第04讲 对数与对数函数（含对数型糖水不等式的应用）（8类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

第04讲 对数与对数函数 （含对数型糖水不等式的应用） （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第6题,5分 判断对数函数的单调性 判断指数函数的单调性 根据分段函数的单调性求参数 2024年新Ⅱ卷，第8题,5分 由对数函数的单调性解不等式 函数不等式恒成立问题 2023年新I卷，第10题,5分 对数的运算性质的应用 对数函数模型的应用 对数函数的单调性解不等式 2021年新Ⅱ卷，第7题,5分 比较对数式的大小 无 2020年新I卷，第12题,5分 对数的运算 随机变量分布列的性质 2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 对数函数单调性 复合函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-6分 【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 3.熟练掌握对数函数且与指数函数且的图象关系 【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习 知识讲解 1. 对数的运算 （1） 对数的定义 如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数 （2） 对数的分类 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为，即： 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即： （3） 对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：①，② ②对数恒等式：①，②。 ③换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：❶，❷， ❸，❹ 2. 对数函数 （1） 对数函数的定义及一般形式 形如：的函数叫做对数函数 （2） 对数函数的图象和性质 图象 性质 定义域： 值域： 当时，即过定点 当时，； 当时， 当时，； 当时， 在上为增函数 （5）在上为减函数 3. 对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 考点一、对数的运算 1．（2024·重庆·三模）已知，则 ． 【答案】3 【分析】由指数式与对数式的互化关系求出，再利用对数运算性质计算即得. 【详解】由，得，所以. 故答案为：3 2．（2024·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用. 【详解】由， 所以 故选：A 3．（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的互化可得，，代入，即可计算得到的值. 【详解】因为且，易知且， 所以，， 所以，， 所以，则. 故选：D． 1．（2024·河南郑州·三模）已知，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为， 所以，可得 ， 即， 所以，即， 所以. 故答案为：. 2．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 3．（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以，则. 故选：B. 考点二、对数函数的定义域 1．（2024·河南·三模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域. 【详解】函数有意义，等价于， 解得，，故函数的定义域为. 故选：A. 1．（2023·广东珠海·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】令，解得， 故的定义域为. 故选：B 2．（2024·青海海南·二模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】∵函数， ∴，解得． 故选：D． 考点三、对数函数的图象与性质 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 【答案】A 【详解】 解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A. 2．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【分析】由函数过点，分类可解. 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 3．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论. 【详解】令时，可得， 可知函数，且的图象恒过定点， 因为定点在直线上， 可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 1．（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga（x＋）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】略 2．（2024·全国·模拟预测）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到与的等量关系，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，函数，且的图象所过定点为， 则， 所以， 当且仅当， 即时等号成立. 故答案为：16. 考点四、对数函数的单调性 1．（辽宁·高考真题）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果. 【详解】由题意，，解得：或， 即函数的定义域为：， 因为函数由与复合而成， 外函数显然单调递减， 要求的单调减区间，只需单调递增， 又是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上单调递增， 即函数的单调减区间为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，属于基础题型. 2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：B 3．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 4．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 1．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将可看作由复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式，即可求得答案. 【详解】设，则可看作由复合而成， 由于在上单调递增， 故要使得函数在区间上单调递减， 需满足在区间上恒成立，且在区间上单调递减， 故，解得， 故a的取值范围为， 故答案为： 2．（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，确定由复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数， 令，则， 则即由复合而成， 由于在上单调递减， 故要求函数的单调递减区间， 即求的单调递增区间， 而的对称轴为， 则的单调递增区间为， 则函数的单调递减区间为， 故答案为： 3．（23-24高三上·甘肃白银·阶段练习）已知是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 考点五、对数函数的值域与最值 1．（山东·高考真题）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质求得，再由对数函数的性质可得结果. 【详解】， ， ， ∴函数的值域为. 故选：A 【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题. 2．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知函数的值域为，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的取值范围转化为定义域的问题，对参数是否为0进行分类讨论，即可求出的取值范围 【详解】解：由题意 在中，值域为 当时，， ∴解得： 当时， 则解得 综上， 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案. 【详解】由题意，知在上单调递减，在上单调递减， 故在上单调递减， 则当时该函数取到最大值， 故答案为： 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】 利用函数的单调性可求函数的值域. 【详解】函数为增函数，故其值域为. 故答案为： 2．（2023高一·全国·课后作业）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用换元法，令，则，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域即可 【详解】令，则， 因为， 所以的值域为， 因为在是减函数， 所以， 所以的值域为， 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，进而求出的范围，利用换元法结合二次函数求函数的值域. 【详解】因为已知函数的定义域为 且，定义域需满足， 可得， 令，则， 则， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增， 当时，；当时，； 可知函数的值域为. 故答案为：. 考点六、对数函数中奇偶性的应用 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则 . 【答案】1 【分析】先求出函数的定义域，然后由奇函数的性质得可求出. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为， 因为为奇函数， 所以，解得， 故答案为：1 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【答案】A 【分析】先分析函数的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出在上的最小值，由此可知结果. 【详解】设， 因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称， 又 ， 所以是奇函数， 因为在上有最大值，所以在上有最大值为， 所以在上有最小值，所以在上有最小值． 故选：A． 3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由题意，推出是奇函数，根据定义域的对称性依次求得的值，即可求得；方法二：直接利用，将其化成，再由等式恒成立得到，继而求得. 