专题01 有理数（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、利用数轴比较有理数的大小 【解惑】，，，四个数在数轴上的位置如图所示，则最小的数是（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“”“”“”填空）． 3．利用数轴比较大小： 发现：下表是某一天5个城市的最低气温： 城市 北京 上海 哈尔滨 长沙 广州 气温 把上述5个城市这一天的最低气温表示在数轴上，如图所示：    观察这5个数在数轴上的位置，发现： 的温度最低， 的温度最高，温度越高，它对应数轴上的点越向 （填“左”或“右”）． 类型二、数轴上两点之间的距离 【解惑】在数轴上，与表示和4的点距离相等的点所表示的数为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【融会贯通】 1．已知点和点在同一个数轴上，点表示数为，点和点相距5个单位长度，则点表示的数是（    ） A．3 B．7 C．3或 D．3或7 2．在数轴上到表示的点距离为个单位的点所表示的数是 ． 3．纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 类型三、绝对值的非负性 【解惑】如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【融会贯通】 1．若a为有理数，且满足，则（　　） A． B． C． D． 2．若则 ． 3．若，则 ． 类型四、化简绝对值 【解惑】有理数的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．有理数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 2．实数，在数轴上的位置如图，则 ． 3．如果有理数在数轴上的位置如图所示，则= ． 类型五、程序流程图 【解惑】如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为3，的值为时，输出的结果为（　　） A． B．11 C． D．35 【融会贯通】 1．按如图所示的步骤操作，若输入的数为，则输出的数为（    ） A． B． C． D． 2．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，若开始输入的值为，发现第次输出的结果为，第次输出的结果为，……，则第次输出的结果是 ． 3．如图，某同学设计了一种计算流程图，即按照图中顺序计算，完成下列任务 （1）若输入的数是，则输出的数是 ； （2）若输入的数是1923，则输出的数是 ． 类型六、化简多重符号 【解惑】（ ） A． B．2 C． D．1 【融会贯通】 1．（　　） A． B．2024 C． D． 2． ． 3．（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 类型七、有理数的加法运算律 【解惑】在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 【融会贯通】 1．下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 2．对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 3．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 类型八、有理数的乘法运算律 【解惑】，这是运用了（    ）运算律． A．加法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 【融会贯通】 1．对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 2．在计算时，利用乘法的 可以简单运算；其计算结果是 ． 3．学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)用你认为最合适的方法计算：． 类型九、算”24“点 【解惑】有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【融会贯通】 1．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式． 2．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 3．“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表，，． 例如，抽到一组牌：，要使运算结果为24，则可列式为：； (1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． 类型十、有理数的分类 【解惑】把下列各数填在相应的大括号内： (1)正数集合：{                      …}； (2)整数集合：{                      …}； (3)负分数集合：{                    …}． 【融会贯通】 1．把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，，，，，． 整数集合{            } 分数集合{            } 正有理数集合{            } 负有理数集合{            } 2．将下列各数填在相应的圆圈里： ，，75，，0，，，，； 整数集合： {                                        } 正数集合： {                                        } 正分数集合：{                                        } 负整数集合：{                                        } 3．把下列各数填入它所属的集合内 ，，，，0， (1)整数集合{____________________……}； (2)分数集合{____________________……}； (3)非负数集合{____________________……}． 【一览众山小】 1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．将算式可以变形为（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．比较大小： （填“＜”，“＞”或“＝”）． 5．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 6．将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是 ． 7．折项法计算：． 8．小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是______． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，(注：每个数字只能用一次，如：)，请另写出一种符合要求的运算式子． 9．如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）    (1)当小明输入3；；这三个数时，这三次输出的结果分别是__________． (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？__________（任意写一个符合题意的）． (3)有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，他只记得自己输入的是一个绝对值小于5的数，请你判断一下，小明可能输入的是哪些数？请写出所有可能． 10．