数形结合思想即可求解； 熟练掌握数轴上两点之间的距离公式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：等式表示的几何意义是数轴上表示数和数2的两点之间的距离为3， 由得：， 当时，则， 当时，则． （2）依题意得： 当时， ． （3）代数式表示数轴上表示数的点与数1、数3和数5的点的距离之和， 如图所示：    当表示数的点在点B处时，代数式有最小值， 即当时，代数式的值最小为4． 3．阅读理解：对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a-b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：的几何意义即数轴表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)根据的几何意义，若，那么x的值是 ． (2)画数轴分析的几何意义，并求出的最小值是 ． (3)的最小值是多少？ 【答案】(1)1或 (2)1 (3)1025156 【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及化简绝对值： （1）根据绝对值的几何意义，即可作答． （2）先表示的几何意义，再结合数轴，即可作答． （3）线表示的几何意义，找到和2023的中点，当，取得最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，即或， 解得或， 则x的值是1或， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：1； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，⋅⋅⋅2023的点的距离的和， ∴当位于和2023的中点时，即 ∴当时，最小， 最小值为： ． 类型六、裂项求和 【解惑】探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣… 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）＝　　 ； （2）利用你发现的规律计算：． （3）． 【答案】（1）﹣；（2）；（3）． 【分析】(1)观察已知等式即可得结果； (2)根据已知等式的计算过程进行计算即可得结果； (3)①结合（1）（2）的计算过程进行计算即可； 【详解】解：（1）＝﹣， （2） ＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1． （3）原式＝×（1﹣）+×（）+×（）+…+×（）＝×（1﹣+﹣+﹣+…+） ＝×（1﹣）＝． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 【融会贯通】 1．观察分析：． (1)写出第6个式子和第个式子； (2)结合上式所反映的规律，计算； (3)拓展据高：计算． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的式子找出规律，得出第6个式子和第n个式子即可； （2）根据解析（1）中得出的规律，将变形求值即可； （3）将变形为，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴第6个式子为：； 第个式子为：． （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查规律型—数字的变化类，有理数的混合运算．解答的关键是由所给的式子进行分析总结出存在的规律并灵活运用． 2．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式； （2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可． 【详解】（1）解： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第n个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）的规律化解原式： ． 3．观察下面各式： ，，， (1)按照上述规律，第5个等式是：________________； (2)第n个等式是：________________； (3)运用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律进行运算是解题的关键． （1）根据所给的等式特点，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，可得第n个等式是； （3）根据（2）的结论，将所求的式子变形为，再求和即可． 【详解】（1）解：由题意可知：第5个式子是， 故答案为：； （2）由题意可知：第n个式子是， 故答案为：； （3） ． 类型七、数列求和 【解惑】（1）填空： 31—30=2×3（ ）, 32—31=2×3（ ）, 33—32=2×3（ ） ， … （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； （3）利用上述规律计算：30+31+32+33+…+32015+32016= ， 其末位数字是 . 【答案】（1）、0，1，2；（2）、规律：3n —3n-1=2×3n-1；证明过程见解析；（3）、；1. 【详解】试题分析：（1）、根据计算结果得出答案；（2）、根据已知式子得出规律，然后利用幂的计算法则得出答案；（3）、根据幂的计算法则得出答案. 试题解析：（1）、0，1，2； （2）规律：3n —3n-1=2×3n-1 3n —3n-1=3×3n-1—1×3n-1=2×3n-1 （3）、；1 考点：规律题 【融会贯通】 1．我们把“n个相同的数a相乘”记为“”，例如． (1)计算： ， ． (2)观察以下等式： …     由以上规律，我们可以猜测 ． (3)计算：． 【答案】(1)64，625 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数学归纳整理的能力，解题的关键要分析材料找到题目中规律从而由特殊例子总结出一般规律． （1）根据乘方的运算法则计算即可； （2）根据给出的材料可看出，等号右边x的指数规律是，所以． （3）运用（2）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：64，625； （2）解：根据观察可得：， 故答案为：． （3）解：， ， ， ． 2．阅读下文，寻找规律： 已知时， ，，… (1)填空：                         ． (2)观察上式，并猜想： ①______． ②_________． (3)根据你的猜想，计算： ①______． ②的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；②． 【分析】（1）仿照已知等式得到一般性规律，写出答案即可； （2）①利用得出的规律计算即可；②原式可变形为，再利用得出的规律计算即可； （3）①利用得出的规律计算即可；②原式可变形为，再利用得出的规律计算即可． 【详解】（1）解：仿照所给的等式可得：， 故答案为：． （2）解：①当时， ，，， … ， 故答案为． ②， ， ， ． 故答案为． （3）解：①． 故答案为． ② ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方、数字类规律探索等知识点，理解题意、总结出规律是解题的关键． 3．观察下列各式： ，而； ，而； ，而； (1)猜想并填空： ______________； (2)根据以上规律填空： ______________； (3)求解：． 