【详解】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数， 因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义， 即，解得 此时为奇函数，则 解得故. 故选：C． 方法二：依题意恒成立，代入得 化简得，, 整理得：， 即(*)， 依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得， 回代(*)可得，，即，故. 故选：C. 1．（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】 构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果. 【详解】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续， 根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称， 则，故. 故答案为： 2．（2024·宁夏银川·二模）若是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到，即可求出的值，求出函数的定义域，再由奇函数的性质，求出的值，即可得到结果. 【详解】因为是奇函数， 定义域关于原点对称， 由,可得， 所以且， 所以，解得， 所以函数的定义域为， 则，即，解得， 此时， 符合题意， 所以. 故答案为：. 考点七、对数函数值的大小比较（含构造函数比较大小） 1．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 2．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，故. 故答案为：C. 3．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 4．（2021·全国·高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 1．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 2．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】，即. 故选：C. 3．（2024·全国·模拟预测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用指对数运算法则得到，，，从而利用对数函数的性质分析判断得，，从而得解. 【详解】， ，， 因为，则， 所以，即； 而，，所以， 所以，即； 综上：. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用与比较大小，利用与比较大小，从而得解. 4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数、指数、幂的大小比较，结合构造函数法以及导数判断出的大小关系. 【详解】，所以； 因为，， 即，所以； 设，则， 所以当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以，即，当且仅当时等号成立， 同理，即，所以当且仅当时等号成立， 故，所以，从而， 综上．． 故选：B. 【点睛】方法点睛：要比较指数、幂、对数的大小，可以考虑利用“分段法”来进行求解，即要比较的大小关系，可以根据的结构，找到两个数，使得（不妨设），从而判断出的大小关系. 5．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得、，构造函数、，利用导数讨论两个函数的单调性可得、，即可求解. 【详解】， ， 设函数， 则， 设，则， 所以在上单调递减，且，即， 所以在上单调递减， 则，即，所以. 设，则， 所以在上单调递增，且， 即， 得，所以，即，解得. 综上，. 故选：B 【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小. 考点八、对数型糖水不等式的应用 1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【法一】对数型糖水不等式 因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 【法二】普通型糖水不等式 由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 选 A. 1. 比较大小: 与 ？ 【答案】 【法一】 。 【法二】 。 【法三】对数型糖水不等式直接可得 2．（2024·重庆·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数函数的性质知， ， ， 所以，，； 当时，， 所以 ， 取，则， 所以 ，即， 综上，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：. 一、单选题 1．（2024·河北衡水·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，可求. 【详解】， 又，故， 故选：B． 2．（2024·贵州贵阳·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性得到，利用指对运算和指数函数单调性得到，利用对数函数单调性得到，则比较出大小. 【详解】因为，且，则， ， 所以， 故选：A. 3．（2024·天津滨海新·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断a，b，c与0和1的大小关系即可得到答案． 【详解】， ， ，则, 故. 故选：C. 4．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出，根据为上的奇函数，得到. 【详解】， 因为为上的奇函数，所以. 故选：A 5．（2024·河北沧州·模拟预测）直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性及得，代入化解即可. 【详解】由题意可知，定义域为， 函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递减， 则， 所以， 解得， 所以. 故选：B. 6．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数. 【详解】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6. 故选：D 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得. 【详解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数， 所以，，又由函数为定义在上的奇函数，则，， 当时，，则，则， 所以， 故选：B． 二、填空题 8．（2024·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义得，代入化简即得值. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 即，即，所以， 故答案为： 9．（2024·吉林·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设，则，利用复合函数的单调性，可得在上为减函数，且恒成立，结合一次函数的性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设，则，若函数在上单调递减， 利用复合函数的单调性，可得在上为减函数且恒成立， 即，解得，即a的取值范围为． 故答案为：． 10．（2024·四川成都·三模）函数的图象过原点，且，若，则 . 【答案】 【分析】由对数运算性质以及奇函数的性质运算即可得解. 【详解】由题意，所以，所以的定义域为， 且，且， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数的单调性分析得在上单调递减，根据单调性即可得到答案. 【详解】设，易知函数是增函数， 因为在区间上单调递减， 所以由复合函数单调性可知，在上单调递减. 因为函数在上单调递减， 所以，即. 故选：D. 2．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是奇函数求出的值，再求出的定义域即可求出的取值范围. 【详解】， ，即，即， ，， 是定义在区间上的奇函数， ，即， ，解得（舍）或， 的定义域为，. 故选：D. 3．（2024·河北·三模）已知，，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等价变形已知条件，，构造两个函数，利用求导判断单调性即可求解. 【详解】设， 因为，，， 所以 即， ， 显然在上单调递减， ，所以在上单调递减， 所以，即， 又，当时，，所以在上单调递增， 所以, 故选：B. 4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可. 【详解】，所以，即为偶函数， 对函数，，则， 因为，所以，，所以，故在上恒成立. 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增. 所以， 所以，解得或． 故选：B 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线放缩公式：比较，再由三角函数单调性，比较. 【详解】由知，∵，∴.知. 故选：B. 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解. 【详解】根据题意，当时，，可得在上递增， 要使得函数 是上的单调函数， 则满足，且，解可得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 7．（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 故 所以， 故或（舍去）， 故选：D 8．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得，利用指对数函数的单调性，通过构造函数判断单调性可推得，最后利用正切函数的单调性可得. 【详解】由可得 因， 又，故,即； 因，则由， 由函数，，因时，， 即函数在上单调递减，则有，故得； 由，而，即， 综上，则有. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法， （1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断； （2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较； （3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断. 二、多选题 9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，当时讨论推理即可．