请将下列各数分类： ，，，，，，，，． （1）正分数集： ； （2）整数集： ； （3）负有理数集： ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、利用数轴比较有理数的大小 【解惑】，，，四个数在数轴上的位置如图所示，则最小的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了根据数轴比较大小，根据右边的数比坐标的大，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得：，则最小的数是， 故选：A． 【融会贯通】 1．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及根据点在数轴的位置判断式子的正负，越在数轴的右边的数越大，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：根据图示，可得：，， ， ， 选项不符合题意； ，， ， 选项不符合题意； ，， ，， ， 选项C不符合题意； ，， ， 选项D符合题意． 故选：． 2．两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上比较大小，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据数轴上比较大小即可得到答案． 【详解】解：根据在数轴的位置可知，， 故答案为：． 3．利用数轴比较大小： 发现：下表是某一天5个城市的最低气温： 城市 北京 上海 哈尔滨 长沙 广州 气温 把上述5个城市这一天的最低气温表示在数轴上，如图所示：    观察这5个数在数轴上的位置，发现： 的温度最低， 的温度最高，温度越高，它对应数轴上的点越向 （填“左”或“右”）． 【答案】 哈尔滨 广州 右 【分析】根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】根据题意可得， 哈尔滨的温度最低，广州的温度最高，温度越高，它对应数轴上的点越向右． 故答案为：哈尔滨，广州，右． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数相比较，负号后面的数越大此数就越小． 类型二、数轴上两点之间的距离 【解惑】在数轴上，与表示和4的点距离相等的点所表示的数为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的中点的求法，根据数轴上两点的中点的求法，即两数和的一半，直接求出即可． 【详解】解：数轴上与表示和4的点距离相等的点所表示的数为， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知点和点在同一个数轴上，点表示数为，点和点相距5个单位长度，则点表示的数是（    ） A．3 B．7 C．3或 D．3或7 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点之间距离的表示方法，数形结合，由数轴上两点之间距离的表示方法直接求解即可得到答案，熟记数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得， 点表示数为， 点表示的数是3或， 故选：C． 2．在数轴上到表示的点距离为个单位的点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】考查了数轴，注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏掉任一种情况，据此求解即可． 【详解】解：由题可知，可以分为两种情况： 当该点在的左侧时，该点到表示的点距离为个单位， 则该点为：； 当该点在的右侧时，该点到表示的点距离为个单位， 则该点为：； 故答案为：或． 3．纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 【答案】0 【分析】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可． 本题考查了数轴上的折叠问题，中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合， 得到折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，根据折叠的性质， 得到， 解得， 故答案为：0． 类型三、绝对值的非负性 【解惑】如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质．根据非负数的性质，可求出、的值，然后代入求值计算即可． 【详解】解：∵有理数、满足， ∴，， ∴，， 则， 故选：A． 【融会贯通】 1．若a为有理数，且满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴． 解得： 故选：D． 2．若则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值非负性的知识，解题的关键是掌握绝对值非负性的应用，根据题意，则，解出，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，直接利用绝对值的非负性得出，的值，进而代入即可得出答案，正确得出，的值是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 类型四、化简绝对值 【解惑】有理数的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，解题根据是熟练掌握有理数的加法法则．观察数轴可知：，可得，，对各个选项的结果进行判断，得出答案即可． 【详解】解：观察数轴可知：， ，， ， ， 故选B． 【融会贯通】 1．有理数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值是解题的关键． 由数轴可知，，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．实数，在数轴上的位置如图，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴进行绝对值的化简计算，数形结合、明确绝对值的化简法则，是解题的关键． 先由数轴可得：，，再根据绝对值的化简法则计算即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ． 故答案为：． 3．如果有理数在数轴上的位置如图所示，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点、绝对值等知识，先判定每个绝对值的正负，根据绝对值的法则，即可得出答案，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，， 即，，， 故答案为：． 类型五、程序流程图 【解惑】如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为3，的值为时，输出的结果为（　　） A． B．11 C． D．35 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，将代入程序图，按步骤进行计算即可． 【详解】解：当输入的值为3，的值为时， ， 故选：C． 【融会贯通】 1．按如图所示的步骤操作，若输入的数为，则输出的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据运算程序直接计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，输出的数为， 故选：． 2．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，若开始输入的值为，发现第次输出的结果为，第次输出的结果为，……，则第次输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数每个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前个数，从从而得出这列数每个数为一个周期的规律，即可求解． 