第02讲 幂函数与二次函数（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

第02讲 幂函数与二次函数 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第1题,5分 解三次不等式 交集的概念及计算 2023年新I卷，第1题,5分 二次函数图象解不等式 集合间的基本运算 2023年新I卷，第4题,5分 二次函数单调区间求参数值或范围 函数的单调性求参数值 判断指数型复合函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质 2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等) 3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性 4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式 【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考 知识讲解 1. 幂函数 （1） 幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 （2） 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 2. 一元二次方程： ①方程有两个实数根 ②方程有同号两根 ③方程有异号两根 ④韦达定理及应用： , 3. 二次函数 ①一般式：()，对称轴是 顶点是； ②顶点式：()，对称轴是顶点是； ③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 4. 二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 5. 解一元二次不等式 “三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ 6. 解分式不等式 ① ② ③ ④ 7. 解单绝对值不等式 或， 考点一、幂函数的图象 1．（23-24高三·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2023高三·山西运城·学业考试）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高三·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高三·阶段练习）（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（22-23高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 考点二、幂函数的单调性与奇偶性 1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 3．（23-24高二下·浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（1993·全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是 A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 2．（2024·全国·模拟预测）（多选）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 考点三、利用幂函数单调性进行大小比较 1．（安徽·高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 2．（2023·广东广州·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·福建三明·三模）若 ，则（   ） A． B． C． D． 2．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点四、幂函数的综合应用 1．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ． 2．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 1．（2024·云南曲靖·一模）如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 ．    2．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： ． ①的定义域为；②，；③，都有． 考点五、解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式 1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 2．（全国·高考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·福建福州·一模）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 2．（2024·全国·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 考点六、二次函数的综合应用 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 4．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 5．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 一、单选题 1．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广西·二模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（    ） A． B．3 C． D．1 8．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·新疆喀什·二模）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 一、单选题 1．（2023·四川成都·模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 2．（2024·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ） A．16 B．24 C．32 D．48 3．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知实数满足，则（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 二、填空题 4．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ． 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 6．（22-23高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 7．（2022高三·全国·专题练习）不等式的解集为： ． 8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意的，使得，求实数的取值范围是 ． 10．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 4．（全国·高考真题）函数的图象是 A．       B．   C．   D．   5．（山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 6．（全国·高考真题）函数是单调函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（全国·高考真题）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（上海·高考真题）若，则满足的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 幂函数与二次函数 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第1题,5分 解三次不等式 交集的概念及计算 2023年新I卷，第1题,5分 二次函数图象解不等式 集合间的基本运算 2023年新I卷，第4题,5分 二次函数单调区间求参数值或范围 函数的单调性求参数值 判断指数型复合函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质 2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等) 3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性 4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式 【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考 知识讲解 1. 幂函数 （1） 幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 （2） 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 2. 一元二次方程： ①方程有两个实数根 ②方程有同号两根 ③方程有异号两根 ④韦达定理及应用： , 3. 二次函数 ①一般式：()，对称轴是 顶点是； ②顶点式：()，对称轴是顶点是； ③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 4. 二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 5. 解一元二次不等式 “三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ 6. 解分式不等式 ① ② ③ ④ 7. 