第03讲 指数与指数函数（5类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

第03讲 指数与指数函数 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第6题,5分 判断指数函数的单调性 判断对数函数的单调性 根据分段函数的单调性求参数 2023年新I卷，第4题,5分 指数型复合函数单调性 二次函数单调性 2022年新I卷，第7题,5分 比较指数幂的大小 用导数判断或证明已知函数的单调性 比较对数式的大小 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点 4.能结合指数函数比较指数式大小 【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考 知识讲解 1. 指数的基本知识 （1） 根式的基本性质 ①的定义域为,的定义域为 ②，定义域为 ③，定义域为 ④，定义域为 ⑤，定义域为 （2） 指数的基本性质 ①零指数幂:; ②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; ④负分数指数幂: （3） 指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 2. 指数函数 （1） 指数函数的定义及一般形式 一般地，函数，叫做指数函数 （2） 指数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性质 过定点 当时，； 时, 当时，； 时, 在上是增函数 在上是减函数 考点一、指数与指数幂的运算 1．（2023·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D．3 2．（2024·广东·模拟预测）若，则 ． 3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 2．（2023·山东·模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 3．（2023·四川宜宾·一模）计算: . 考点二、指数函数的图象及其应用 1．（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 2．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C．     D．     3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 1．（22-23高二下·四川绵阳·期末）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．   B．     C．   D．   3．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 考点三、指数（型）函数的单调性 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点四、指数（型）函数的值域与最值 1．（23-24高三·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ． 2．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 2．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五、指数值的大小比较（含构造函数比较大小） 1．（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·一模）设则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·陕西渭南·二模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，则函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 二、填空题 8．（2024·山东济宁·三模）已知函数，则 . 9．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式 ． ①；②的值域为． 10．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 ． 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．0 3．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 5．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．当时，为奇函数 D．当时， 三、填空题 8．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 9．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 10．（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 1．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 6．（上海·高考真题）方程的解为 . 7．（福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．（山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 指数与指数函数 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第6题,5分 判断指数函数的单调性 判断对数函数的单调性 根据分段函数的单调性求参数 2023年新I卷，第4题,5分 指数型复合函数单调性 二次函数单调性 2022年新I卷，第7题,5分 比较指数幂的大小 用导数判断或证明已知函数的单调性 比较对数式的大小 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点 4.能结合指数函数比较指数式大小 【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考 知识讲解 1. 指数的基本知识 （1） 根式的基本性质 ①的定义域为,的定义域为 ②，定义域为 ③，定义域为 ④，定义域为 ⑤，定义域为 （2） 指数的基本性质 ①零指数幂:; ②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; ④负分数指数幂: （3） 指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 2. 指数函数 （1） 指数函数的定义及一般形式 一般地，函数，叫做指数函数 （2） 指数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性质 过定点 当时，； 时, 当时，； 时, 在上是增函数 在上是减函数 考点一、指数与指数幂的运算 1．（2023·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】． 故选：A． 2．（2024·广东·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】 分和两种情况分类计算. 【详解】当时，， 当时，. 故答案为： 3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 1．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 2．（2023·山东·模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 【答案】D 【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可. 【详解】解：因为， 所以. 故选：D． 3．（2023·四川宜宾·一模）计算: . 【答案】 【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解. 【详解】由题意可得： ， 即. 故答案为：. 考点二、指数函数的图象及其应用 1．（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 【答案】C 【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数与，如果它们的图象关于原点对称，即在定义域内恒成立，则称与为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论. 【详解】令函数， 所以 即，所以函数与的的图象关于原点对称， 即函数与的图象的的图象关于原点对称， 故选：C. 2．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C．     D．     【答案】AD 【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可. 【详解】由于当时，，排除B，C， 当时，，此时函数图象对应的图形可能为A， 当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D. 故选：AD. 3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【答案】A 【分析】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即 【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令， 则，显然，所以， 构造函数与函数，则方程的根， 可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点， 设为，所以，， 即， 另外发现，将代入，可得， 所以也是函数的零点，说明，即. 故选:A. 1．（22-23高二下·四川绵阳·期末）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】利用函数图象的平移变换可得出结论. 【详解】因为，， 所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位， 故选：D. 2．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】AC 【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论． 【详解】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C. 故选：AC. 3．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得且，求出a，即可求解. 【详解】因为函数图象过原点，所以， 得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交， 所以，则， 所以. 故选：C 考点三、指数（型）函数的单调性 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】C 【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，即可判断为奇函数，又，可得图象的对称中心为，则，再判断的单调性，不等式，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】设，，则，所以为奇函数． 又， 则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的， 所以图象的对称中心为，所以． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 因为， 所以，所以，解得， 故满足的的取值范围为． 故选：B 4．（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果. 【详解】因为函数是减函数，所以． 又因为函数5）图像的对称轴是直线， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是． 故选:B． 1．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】令，则， 由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间为函数的单调递减区间， 又函数， 即函数为偶函数， 结合图象，如图所示， 可知函数的单调递减区间为和， 即的单调递减区间为和． 