第一章有理数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材华东师大版

第一章 有理数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 正数和负数 1.1 正数和负数 像 、、、 这样的数是负数，像 、、、 这样的数是正数。正数前面有时也可放上一个“”号，如 可以写成 。 示例：规定向东为正、向西为负，向东行驶 记作 ，向西行驶 记作 。 注意： 既不是正数，也不是负数。 2. 有理数 2.1 有理数的定义 正整数、 和负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。 示例：、、 是整数；、 是分数；它们都是有理数。 2.2 有理数的分类 类别 分类 整数 正整数、、负整数 分数 正分数、负分数 示例：、、 属于整数；、 属于分数。 2.3 数集 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。所有有理数组成的数集叫做有理数集；所有整数组成的数集叫做整数集；所有负数组成的数集叫做负数集；所有正整数和 组成的数集叫做非负整数集（即自然数集）。 示例：、、 属于整数集；、 属于有理数集但不属于整数集。 3. 数轴 3.1 数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 示例：数轴三要素——原点（表示数 ）、正方向（从原点向右画箭头）、单位长度。 3.2 用数轴表示有理数 在数轴上，正数在原点的右边，负数在原点的左边。 示例：在数轴上表示 ，即在原点的左边 个单位长度处画上相应的点。 3.3 在数轴上比较数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 由此得到数的大小比较法则：正数都大于 ，负数都小于 ，正数都大于负数。 示例：在数轴上，。 4. 相反数 4.1 相反数的定义 只有正负号不同的两个数称互为相反数，也就是说，其中一个数是另一个数的相反数。 在数轴上，表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。 我们规定： 的相反数是 。 示例： 和 互为相反数，即 是 的相反数， 是 的相反数。 4.2 相反数的表示 数 的相反数记作 。 我们通常在一个数的前面添上“”号，表示这个数的相反数。例如 、 的相反数分别为 ，。 在一个数的前面添上“”号，仍表示这个数本身。例如 ，。 示例：化简 ，。 5. 绝对值 5.1 绝对值的定义 我们把在数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 。 示例： 的点与原点的距离是 个单位长度，所以 ；。 5.2 绝对值的性质 1. 一个正数的绝对值是它本身； 1. 的绝对值是 ； 1. 一个负数的绝对值是它的相反数。 的取值 绝对值 由此可以看出，任何一个有理数的绝对值总是正数或 （通常也称非负数），即对任意的有理数 ，总有 。 示例：，，。 6. 有理数的大小比较 6.1 两个负数比较大小的法则 两个负数，绝对值大的反而小。 示例：比较 与 ：先求绝对值 ，，因为 ，所以 。 7. 有理数的加法 7.1 有理数的加法法则 1. 同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加； 1. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 1. 互为相反数的两个数相加得 ； 1. 一个数与 相加，仍得这个数。 示例：；；。 注意：一个有理数由正负号和绝对值两部分组成，进行加法运算时，应先确定和的正负号，再确定绝对值。 7.2 有理数加法的运算律 有理数的加法仍满足交换律和结合律。 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。。 示例：。 8. 有理数的减法 8.1 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。。 示例：；。 9. 有理数的加减混合运算 9.1 加减法统一成加法 应用有理数的减法法则，可以把加减混合运算统一为只有加法运算的和式，并把各个加数的括号和它们前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。 示例：。 10. 有理数的乘法 10.1 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 相乘，都得 。 