【答案】(1)，225 (2)， (3)29700 【分析】观察题中一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，据些规律来求解． （1）根据上述规律填空即可求解； （2）根据上述规律填空，然后把变为个相乘来求解； （3）对所求的式子前面加上1到15的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与16到20的立方和，再求出两数相减即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： ． 故答案为：，225； （2）解： ． 故答案为：，； （3）解： 故答案为：29700． 【点睛】本题考查了探究数字规律，主要要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，运用总结的规律解决问题的能力．找出规律是解答关键． 类型八、数轴动点求t 【解惑】如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t=23或25 【分析】(1)根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度； (2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出; (3) 分线段AB与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1，得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12， ∴点B在数轴上表示的数是-12+2=-10； ∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15， ∴点C在数轴上表示的数是15-1=14． ∴BC=14-（-10）=24． 故答案为：-10，14，24； （2）设运动时间为a秒时B、C相遇， 此时点B在数轴上表示的数为-10+a，点C在数轴上表示的数为14-2a ∵B、C重合 ∴-10+a=14-2a 解得a=8 此时点与点在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2； 故答案为：-2 (3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为-10-t，点C在数轴上表示的数为14-2t ∴BC== ∵BC=1 ∴=1 ∴t1=，t2= 综上所述：当BC=1时，t=23或25； 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数． 【融会贯通】 1．如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 【答案】(1) (2)， (3)， (4)是，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （3）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （4）表示出线段的中点对应的数即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解：当时，动点对应的数是：； 动点对应的数是：， 故答案为：， （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是：； 动点对应的数是： （4）解：线段的中点对应的数是： 令， 解得： ∴当时，点是否为线段的中点 2．如图，点对应的有理数为，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且，点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点． (1)___________，___________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数； (3)若点从点开始以个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间秒，则的值是否随着的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)， (2) (3)不会随着的变化而改变，该值是 【分析】（1），点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点，根据点的移动即可求解； （2）根据（1）可知点与点对应的有理数，根据折叠的性质即可求解； （3）根据各点运动的情况可以用含的式子表示出，，对应的有理数，根据两点之间的距离，分别表示出，，由此即可求解． 【详解】（1）解：，点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点， ∴，， 故答案为：，． （2）解：点对应的有理数是，点对应的有理数是，若将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折叠点对应的有理数为，且点对应的有理数是， ∴点到折叠点的距离为， ∴与点重合的点表示的数为． （3）解：的值不会随着的变化而改变． ∵点从点开始以每秒个单位长度的速度向左运动， ∴运动后对应的点为， ∵点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动， ∴运动后对应的点为， ∵点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动， ∴运动后对应的点为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着的变化而改变，该值是． 【点睛】本题主要考查数轴上动点的问题，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法，点与点之间的有理数表示方法是解题的关键． 3．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点出发的同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设、两点运动的时间为秒． (1)点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） (2)当，时，分别求线段的长． (3)当时，求所有符合条件的的值． (4)若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴的负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，； (3)或； (4)或． 【分析】本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是熟记两点间的距离公式，找到等量关系． （1）根据点的运动方向列代数式即可求解； （2）先根据两点间的距离公式求出，再把值代入求解； （3）根据两点间的距离公式列方程求解； （4）根据的取值范围，分类讨论，列方程求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）， 当时，， 当时，； （3）由题意得：， 解得：或； （4）当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 综上所述，或． 类型九、数轴新定义 【解惑】对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为． 例如：P，Q两点表示的数如图1所示，则．A，B两点表示的数如图2所示． (1)求A，B两点的绝对距离； (2)若C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数． 【答案】(1)A，B两点的绝对距离为2 (2)点C表示的数为2或 【分析】（1）利用绝对距离的定义解题即可． （2）运用及绝对距离的定义解题即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴，， ∴或， ∴在原点上（舍），或者在2或上． 