精品解析：安徽省滁州市凤阳县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期八年级期末质量监测 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合并． 将各选项化为最简二次根式即可解答． 【详解】解：， A、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； B、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； C、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不可以合并，符合题意； 故选：D． 2. 关于 的方程是一元二次方程，则 的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解方程求解以及不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得出且 解得：， 故选：A． 3. 在矩形中，，，将此矩形折叠，使点 与点 重合，折痕为，如图所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠的问题，勾股定理的应用，由折叠的性质可得出，设，则，由矩形的性质可知，根据勾股可得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得出， 设， 则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 即， 解得：， 故的长为10． 故选：C． 4. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形要求边、角、对角线成立的条件逐个判断，即可解决问题． 【详解】解：A．，， 根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； B．，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C．，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D．，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 一组数据：3，6，7，7，9，14．关于这组数据说法错误的是（ ） A. 极差是11 B. 众数是7 C. 中位数是7 D. 平均数是7 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，要熟练掌握其计算方法是解题的关键． 根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可． 【详解】解：A.∵3，6，7，7，9，14这组数据的最大值是14最小值是3， ∴这组数据的极差是：， 选项A正确，不符合题意； B.∵这组数据中7出现了2次，最多， ∴众数为7， ∴选项B正确，不符合题意； C.∵3，6，7，7，9，14这组数据的中位数是， ∴选项C正确，不符合题意； D.平均数是：． ∴选项D不正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，掌握相关运算法则和公式是解题的关键，根据相关运算法则计算即可判断． 【详解】A、，故此选项错误，不符合题意； B、无意义，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 某企业今年1月份的利润为200万元，2月份和3月份的利润合计为750万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为 ，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据2月份和3月份的利润合计为750万元列出一元二次方程即可． 【详解】解：1月份的利润为200万元， 则2月份的利润为， 则3月份的利润为， ∴根据题意可列方程为． 故选：D． 8. 如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点 离点 为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：   长方体的宽为，高为，点 离点 的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点 离点 的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：    长方体的宽为，高为，点 离点 的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 蚂蚁爬行的最短距离是． 故选A． 9. 如图．在矩形中．对角线 与相交于点 ，若 是的垂直平分线，且，则 的长为（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】 四边形是矩形， ． 垂直平分， ， ， ． 在中，，，， ． 故选B． 10. 如图，在正方形中，，点， 分别在边，上，且，连接 ， 交于点 ，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解本题的关键． 证明，得，则，根据勾股定理得出 ，再根据等面积法可得的长，进而可得结论． 【详解】解： 四边形为正方形，， ，． 又， ， ， ． ， ， ． 在中，，， ． 由等面积法可得， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式和二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且. 12. 若正边形一个外角的度数为，则的值等于______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和．熟练掌握正多边形的外角和为 是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：9． 13. 设 、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据 是方程的实数根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后代入计算即可． 【详解】，是方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：2024． 14. 如图，已知是矩形的对角线，，，点， 分别在边， 上，连接 ，将沿 翻折，将沿翻折，若翻折后，点， 分别落在对角线上的点 ，处，连接．则： （1）______． （2）______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠问题，掌握矩形的性质并用勾股定理列方程是解题的关键， （1）根据勾股定理求出，根据翻折求出和，继而用得解； （2）设，则，，利用勾股定理列出方程求解出HF，再用勾股定理 得，代入求值即可． 【详解】（1）是矩形的对角线，，， ，， 将沿 翻折，将沿翻折，点， 分别落在对角线上的点 ，处， ，， ． （2）设，由折叠可知， ∴， 在中，，， ∴， 解得， 在中，，， 则， 故答案为：2；． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、乘除法与减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先计算二次根式的除法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法与减法即可得． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键． 原方程化为，得根的判别式，得到，即得，． 【详解】解：方程化为， ，，． ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于 的方程． （1）判断此方程根的情况； （2）若是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握“当根的判别式时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此得出方程有两个不相等的实数根； （2）将代入原方程可求出，将其代入代数式中即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：将代入方程，得，即， ， ． 18. 如图，四边形的顶点均在边长为1的小正方形组成的网格的格点上． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理逆定理以及利用网格求三角形面积等知识． （1）利用网格与勾股定理求出，，，再根据勾股定理逆定理证明：是直角三角形即可． （2）根据，利用网格求三角形面积即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得，，． ， ， 即是直角三角形． 【小问2详解】 ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的数学兴趣小组学习了“勾股定理”之后，想测风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为20米；③牵线放风筝的同学的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果想让风筝沿方向下降11米，则应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的垂直高度为17.7米 （2）应该往回收线7米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质，运用勾股定理计算第三边是解题的关键． （1）利用勾股定理求出，再加上放风筝的同学的身高即可； （2）设风筝沿方向下降11米后达到M点，先求出，再用勾股定理求出，从而得解． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理，得， (负值舍去)， 依题意可知：四边形是矩形， 又∵牵线放风筝的同学的身高为1.7米，即米， (米)． 答：风筝的垂直高度为17.7米； 【小问2详解】 设风筝沿方向下降11米后达到M点， 由题意，得米， ， (米)， (米)， 应该往回收线7米． 20. 如图，在四边形中，，，的角平分线交 于点E，连接、 ， 交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点E是 的中点，，求 的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，从而推出，即可证明； （2）由菱形的性质可得，再结合线段中点，即可求出 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ， ， 点E是 的中点， ． 