示例：；；。 10.2 多个有理数相乘 几个不等于 的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定：当负乘数的个数为奇数时，积为负；当负乘数的个数为偶数时，积为正。 几个数相乘，有一个乘数为 ，积就为 。 示例： 中负乘数有 个，积为负。 10.3 有理数乘法的运算律 有理数的乘法仍满足交换律、结合律和分配律。 乘法交换律：。 乘法结合律：。 分配律：。 示例：。 11. 有理数的除法 11.1 倒数 乘积是 的两个数互为倒数。 示例： 与 互为倒数， 与 互为倒数。 11.2 有理数的除法法则 除以一个数等于乘以这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 注意： 不能作除数。 示例：。 12. 有理数的乘方 12.1 乘方的定义 这种求几个相同乘数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中， 叫做底数， 叫做指数， 读作 的 次方，当把 看作是 的 次方的结果时，也可读作 的 次幂。 一个数可以看作这个数本身的 次方， 就是 ，指数 通常省略不写。 示例：在 中，底数是 ，指数是 ，读作 的 次方。 12.2 乘方的符号规律 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 示例：，，。 12.3 科学记数法 一个绝对值大于 的数可以记成 的形式，其中 ， 是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。 示例：；；。 13. 有理数的混合运算 13.1 有理数混合运算的顺序 1. 先做乘方，再做乘除，最后做加减； 1. 同级运算，按照从左至右的顺序进行； 1. 如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 示例：。 注意：进行分数的乘、除运算时，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法。 14. 近似数 14.1 准确数与近似数 与实际完全符合的数是准确数；与实际非常接近的数，称为近似数。 示例：统计得班上喜欢看球赛的同学人数是 ， 是准确数；量得教科书宽度为 ， 是近似数。 14.2 四舍五入法与精确度 一般地，一个近似数四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位。 示例：，取整数为 （精确到个位），取 位小数为 （精确到十分位），取 位小数为 （精确到百分位）。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 多重符号的化简 一个数前面带多个“”“”号时，直接数“”号的个数：负号个数为奇数时结果为负，负号个数为偶数时结果为正。如 ，，。 1.2 互为相反数的判定 两个数互为相反数的充要条件是它们的和为 ：若 ，则 、 互为相反数；若 、 互为相反数，则 。 1.3 绝对值的非负性 ，且 当且仅当 。若 ，则必有 且 。 【使用提醒】此结论只对绝对值为 的“和”成立， 要求每一项都为 ；若和为正数则不能推出 、 的值。 1.4 绝对值相等的两个数 等价于 或 ；特别地， 时 。 【使用提醒】由 不能直接断定 ，必须分“相等”与“互为相反数”两种情况讨论。 1.5 数轴上两点间的距离 数轴上表示数 、 的两点间的距离为 。如表示 与 的两点间的距离为 。 1.6 倒数的性质 乘积是 的两个数互为倒数； 没有倒数； 和 的倒数是它们本身；互为倒数的两个数同号。 【使用提醒】求倒数前先确认原数不为 ； 没有倒数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 有理数加法“先定号、再算值” 先确定和的符号（同号取同号、异号取绝对值较大的加数的符号），再算绝对值（同号相加、异号相减）。如 。 2.2 加减混合运算三步 把减法统一成加法，写成省略加号的和式，再凑整、同号结合简算。如 。 2.3 乘法“先定号、再算值” 先数负乘数的个数定积的符号，再把绝对值相乘。如 。 2.4 除法“化乘” 除以一个数等于乘这个数的倒数，带分数先化假分数。如 。 2.5 有理数大小比较三步 先化简（去绝对值、去多重符号），再按“正数 负数”归类，最后对两个负数比较绝对值（绝对值大的反而小）。如比较 与 ：，故 。 2.6 科学记数法“定 、定 ” 先确定 （使 ），再取原数整数位数减 作为 。如 （）。