故选：C． 2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 所以在区间单调递减，所以，解得． 故选：D． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】ABD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确； ，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：ABD 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】，易知在单调递减， 在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减， 由，则，解得, 故不等式的解集为. 故选：A 考点四、指数（型）函数的值域与最值 1．（23-24高三·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域. 【详解】令，解得或， ∴的定义域为， 令，则其在上递减，在上递增， 又为减函数，故的增区间为． ∵，∴，故的值域为． 故答案为：，. 2．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案． 【详解】由题意，令，，，， 当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，即，解得， 这与矛盾； 当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2； 则实数的取值范围为或． 故答案为：或． 3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果. 【详解】当时，，符合题意； 当时，因为函数的值域为满足， 由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即， 若时，不符合题意； 综上：， 故选：B. 1．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 【答案】16 【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解. 【详解】由，而， 因为单调递增，所以，则的最大值是16. 故答案为：16 2．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 3．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】①若， 当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，则解得； ②若， 当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，不合题意； ③当时，， 若，有（当且仅当时取等号）符合题意， 综上所述：. 故选：D. 考点五、指数值的大小比较（含构造函数比较大小） 1．（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中间数比较与，根据中间数比较与. 【详解】因为，， 所以，因为，， 所以，所以. 故选：D. 2．（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，得到，利用函数的单调性，即可得到，而，即可求出结果. 【详解】因为，得到，又，函数是减函数， 所以，又，得到， 所以， 故选：A. 3．（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，应用导数得其单调性，可判断，再结合指数函数的单调性即可判断. 【详解】根据题意，构造函数，则， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此可得，即， 所以， 又指数函数为单调递增，可得，即， 因为，所以. 故选：A. 1．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案. 【详解】因为指数函数是单调减函数，所以， 又由幂函数在上单调增函数，所以， 又因为指数函数是单调增函数，所以， 综上可得：， 故选：D. 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 3．（2024·辽宁·一模）设则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数证明不等式，可得；根据不等式的性质可证得，则，即可求解. 【详解】对于函数，， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即. 所以，. 由，得，所以，则， 所以，即. 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法： （1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断， （2）利用中间值“1”或“0”进行比较， （3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断. 一、单选题 1．（2024·陕西渭南·二模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数值域化简集合，再利用并集的定义求解即得. 【详解】当时，，则，而， 所以. 故选：C 2．（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】构造函数，根据函数单调性得到，故. 【详解】构造函数，则在上单调递增， 所以． 故选：C． 3．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，则函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解. 【详解】因为函数为偶函数，所以，解得， 所以函数，其增区间为. 故选：B． 5．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围. 【详解】设，，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4. 故选： 6．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即，. 即. 故选：C 7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】由函数的图象关于对称得零点关于对称，但的零点个数为奇数个可得答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以的图象关于对称， 令，则， 可得函数的图象关于对称， 所以函数的图象关于对称， 则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个， 则. 故选：D. 二、填空题 8．（2024·山东济宁·三模）已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：. 9．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式 ． ①；②的值域为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据指数函数的值域和指数运算即可得到答案. 【详解】对于任意指数函数函数且, 条件①，对于任意，都有， 条件②，是指数函数，所以的值域为， 例如：函数为指数函数，满足条件①②. 故答案为：（答案不唯一）. 10．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，推得，为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解． 【详解】命题“，”为假命题， 则，为真命题，又 则， 故实数的取值范围为． 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【详解】由对称中心性质可知函数满足， 即， 整理可得，即， 解得. 故选：C 2．（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以， 解得， 又， 所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数， 因为， 所以，故. 故选：B 3．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性判断，根据基本不等式判断，根据指数的运算判断. 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确. 故选：C. 4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 5．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可. 【详解】由题意知， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以，即，所以，即，所以， 又，又，所以， 所以，所以． 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断. 6．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小. 【详解】令，求导得， 当时，，则在上单调递减， 则，即，而，于是， 所以. 故选：D 二、多选题 7．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．当时，为奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A，再分、分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B，根据奇偶性判断C，根据指数幂的运算判断D. 【详解】对于函数，令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 因为，当时，所以， 当时，所以， 综上可得的值域为，故B错误； 当时，则， 所以为奇函数，故C正确； 当时，则， 故D正确. 故选：ACD 三、填空题 8．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解. 【详解】若命题任意“，”为假命题， 则命题存在，为真命题， 因为时，， 令，则， 则在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 9．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值. 【详解】当时，，即， 当时，，即， 于是，在上，都成立，即为偶函数. 由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 因此，不等式等价于， 即，解得. 故m的最大值为. 故答案为：. 10．（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解. 【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增， ，解得. 故答案为：4（答案不唯一）. 1．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 4．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 6．（上海·高考真题）方程的解为 . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质，化简得到，得出方程，即可求解. 【详解】由，可得，解得. 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 7．（福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负. 【详解】由图象可知，函数为减函数， 从而有； 法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标， 令，得， 由，即，解得 . 法二：函数图象可看作是由向左平移得到的， 则，即. 故选：D. 8．（山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当时，，所以在上递减， 是偶函数，所以在上递增. 注意到， 所以B选项符合. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$