六、（本题满分12分） 21. 某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为40元，销售价为60元时，每天可售出20盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价1元，则平均可多售出3盒．设该种粽子每盒降价 元； （1）每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含 的代数式表示） （2）求该种粽子每盒最多降价多少元时，平均每天可盈利500元． （3）若店长希望平均每天能盈利800元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）当该种粽子每盒最多降价10元时，平均每天可盈利500元 （3）这个愿望不能实现，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元二次方程的应用以及一元二次方程根的判别式的应用． （1）根据题意，每盒降价x元，则每天可销售盒，每盒盈利元； （2）根据利润等于每盒的盈利乘以盒数列出关于x的一元二次方程，求解后再根据最多降价即可得出答案． （3）根据利润等于每盒的盈利乘以盒数列出关于x的一元二次方程，利用根的判别式即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，每盒降价x元，则每天可销售盒， 每盒盈利元； 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去） 答∶该种粽子每盒最多降价10元时，平均每天可盈利500元； 【小问3详解】 不能，理由如下∶ 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴该方程无解， 故不能使平均每天盈利800元．则个愿望不能实现． 七、（本题满分12分） 22. 某学校八、九年级各有学生200人，为了提高学生的身体素质，学校开展了主题为“快乐运动，健康成长”的系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格） a．八年级学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100） b．八年级学生成绩在70≤x＜80这一组的是： 70 71 73 73 73 74 76 77 78 79 c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 79 76 84 40% 根据以上信息，回答下列问题： （1）在此次测试中，小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，由此可知他是　　年级的学生（填“八”，或“九”）； （2）根据上述信息，推断　　年级学生运动状况更好，理由为　　；（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） （3）假设八、九年级全体学生都参加了此次测试， ①预估九年级学生达到优秀的约有　　人； ②如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到　　分才可以入选． 【答案】（1）八 （2）九， 理由：①九年级优秀率40%，八年级优秀率30%，说明九年级体能测试优秀人数更多； ②九年级中位数为76，八年级为72，说明九年级一半的同学测试成绩高于76，而八年级一半同学的测试成绩仅高于72． （3）①80②78 【解析】 【分析】此题考查了数据分析，熟练掌握常见的统计量是解题的关键． （1）求出八年级学生成绩的中位数，再分析小腾的成绩即可得到答案； （2）根据优秀率和中位数分别进行分析即可； （3）①总人数乘以百分比即可得到答案；根据中位数的定义进行解答即可． 【小问1详解】 解：八年级学生成绩的中位数为分； 小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，可知其中位数应该不大于74，因此他应该在八年级， 故答案为：八； 【小问2详解】 九；理由：①九年级优秀率40%，八年级优秀率30%，说明九年级体能测试优秀人数更多； ②九年级中位数为76，八年级为72，说明九年级一半的同学测试成绩高于76，而八年级一半同学的测试成绩仅高于72． 【小问3详解】 ①； ②总体中“运动达人”占，可得样本中“运动达人”有人，的有9人，而的有3人，因此再从成绩中，从大到小找出第2个为78．即中位数为78 故答案为：78． 八、（本题满分14分） 23. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转 度（），点 ，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在 上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与 重合），延长 交于点 ，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出 ，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点 、、依次共线时，最大，计算即可． 【小问1详解】 解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图： 当点 、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期八年级期末质量监测 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于 的方程是一元二次方程，则 的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 在矩形中，，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如图所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 一组数据：3，6，7，7，9，14．关于这组数据说法错误的是（ ） A. 极差是11 B. 众数是7 C. 中位数是7 D. 平均数是7 6. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某企业今年1月份的利润为200万元，2月份和3月份的利润合计为750万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为 ，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 9. 如图．在矩形中．对角线与 相交于点 ，若是的垂直平分线，且，则 的长为（ ） A. B. C. 6 D. 3 10. 如图，在正方形中，，点，分别在边 ，上，且，连接 ， 交于点，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是______． 12. 若正边形一个外角的度数为，则的值等于______． 13. 设、是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 如图，已知 是矩形的对角线，，，点，分别在边， 上，连接 ，将沿 翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在对角线 上的点，处，连接．则： （1）______． （2）______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于 的方程． （1）判断此方程根的情况； （2）若是该方程的一个根，求代数式的值． 18. 如图，四边形的顶点均在边长为1的小正方形组成的网格的格点上． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的数学兴趣小组学习了“勾股定理”之后，想测风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离 的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为20米；③牵线放风筝的同学的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果想让风筝沿 方向下降11米，则应该往回收线多少米？ 20. 如图，在四边形中，，，的角平分线交于点E，连接、，交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点E是的中点，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为40元，销售价为60元时，每天可售出20盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价1元，则平均可多售出3盒．设该种粽子每盒降价 元； （1）每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含 的代数式表示） （2）求该种粽子每盒最多降价多少元时，平均每天可盈利500元． （3）若店长希望平均每天能盈利800元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 某学校八、九年级各有学生200人，为了提高学生的身体素质，学校开展了主题为“快乐运动，健康成长”的系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格） a．八年级学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100） b．八年级学生成绩在70≤x＜80这一组的是： 70 71 73 73 73 74 76 77 78 79 c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 79 76 84 40% 根据以上信息，回答下列问题： （1）在此次测试中，小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，由此可知他是　　年级的学生（填“八”，或“九”）； （2）根据上述信息，推断　　年级学生运动状况更好，理由为　　；（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） （3）假设八、九年级全体学生都参加了此次测试， ①预估九年级学生达到优秀的约有　　人； ②如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到　　分才可以入选． 八、（本题满分14分） 23. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转 度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长 交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $