暑假预习专题01 直线的斜率与倾斜角（6大题型）-2024年暑假数学高一升高二题型专练复习+新课预习（苏教版2019）

专题01 直线的斜率与倾斜角（6大题型） 新课知识点剖析与归纳 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角． (2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0. (3)倾斜角α的范围为[0，π)． 2．直线的倾斜角与斜率 一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°. (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°. (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝. 高频考点题型预习归纳 【题型1 直线的斜率】 【题型2 直线的倾斜角】 【题型3 斜率与倾斜角的关系】 【题型4 利用斜率解决三点共线】 【题型5 利用斜率解决直线与线段交点】 【题型6 利用斜率模型最值范围问题】 专项练 【题型1 直线的斜率】 【典例1】如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】B 【解析】设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得到点A ′(a－2，b＋2)， 于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1. 故选：B 【题型训练1】 1.若过点(－2，－m)和点(m,4)的直线的斜率等于－1，则实数m的值是(　　) A．1　 B．－3　 C．3　 D．－1 【答案】B 【解析】由题意得＝－1，解得m＝－3 故选：B 2．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－1,0]　 B．[0,1]　 C．[1,2]　 D．[0,2] 【答案】D 【解析】由图可知当直线位于如图所示的阴影区域内(包括边界)时满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2　 故选：D 3．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为________． 【答案】或－ 【解析】设直线AB与x轴的交点为C，(图略) 则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°， 或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°. 所以kAB＝tan 30°＝或kAB＝tan 120°＝－. 4. 已知直线l经过点A(1,2)和点B(a,3)，求直线l的斜率 ①当a＝1时，直线l的斜率不存在； ②当a≠1时，直线l的斜率为 故答案为：或－ 【题型2 直线的倾斜角】 【典例2】若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【答案】A 【解析】∵过点和的直线的倾斜角为钝角 ∴直线的斜率小于0，即. ∴ ∴ 故选A. 【题型训练2】 1.已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为. 故选：C. 2．已知点，点，则直线的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．135° 【答案】B 【解析】设直线的斜率为k,则.令直线的倾斜角为，则，，. 故选：B 3．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) 【答案】AC 【解析】任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确． D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误． 故选：AC 4.已知点A（2，-1），B（3，m），若，则直线AB的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【解析】设直线AB的倾斜角为α， ∵点A（2，-1），B（3，m）， ∴直线AB的斜率， 又∵， ∴， 即k的取值范围为， 即， 又∵α∈[0，π）， ∴， 故答案为： 【题型3斜率与倾斜角的关系】 【典例3】已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为(　　) A． B． C． D．不存在 【答案】C 【解析】由直线的斜率为，设其倾斜角为，则， 由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则， ，，解得或，由倾斜角的取值范围为，则， 故直线的斜率为. 故选：C. 【题型训练3】 1.已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增， 又，，故的取值范围是. 故选：C 2．(多选)已知直线斜率的绝对值为，则直线的倾斜角可以为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】BC 【解析】由题意得直线的斜率为或－，故直线的倾斜角为60°或120°. 故选：BC 3．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，其中，可得， 因为，即， 结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角． 故选：A. 4.已知经过点A(m,2)，B(－m,2m－1)(m≠0)的直线的倾斜角α的取值范围是(45°，60°)，试求实数m的取值范围． 【答案】<m< 【解析】因为y＝tanα在(45°，60°)上单调递增，所以1<tanα＝<，从而或解得<m<. 综上，实数m的取值范围为<m<. 【题型4 利用斜率解决三点共线】 【典例4】若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为________． 【答案】 【解析】设直线AB，BC的斜率分别为kAB·kBC，则由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2)． ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 即－1＝－(m－2)，解得m＝. 故答案为： 【题型训练4】 1.若A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)三点在同一条直线上，则实数b的值为(　　) A．2　 B．3　 C．9　 D．－9 【答案】C 【解析】由题意得＝，解得b＝－9 故选：C. 2．若A(－2,3)，B(3,2)，C三点不能构成三角形，则实数m的值为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 【答案】C 【解析】因为A，B，C三点不能构成三角形 所以A(－2,3)，B(3,2)，C三点共线， 所以kAB＝kAC， 即＝， 所以－＝，解得m＝. 故选：C. 3．已知A(－1,1)，B(x,2)，C(－2，y)是斜率为1的直线上的三点，则x＋y＝________. 【答案】0 【解析】由题意得＝＝1，解得x＝0，y＝0，所以x＋y＝0 故答案为：0 4. 若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：＋＝ 【答案】证明见解析 【解析】由题意得≠，解得m≠－3　11.因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC.又因为kAB＝，kAC＝，所以＝，从而ab＝2a＋2b，所以2＝1，从而＋＝　 【题型5 利用斜率解决直线与线段交点】 1． 【典例5】已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点作，垂足为点，如图所示： 设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，， 当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大， 此时； 当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 【题型训练4】 1.(多选）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取(　　) A．－8 B．－5 C．3 D．4 【答案】AD 【解析】由于直线l过点且斜率为k，与连接两点，的线段有公共点，则，，由图可知， 时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合． 故选：AD． 2．(多选)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率可能是(　　) A．－2　 B．　 C．1　 D． 【答案】ACD 【解析】由题意得kAP＝＝1，kBP＝＝－.由图可知直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)， 故选:ACD 3.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是________. 【答案】 【解析】∵kAP＝＝2，kBP＝＝，如图， ∵直线l与线段AB始终没有交点， ∴斜率k的取值范围是 故答案为： 4.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1);(2). 【解析】(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 【题型6 利用斜率模型最值范围问题】 【典例6】已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，则的取值范围________． 【答案】 【解析】的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率． 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，且A，B， 又kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是 故答案为： 【题型训练4】 1.