解单绝对值不等式 或， 考点一、幂函数的图象 1．（23-24高三·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】 根据幂函数经过的点得表达式，进而根据幂函数的性质即可结合选项求解. 【详解】 设幂函数的解析式为 由幂函数的图象过点，解得 ，其定义域为，且是增函数， 当时，其图象在直线的上方，故 C满足题意. 故选：C 2．（2023高三·山西运城·学业考试）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作直线分别与曲线相交，结合函数的单调性即可判断. 【详解】因为函数为增函数，所以， 所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为， 由图可知，曲线相应n值为. 故选：A    3．（23-24高三·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象得出的正负，结合幂函数特点可得答案. 【详解】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合； 对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合； 对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 故选：B. 1．（23-24高三·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】设幂函数为，然后将坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象. 【详解】设幂函数为，则，，得，得， 所以，定义域为，所以排除AD， 因为，所以函数为偶函数，所以排除B， 故选：C 2．（23-24高三·阶段练习）（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AB 【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可. 【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误； 当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则， 所以，C选项错误； 因为当时，指数越大，图象越高，所以， 综上，，AB选项正确. 故选：AB 3．（22-23高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案. 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 故选：C 考点二、幂函数的单调性与奇偶性 1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A． 考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． 2．（2023·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【答案】B 【分析】 根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案. 【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增， 故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数. 故选：B 3．（23-24高二下·浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解. 【详解】因为幂函数，在区间上是减函数， 所以，解得：， 因为，得， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 所以. 故选：A 1．（1993·全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是 A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【答案】A 【详解】 考查幂函数. ∵>0，根据幂函数的图象与性质 可得在[−1,1]上的单调增函数，是奇函数． 故选A. 点睛：对于形如的幂函数，研究函数性质时，可以将函数化简为，可知定义域及函数奇偶性，幂函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论. 2．（2024·全国·模拟预测）（多选）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解. 【详解】对于A，是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确； 对于B，是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误； 对于C，，故在其定义域上不单调递减，故C错误； 对于D，是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误. 故选：AD. 3．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 考点三、利用幂函数单调性进行大小比较 1．（安徽·高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【答案】A 【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A 考点：函数的单调性. 2．（2023·广东广州·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案． 【详解】由，，， 则，， 又，， 则，即， 所以． 故选：D． 1．（2024·福建三明·三模）若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性可判断的大小，利用对数函数的单调性判断a的范围，即可得答案. 【详解】由题意得， 由于在上单调递增，故； 而在上单调递减，故， 故， 故选：A 2．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断. 【详解】因为， 且， 在上递增， 所以，即， 综上： 故选：A 考点四、幂函数的综合应用 1．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案. 【详解】由题意可知的定义域为，且在上为增函数； 下面证明该函数满足③： 取任意的，， ， 则， 当且仅当时取等号， 即，即满足③， 故答案为： 2．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】令，，易得为奇函数且为增函数，再由和，变形得到，求解． 【详解】解：令，，则， ∴为奇函数． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 又∵在R上单调递增， ∴，即． 故选：B． 1．（2024·云南曲靖·一模）如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据指对幂函数的图象及解析式求出A点的横坐标、点纵坐标，即可得D点的坐标. 【详解】由题意，纵坐标都为2，则点横坐标为8，即点横坐标为8， 所以A点的横坐标为，点纵坐标为， 由为矩形及题图知：D点的坐标是. 故答案为： 2．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： ． ①的定义域为；②，；③，都有． 【答案】（答案不唯一，形如，p，q为奇数，且均可） 【分析】根据题意函数需分别满足题中①②③的条件，且答案不唯一. 【详解】由③知(不妨取时)， 所以函数在上是增函数，函数在上是减函数， 又由①②，函数为奇函数且定义域为， 所以可取幂函数． 故答案为：（答案不唯一，形如，，为奇数，且均可）. 考点五、解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式 1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 2．（全国·高考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式不等式转化成整式不等式求解即可. 【详解】由，解得或. 故选：C 3．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 1．（2024·福建福州·一模）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集运算即可. 【详解】，则，且，解得， 则集合， 则 故选：B. 2．（2024·全国·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由定义求交集. 【详解】不等式，即，当时，不等式解集为，即， 不等式，解得或，即或， 所以. 故选：A 3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】先因式分解，然后分和求解即可. 【详解】， 当时，不等式显然不成立； 当时，，所以原不等式， 解得. 综上，原不等式的解集为. 故选：C 考点六、二次函数的综合应用 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解. 【详解】令， 则或或或 解得或， 即实数m得取值范围为. 故选：C． 3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 5．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可. 【详解】因为，令，所以； 令函数的值域为，因为， 所以，所以必须能取到上的所有值， ，解得. 故选：B 1．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围. 【详解】设，，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4. 故选： 2．