对于B，举反例即可．对于C，D，分两种情况讨论：和时，利用对数的运算性质，推理判断出每个的真假． 【详解】对于A，若，且，只能，有， 则，，所以，故A正确； 对于B，举反例：当时， 则，， 此时，故B不正确； 对于C，易知，且．若，且，则有： （ⅰ）当时，有， 则，， 且，所以； （ⅱ）当时，， 且，则． 综上所述：，故C正确； 对于D，若，则．若，且，分类讨论． （ⅰ）当时，有， 从而，， 则； （ⅱ）当时，则，， 因为， 则，从而． 综合所述：，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点根据题意，且，根据相应的选项特征分类讨论，进而分析判断即可. 三、填空题 10．（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为，（且）， 所以函数（且）的图象恒过定点， 所以， 所以， ，，当且仅当，即等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 1．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 2．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 3．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 4．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 5．（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：B 6．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 7．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 8．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】，， . 故选：C. 9．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 10．（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 对数与对数函数 （含对数型糖水不等式的应用） （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第6题,5分 判断对数函数的单调性 判断指数函数的单调性 根据分段函数的单调性求参数 2024年新Ⅱ卷，第8题,5分 由对数函数的单调性解不等式 函数不等式恒成立问题 2023年新I卷，第10题,5分 对数的运算性质的应用 对数函数模型的应用 对数函数的单调性解不等式 2021年新Ⅱ卷，第7题,5分 比较对数式的大小 无 2020年新I卷，第12题,5分 对数的运算 随机变量分布列的性质 2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 对数函数单调性 复合函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-6分 【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 3.熟练掌握对数函数且与指数函数且的图象关系 【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习 知识讲解 1. 对数的运算 （1） 对数的定义 如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数 （2） 对数的分类 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为，即： 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即： （3） 对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：①，② ②对数恒等式：①，②。 ③换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：❶，❷， ❸，❹ 2. 对数函数 （1） 对数函数的定义及一般形式 形如：的函数叫做对数函数 （2） 对数函数的图象和性质 图象 性质 定义域： 值域： 当时，即过定点 当时，； 当时， 当时，； 当时， 在上为增函数 （5）在上为减函数 3. 对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 考点一、对数的运算 1．（2024·重庆·三模）已知，则 ． 2．（2024·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 1．（2024·河南郑州·三模）已知，则的值为 ． 2．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 3．（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（    ） A． B． C． D．1 考点二、对数函数的定义域 1．（2024·河南·三模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·广东珠海·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·青海海南·二模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点三、对数函数的图象与性质 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 2．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 3．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 1．（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga（x＋）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   2．（2024·全国·模拟预测）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为 . 考点四、对数函数的单调性 1．（辽宁·高考真题）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 ． 2．（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 3．（23-24高三上·甘肃白银·阶段练习）已知是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为 ． 考点五、对数函数的值域与最值 1．（山东·高考真题）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知函数的值域为，那么的取值范围是 . 3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数的最大值为 . 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 2．（2023高一·全国·课后作业）函数的值域是 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 ． 考点六、对数函数中奇偶性的应用 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则 . 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 1．（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 2．（2024·宁夏银川·二模）若是奇函数，则 ． 考点七、对数函数值的大小比较（含构造函数比较大小） 1．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国·高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 1．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考点八、对数型糖水不等式的应用 1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 1. 比较大小: 与 ？ 2．（2024·重庆·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·河北衡水·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津滨海新·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北沧州·模拟预测）直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（　　） A．1 B． C． D． 二、填空题 8．（2024·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 9．（2024·吉林·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 10．（2024·四川成都·三模）函数的图象过原点，且，若，则 . 一、单选题 1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·三模）已知，，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 8．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 1．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 2．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 3．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 4．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 6．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 7．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 8．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 9．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 10．（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$