【详解】解：由题知，， 第次输出的结果为； 第次输出的结果为； 第次输出的结果为； 第次输出的结果为； 第次输出的结果为； 第次输出的结果为； …， 依次类推，输出的结果按，，，，循环出现， 因为， 所以第次输出的结果为． 故答案为：． 3．如图，某同学设计了一种计算流程图，即按照图中顺序计算，完成下列任务 （1）若输入的数是，则输出的数是 ； （2）若输入的数是1923，则输出的数是 ． 【答案】 2100 2023 【分析】本题考查流程图与有理数的计算，根据流程图，列出算式进行计算，是解题的关键． （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）， 输出的数是2100． 故答案为：2100 （2）把1923代入，得，把代入，得， 输出结果为． 故答案为：2023 类型六、化简多重符号 【解惑】（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查数的化简，根据题意可知同号得正，异号得负，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故选：A． 【融会贯通】 1．（　　） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握“负负得正”是解题的关键．根据“负负得正”即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 2． ． 【答案】 【分析】根据化简多重符号的方法求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简多重符号，熟知化简多重符号法则是解题的关键，多重符号化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正；一个数前面有奇数个“”号，结果为负． 3．（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 【答案】（1）①；②；③；④；⑤；⑥； （2）当前面有2022负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【分析】本题考查的是相反数的概念和多重符号化简，掌握一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数是解题的关键． 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； （2）当前面有2022个负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 类型七、有理数的加法运算律 【解惑】在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，由变形可知与3交换位置，所以在计算时通常转化成，这个变形的依据是：加法交换律． 【详解】解：在计算时通常转化成， 这个变形的依据是：加法交换律． 故选：A． 【融会贯通】 1．下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可． 【详解】解：，利用的加括号法则，故选项A不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 2．对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 3．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 类型八、有理数的乘法运算律 【解惑】，这是运用了（    ）运算律． A．加法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 【答案】C 【分析】此题考查了乘法分配律． 乘法分配律：，据此解答即可． 【详解】解：，这是运用了乘法分配律； 故选：C． 【融会贯通】 1．对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据计算过程结合有理数的乘法运算律进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：，上面的计算中运用到的运算律是乘法结合律， 故选：C． 2．在计算时，利用乘法的 可以简单运算；其计算结果是 ． 【答案】 分配律 【分析】本题考查有理数的运算．掌握乘法分配律，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：在计算时，利用乘法的分配律可以简单运算； 原式； 故答案为：分配律，． 3．学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)小军的解法较好 (2) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律．把带分数进行适当的转化，再利用乘法分配律计算即可求解． （1）根据计算的简便程度判断即可； （2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：对于以上两种解法，小军的解法较好， 故答案为：小军； （2）解： ． 类型九、算”24“点 【解惑】有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【详解】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 【融会贯通】 1．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式． 【答案】， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故答案为，． 2．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【答案】(1)、；15； (2)、； (3)、4； (4) 【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据有理数的乘方运算即可确定； （4）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵，，， ∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15． 故答案为：、；15； （2）∵， ∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为． 故答案为：、；． （3）∵，， ∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为． 故答案为：、4；． （4）抽取、、0、3，则． 故答案为：． 3．“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表，，． 例如，抽到一组牌：，要使运算结果为24，则可列式为：； (1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键 （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为： （2）解：∵ ∴ 故答案为： （3）解：∵ ∴ 故答案为： 类型十、有理数的分类 【解惑】把下列各数填在相应的大括号内： (1)正数集合：{                      …}； (2)整数集合：{                      …}； (3)负分数集合：{                    …}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数分类，涉及正数定义、整数定义及负分数定义等知识，熟记相关有理数定义是解决问题的关键． （1）根据正数定义求解即可得到答案； （2）根据整数定义求解即可得到答案； （3）根据负分数定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：正数集合：， 故答案为：； （2）解：整数集合： 故答案为：； （3）解：负分数集合： 故答案为：． 