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 凑整 互为相反数、和为整数的先结合 ， 同号结合 正数一起、负数一起 化假分数 带分数化假分数再乘除、乘方 巧用分配律 分母能约分的用分配律 反向用分配律 提公因数 拆数凑整 接近整数的拆开 4. 常见考试模型 4.1 基准数模型 公式：以标准量 为基准，各数记为偏差 ，总和 。 限定：超出基准记正、不足记负，偏差之和即总偏差。 示例：如 筐苹果以 为基准，偏差和为 ，则总重 。 4.2 正负数表示方向 + 路程耗油模型 公式：以某方向为正，各次记录相加得终点位置（代数和）；求总路程或总耗油取各数绝对值之和。 限定：求“最终位置、方向距离”用代数和，求“总路程、耗油量”用绝对值的和，两者不能混用。 示例：如记录 ：代数和为 （在出发地反向 处），绝对值之和为 。 4.3 温差 / 海拔差模型 公式：温差（高度差） 较高值 较低值，减法再转化为加法。 限定：较低值可能为负数，作差时“减负数”等于加其相反数。 示例：如最高 、最低 ，温差 。 4.4 科学记数法 + 精确度模型 公式：写成 （），判断精确到哪一位看 的末位数字对应原数的数位。 限定： 的精确度由 决定，与 无关，须还原到原数再看。 示例：如 精确到百位；（精确到千位），不能写成 。 【使用提醒】 精确到“百位”，不要误判为“百分位”；取近似数达到某精确度时，结果用科学记数法表达才不会丢失末位的 。 4.5 数轴动点（点移动）模型 公式：点从表示数 的位置出发，向右移 个单位到 ，向左移 个单位到 。 限定：连续移动按顺序累加，终点表示的数 起点数 以“向右为正”的移动量的代数和。 示例：如点表示数 ，向右移 个单位到达 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略“0 既不是正数，也不是负数” 典例：判断下列说法是否正确：一个数如果不是正数，就必定是负数。 错解：正确。 正解：不正确。因为 既不是正数，也不是负数，所以“不是正数”的数除了负数外还有 。 原因：概念遗漏。学生把“非正数”与“负数”混为一谈，只记得正、负两类而遗忘了 这个“分界数”。 是正数与负数的分界点，它本身不带正负号，判断“不是正数就是负数”“不是负数就是正数”这类说法时，都要先想到 这个反例。 易错点 2：比较两个负数大小时，误把“绝对值大”当成“数大” 典例：比较 与 的大小。 错解：因为 ，，且 ，所以 。 正解：两个负数，绝对值大的反而小。因为 ，所以 。 原因：思维迁移错误。学生把比较正数“绝对值（数值）大的数就大”的习惯直接搬到负数上，忽略了“两个负数，绝对值大的反而小”这条专门法则。根源是没理解数轴上“绝对值大表示离原点远，而负方向上离原点越远数越小”。比较两个负数，必须“先比绝对值、再反号下结论”。 易错点 3：异号两数相加，符号或绝对值处理出错 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：法则混淆。学生把“异号两数相加”误当成“同号两数相加”来算——同号是把绝对值相加，而异号应该“取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”。 中 的绝对值较大，故和取正号，再用 得绝对值 。加法第一步永远是“先定符号”，符号错了，绝对值再对也白算。 易错点 4： 与 混淆，底数判断错误 典例：计算 。 错解：。 正解：。 表示 的相反数，底数是 ，不是 。 原因：对底数范围理解不清。 的底数是 ，是 个 相乘得 ；而 中没有括号，乘方只作用于 ，。两者相差一个符号。判断这类式子，先看负号是否被括号包进底数：负号在括号内才是负底数，负号在括号外只是取相反数。 易错点 5：科学记数法中 不满足 典例：用科学记数法表示 。 错解：。 正解：。科学记数法要求 ， 不满足此范围。 原因：忽略范围限定。科学记数法的形式是 （， 为正整数），学生只记得“写成 ”的外形，忘了 必须是“绝对值在 （含）与 （不含）之间”的一位数整数或带一位整数的小数。判断时先检验 是否满足 ，不满足就要继续移动小数点。 易错点 6： 漏掉 ，绝对值分类讨论不完整 典例：字母 取怎样的有理数时， 成立？ 错解：由 ，得 。 正解：当 时，。因为 时也有 ，所以答案应包含 。 原因：漏分类讨论。学生把绝对值的三条性质“正数的绝对值是它本身、 的绝对值是 、负数的绝对值是它的相反数”只取了一半，推出 时只想到 ，漏掉了 这一临界情形。凡涉及“绝对值等于它本身（或相反数）”求字母范围，都要按 、、 三种情况完整讨论，尤其注意 同时满足 和 。 学科网（北京）股份有限公司 $