表示的数为2或 【点睛】本题主要考查数轴上用绝对值表示距离，能够熟练运用条件给的定义利用绝对值表示距离是解题关键． 【融会贯通】 1．已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有，则称点C为点A，B的“5和距离点”． (1)如果点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为，那么m的值是          ； (2)如果点D是数轴上点A，B的“6和距离点”，那么点D表示的数为      ； (3)如果点E在数轴上（不与A，B重合），满足，且此时点E为点A，B的“m和距离点”，求m的值． 【答案】(1)7 (2)或 (3)m的值为5或15 【分析】（1）根据“m和距离点”的概念解答； （2）设点D表示的数为x，根据“m和距离点”的定义分情况列式解答； （3）设E点表示的数为x，需要分类讨论：①当E点在线段上时（不与A，B重合），②当E点在线段延长线上时（不与B重合），列方程可得结论． 【详解】（1）∵点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为， ∴，， ∴； 故答案为：7； （2）设D点表示的数为x， ∵，， ∴， D点不会在线段上（）， ∴当D点在A点左边时， ， ， 当D点在B点右边时， ， ， ∴点D表示的数为：或； 故答案为：或； （3）设E点表示的数为x， ∵， ∴E的位置有两种可能， 当E点在线段上时（不与A，B重合）， ，， ∴， 解得： ， 此时， 当E点在线段延长线上时（不与B重合）， ，， ， 解得：， 此时， 综上所述，m的值为5或15． 【点睛】本题考查数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握“m和距离点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答，难度一般． 2．在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）求出表示的数，再画图即可； （2）①根据已知可得运动后表示的数；②分两种情况：当，表示的数是，当时，表示的数是，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点； 表示的数是，如图：    （2）①点表示的数为， 故答案为：； ②不存在恰好与原点重合，理由如下： 表示的数是， 当时，， 表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合； 当时，表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合， 综上所述，不存在恰好与原点重合． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． 3．阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段的中点表示的数为．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点R在线段上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段的中点R所表示的数为＝4，所以点R在线段上，则点A与点B关于线段径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2． (1)点B，C分别表示的数为，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段径向对称； (2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段径向对称，求线段长度的最小值，并写出求解过程； (3)在数轴上，动点K从表示的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段上至少存在一点与点A关于线段径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______． 【答案】(1)C (2)线段长度的最小值为； (3)，3 【分析】（1）根据径向对称的定义直接求解即可； （2）设点N所对应的数为m，点A和点F的中点所对应的数为，若最小，则点A和点F的中点与点N重合，此时； （3）设线段上有一点T，T点表示的数是x，由题意可得，求出x的范围是，当L点运动到表示1的数时，t的值最小，当K点运动到表示5的数时，t的值最大． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B，C表示的数分别为，4， ∴点A和点B的中点表示的数为，点A与点C的中点表示的数为， ∵点O为原点，点M表示的数为2， ∴点C与点A关于线段径向对称； 故答案为：C； （2）解：设点N所对应的数为m， ∵点A表示的数为，点F表示的数为6， ∴点A和点F的中点所对应的数为， 若最小，则点A和点F的中点与点N重合，此时； ∴线段长度的最小值为； （3）解：K点运动后表示的数是，L点运动后表示的数是， 设线段上有一点T，T点表示的数是x， ∴的中点， ∵T点与A点关于线段径向对称， ∴在线段上， ∴， ∴， 当L点运动到表示1的数时，， 解得， 当K点运动到表示5的数时，， 解得， ∴t的最小值为，最大值为3， 故答案为：，3． 【点睛】本题考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，弄清定义是解题的关键． 类型十、有理数的圈次方 【解惑】类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，记作，读作“的圈次方”．如，记作，读作“的圈次方”：记作，读作“的圈次方”，除方也可以转化为幂的形式，如． (1)计算：． (2)将一个非零有理数写成幂的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，类比有理数的乘方运算，进行计算是解题的关键； （1）直接根据除方的定义进行运算即可求解； （2）根据除方的定义以及除法的运算法则进行推导即可将除方运算转化为乘方运算 【详解】（1）解： （2）解： 【融会贯通】 1．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，类比有理数的乘方，把记作，读作“2的圈3次方”．一般地， 把（）记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______； 【深入思考】我们知道，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）仿照上面的算式，将运算结果直接写成幂的形式：______； （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是______； （4）计算：． 【答案】（1） （2）  （3）  （4） 【分析】本题考查了有理数的除法运算，乘方运算，以及有理数混合运算，正确理解相关运算法则是解题的关键． （1）根据题目给出的定义，进行计算即可； （2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可； （3）从（2）中总结归纳相关规律即可； （4）先将除方转化为乘方，再运用有理数混合运算的方法进行计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） 故答案为：； （3） 故答案为：； （4） ． 2．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）． 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【详解】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 3．