【融会贯通】 1．把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，，，，，． 整数集合{            } 分数集合{            } 正有理数集合{            } 负有理数集合{            } 【答案】，，，，；，，，；，，，；，，，． 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类即可解答，掌握有理数的分类是解题的关键． 【详解】解：整数集合{，，，，} 分数集合{，，， } 正有理数集合{，，，} 负有理数集合{，，，} 故答案为：，，，，；，，，；，，，；，，，． 2．将下列各数填在相应的圆圈里： ，，75，，0，，，，； 整数集合： {                                        } 正数集合： {                                        } 正分数集合：{                                        } 负整数集合：{                                        } 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数、负整数、0；正数包括正整数和正分数、以及正分数、负整数的定义，对上述数据进行分类，即可解题． 【详解】解：由有理数的分类可知： 整数集合为：，，75，0，； 正数集合：，75，，； 正分数集合：，； 负整数集合：，； 3．把下列各数填入它所属的集合内 ，，，，0， (1)整数集合{____________________……}； (2)分数集合{____________________……}； (3)非负数集合{____________________……}． 【答案】(1)，，0 (2)，， (3)，，0 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的定义． （1）根据整数的定义进行判断即可； （2）根据分数的定义进行判断即可； （3）根据非负数的含义进行判断即可． 【详解】（1）解：整数集合{，，0……}； 故答案为：，，0； （2）解：分数集合{，，……}； 故答案为：，，； （3）解：非负数集合{，，0……}． 故答案为：，，0． 【一览众山小】 1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 根据对应的点在数轴上的位置得到，然后逐一判断即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项错误； ∴，故D选项正确； 故选D． 2．将算式可以变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去绝对值的方法及有理数的大小比较，考查运算能力；对去绝对值是解题的关键，先判断，再根据负数的绝对值是其相反数求解即可． 【详解】 ， 故选：D 3．如果，那么下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了异号两数相加的法则，数的大小的比较，解题的关键是掌握有理数的加法法则． 先确定的符号与绝对值，进而判断4个数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ∴负数的绝对值较大， ， 故选：B． 4．比较大小： （填“＜”，“＞”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】本题考查了有理数的大小比较，求绝对值，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键 先求出绝对值，再根据有理数大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵， 而，， 又∵， ∴． 故答案为：＜． 5．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 6．将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是 ． 【答案】651 【分析】解答此题的关键是根据图找出拐弯外数的数与次数的规律，然后再根据规律解答． 第一拐弯处是2，第二次拐弯处是3，第三次拐弯处是5，第四次拐弯处是7，第五次拐弯处是10…可以得到n个拐弯处的数．当n为奇数时，；当n为偶数时，．第50次为偶数，代入即可计算出此处拐弯处的数． 【详解】解：由分析可知，第50次拐弯处的数为： ． 故答案为：651． 7．折项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 8．小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是______． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，(注：每个数字只能用一次，如：)，请另写出一种符合要求的运算式子． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）找出与，使其乘积最大即可； （2）找出与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出一个符合要求的式子即可． 【详解】（1）取，2，乘积最大值为， 故答案为： （2）取商的最小值为， 故答案为： （3）． 9．如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）    (1)当小明输入3；；这三个数时，这三次输出的结果分别是__________． (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？__________（任意写一个符合题意的）． (3)有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，他只记得自己输入的是一个绝对值小于5的数，请你判断一下，小明可能输入的是哪些数？请写出所有可能． 【答案】(1)，， (2)（答案不唯一） (3)小明可能输入的数是：，， 【分析】（1）先判断出3，，与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0，进一步分析得出结论； （3）设输入的数为x，分、、三种情况进行讨论，按输入程序进行解答． 【详解】（1）解：当输入3时，， ∴输入3时的程序为：， 的相反数是，2的倒数是， ∴当输入3时，输出； 当输入时，， 的相反数是，4的倒数是， ∴当输入时，输出； 当输入时，， 的相反数是，的绝对值是， ∴当输入时，输出； 故答案为：，， （2）解：∵输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，当输入5的倍数时也输出0， ∴应输入（n为自然数）； 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：由输出的数为2， 设输入的数为x， 他只记得自己输入的是一个绝对值小于5的数，并且由（2）知， 且， ①当时，，其相反数是， 其倒数是， 解得； ②当时，其相反数是，其绝对值是， 故； ③当时，其相反数为，其倒数是， ． 总上所述，x的可能值为：，，． 【点睛】本题考查的是倒数、绝对值及相反数的概念，解答此题的关键是弄清图表中所给的程序，在解（3）时要注意分类讨论． 10．请将下列各数分类： ，，，，，，，，． （1）正分数集： ； （2）整数集： ； （3）负有理数集： ． 【答案】（1），    （2），，，    （3），，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，0是整数，但既不是正数，也不是负数． 【详解】解：（1）正分数集：，； （2）整数集：，，，； （3）负有理数集：，，，，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$