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围. 【详解】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是. 故选：A． 3．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 【答案】BD 【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案. 【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或； ②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调， 则，或，或，或 解得：，或， 综上：或； 故选：BD 4．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，可得； 若，，函数的值域不可能为； ②当时，， 所以函数在 ，上单调递增， 若函数的值域为，只需，可得． 由上知，实数a的取值范围为． 故答案为： 5．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【详解】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案. 【详解】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为； 故选：B 2．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以由推得出，故充分性成立； 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分，，讨论函数的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案. 【详解】对于函数 当时，，为常数函数， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件. 故选：A. 4．（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据幂函数的性质判断C. 【详解】对于A：当、，满足，但是，故A错误； 对于B：当、，满足，但是，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递增，若，则，故C正确 对于D：当、，满足，但是，故D错误. 故选：C 5．（2024·广西·二模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域及单调性，综合即可得答案. 【详解】对于A，，其定义域为，不符合题意； 对于B，，在上为减函数，不符合题意； 对于C，，在上单调递减，不符合题意； 对于D，，在上单调递增，符合题意； 故选：D. 6．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】因为， ， 所以． 故选：D． 7．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】求出二次函数的单调递增区间，利用相等集合列式求解即得. 【详解】函数的单调递增区间是， 因此，即，解得， 所以实数a的值是. 故选：C 8．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以， 由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为. 故选：A 9．（2024·新疆喀什·二模）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先结合幂函数和对数函数的性质得到函数为单调递增函数，则得到，解出即可. 【详解】当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递增，且， 则时，单调递增， 若有，则有，解得， 故选：A. 二、填空题 10．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为函数在区间上是增函数，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 一、单选题 1．（2023·四川成都·模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A； 当时，在区间上单调递减，满足题意. 函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B； 因为函数定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 2．（2024·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ） A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若、和在上单调递增，则有个； 综上所述：共有个. 故选：B. 【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧 （1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． （2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 3．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知实数满足，则（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得，，且，构造函数，则为单调递增的奇函数，可得，从而求解. 【详解】， ，且， 令函数，因为其定义域为，且，且在上均单调递增， 则为单调递增的奇函数， 且， ，即， 显然. 故选：A. 二、填空题 4．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ． 【答案】（不唯一） 【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解. 【详解】因为在上单调递增，又在区间上单调递减， 所以可以为偶函数，不妨取， 此时，函数定义域为， 且，故为偶函数， 满足在区间上单调递减. 故答案为：（不唯一） 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得命题：，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，即可得到答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是 故答案为： 6．（22-23高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解. 【详解】由幂函数， 可得函数的定义域为，且是递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 7．（2022高三·全国·专题练习）不等式的解集为： ． 【答案】 【分析】不等式变形为，即，构造函数，判断出函数得单调性，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】不等式变形为， 所以， 令，则有， 因为函数在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 则，解得， 故不等式的解集为． 故答案为：. 8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意的，使得，求实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用换元法结合三点控制法求解即可. 【详解】令，则， 取三点控制得，进而， 化简得，可得， 即，解得． 故答案为： 10．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，故. 故答案为：C. 4．（全国·高考真题）函数的图象是 A．       B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），，再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案． 【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D； 由特殊点（8，2），，可排除C． 故选B． 5．（山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可. 【详解】，最大值是1，A正确； 对称轴是直线，B正确； 单调递减区间是，故C错误； 令的，故在函数图象上，故D正确， 故选：C 6．（全国·高考真题）函数是单调函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为函数在上单调递增，且在上是单调函数，比较即可求解参数范围． 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上是单调函数，所以，解得， 故选：A 7．（全国·高考真题）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别讨论两个函数的单调性，是二次函数，由对称轴可得，，只要在上一定递减，两者结合可得． 【详解】对于，开口向下，对称轴为 若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：； 对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像： 此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是. 故选：D． 【点睛】本题考查函数的单调性，掌握二次函数与反比例函数的单调性是解题关键． 二、填空题 8．（上海·高考真题）若，则满足的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为. 【考点】幂函数的性质. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$