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作aⓝ，读作“a的圈n次方” 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，_______； （2）关于除方，下列说法错误的是（    ） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． _____；______； 想一想：将一个非零有理数a的圈n次方（）写成幂的形式等于______； （4）利用（3）的结论计算：． 【答案】（1），；（2）C；（3）；；；（4）25． 【分析】初步探究 （1）分别按公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； 深入思考 （3）前两个数相除结果为1，从第三个数开始依次变为倒数，把除法化为乘法，由此分别得出结果； （4）将（3）中规律代入计算，注意运算顺序． 【详解】（1），． 故答案为：，−8； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除，所以都等于1；故选项A说法正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1的圈n次方等于1；故选项B说法正确； C、， ，则 ；故选项C说法错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．故选项D说法正确； 故答案为：C； （3） 故答案为：；；； （4） 【点睛】本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 【一览众山小】 1．已知：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，相同因数和的意义，根据乘方的定义，加法的意义计算即可求解，掌握乘方的意义及相同因数和的意义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．有一列数，其中，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律的探索，含乘方的有理数计算，根据已知分别求出的值，可以发现结果为，，，，，，每三个一循环，根据即可得出结果． 【详解】解：，，，， 这列数是，，，，，，且这列数是每三个一循环的， ，， ， 故选：A． 3．如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，即可得出点表示的数，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，边长为， ∴，点对应的数是， ∵移动后的长方形与原长方形 重叠部分的面积为， ∴阴影部分的面积为，，， 如图，当长方形向左平移时， 即， ∴， ∴表示的数为， 如图，当长方形向右平移时， 即， ∴， ∴， ∴， ∴表示的数为， ∴点表示的数为或， 故选：． 4．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 5．有一组数据：记，，，…，．，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数字规律探索，根据题意找出数字变化的规律是解题关键．通过探索数字变化的规律进行分析计算即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 6．根据公式（其中n为正整数，且）．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的数字变化规律，乘方的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简，从而正确的得到式子的规律． 利用所给结论，进行化简计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识， （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，得到x在到2之间，，即可得出结论． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； （3）表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 8．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，设①， 将等式两边同时乘以3，则②， 由，得：， ， ； （2）根据材料，设③， 将等式两边同时乘以④， 由，得：， , ． 9．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)　　　　　； (2)　　　　　　　　； (3) ． 【答案】(1)343400 (2)26527650 (3) 【分析】本题考查的是探索规律的题目， （1）根据三个特殊等式相加的结果，代入公式进行计算即可求解； （2）先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解； （3）根据（2）的求解规律，先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解； 解答本题的关键是读懂题目信息，学会把乘法算式拆写成两个式子的运算形式． 【详解】（1） （2） （3） 10．已知：，c比b大2． (1)______，______，______． (2)在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c． ①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． ②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当______时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）． 【答案】(1)；4；6 (2)①点P表示的数为2或10；②或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再求出c的值即可； （2）①设点P表示的数为x，根据点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍得出，分三种情况进行讨论即可； ②分两种情况：当动点M向右运动时，当动点M向左运动时，分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵c比b大2， ∴； 故答案为：；4；6． （2）解：①设点P为x，则点P到点A的距离是：，点P到点B的距离是：， 由点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍可得： ， 当时，， 解得：，不符合题意舍去； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上分析可知，点P表示的数为2或10． ②当动点M向右运动时，即， 动点M从点A出发以4个单位速度向右运动， 点M对应实数为， 动点N从点B出发以1个单位速度向右运动， 点N对应实数为， 对应实数为6， ，， M、N两点到点C的距离相等， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当动点M向左运动时，即， 动点M从D出发以4个单位速度向左运动， 点M对应实数为， ，， M、N两点到点C的距离相等， ， 解得：或； 综上分析可知，或或时，M、N两点到点C的距离相等． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间距离，绝对值意义，解绝对值方程，数轴上点表示有理数，解题关键是“掌握数轴上两点之间的距离的运算，并通过等量关系列代数式”． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$