已知函数f(x)＝log3(x＋2)，若a>b>c>0，则，，的大小关系为(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 【答案】B 【解析】作出函数f(x)＝log3(x＋2)的大致图象，如图所示． 由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以<<. 故选:B 2．已知点M(x，y)在直线l：y＝－x＋上，当x∈[－2,3]时，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】作出函数f(x)＝log3(x＋2)的大致图象，如图所示． ＝的几何意义是过点M(x，y)，N(0，－2)的直线的斜率．因为点M(x，y)在直线l：y＝－＋上，且x∈[－2,3]，所以设该线段为AB，且A(－2,3)，B(3,2)．因为kAN＝＝－，kBN＝＝，所以≥或≤－，即的取值范围为 故答案为： 3．已知A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是线段AB上的动点，则的取值范围是_______. 【答案】[， 2] 【解析】因为A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是线段AB上的动点， 所以表示直线的斜率.如下图. 因为直线的斜率为，直线的斜率为. 所以的取值范围是. 故答案为： 4.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为______. 【答案】 【解析】如图所示：设单位圆上的一点为，点，， 则表示直线的斜率，因为 故当与重合时，的斜率为 当与重合时，的斜率最大值为 所以的值域为． 故答案为： 【专项练】 1.如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线，，的倾斜角分别为，可得，再由斜率的定义即可比较，，的大小关系. 设直线，，的倾斜角分别为，由图象知： ， 所以，即， 故选：A． 2.直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为直线，的倾斜角分别为，，所以， 若，则， 若，则都不存在， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3.已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当直线的倾斜角时，直线的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线的斜率k的取值范围是. 故选：D 4.若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，设的倾斜角为，的倾斜角为，则所求直线的倾斜角的取值范围为， 易得，， 又因为，所以， 所以所求直线的倾斜角的取值范围为. 故选：A.    5.(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 【答案】AB 【解析】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 故选：AB 6.(多选）已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可能为(　　) A．(3，0) B．(－3，0) C．(0，－3) D．(0，3) 【答案】AC 【解析】设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n). 由kPA＝1，得＝＝1， 得m＝3，n＝－3. 故点P的坐标为(3，0)或(0，－3). 故选：AC 7.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈，则k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出k的取值范围. 【解析】当≤α<时，≤tan α<1，即≤k<1； 当≤α<π时，≤tan α<0，即≤k＜0. ∴k∈. 故答案为： 8.若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】如图， 函数，表示线段其中，， 的几何意义为线段上的动点与定点连线的斜率的倍， ，， 的取值范围是； 故答案为： 9.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 【答案】(1)(－∞，－1]∪[1，＋∞);(2)45°≤α≤135° 【解析】如图，由题意可知kPA＝＝－1， kPB＝＝1， (1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 10.已知坐标平面内三点，，. （1）求直线，，的斜率和倾斜角； （2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】（1）由斜率公式，得，，， 所以直线的倾斜角为0°，直线的倾斜角为60°，直线的倾斜角为30°. （2）如图，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到，所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线的斜率与倾斜角（6大题型） 新课知识点剖析与归纳 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角． (2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0. (3)倾斜角α的范围为[0，π)． 2．直线的倾斜角与斜率 一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°. (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°. (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝. 高频考点题型预习归纳 【题型1 直线的斜率】 【题型2 直线的倾斜角】 【题型3 斜率与倾斜角的关系】 【题型4 利用斜率解决三点共线】 【题型5 利用斜率解决直线与线段交点】 【题型6 利用斜率模型最值范围问题】 专项练 【题型1 直线的斜率】 【典例1】如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【题型训练1】 1.若过点(－2，－m)和点(m,4)的直线的斜率等于－1，则实数m的值是(　　) A．1　 B．－3　 C．3　 D．－1 2．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－1,0]　 B．[0,1]　 C．[1,2]　 D．[0,2] 3．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为________． 【题型2 直线的倾斜角】 【典例2】若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【题型训练2】 1.已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 2．已知点，点，则直线的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．135° 3．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) 4.已知点A（2，-1），B（3，m），若，则直线AB的倾斜角的取值范围为__________． 【题型3斜率与倾斜角的关系】 【典例3】已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为(　　) A． B． C． D．不存在 【题型训练3】 1.已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．(多选)已知直线斜率的绝对值为，则直线的倾斜角可以为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 3．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4.已知经过点A(m,2)，B(－m,2m－1)(m≠0)的直线的倾斜角α的取值范围是(45°，60°)，试求实数m的取值范围． 【题型4 利用斜率解决三点共线】 【典例4】若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为________． 【题型训练4】 1.若A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)三点在同一条直线上，则实数b的值为(　　) A．2　 B．3　 C．9　 D．－9 2．若A(－2,3)，B(3,2)，C三点不能构成三角形，则实数m的值为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 3．已知A(－1,1)，B(x,2)，C(－2，y)是斜率为1的直线上的三点，则x＋y＝________. 4. 若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：＋＝ 【题型5 利用斜率解决直线与线段交点】 1． 【典例5】已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【题型训练4】 1.(多选)直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取(　　) A．－8 B．－5 C．3 D．4 2．(多选)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率可能是(　　) A．－2　 B．　 C．1　 D． 3.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是________. 4.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【题型6 利用斜率模型最值范围问题】 【典例6】已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，则的取值范围________． 【题型训练4】 1.已知函数f(x)＝log3(x＋2)，若a>b>c>0，则，，的大小关系为(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 2．已知点M(x，y)在直线l：y＝－x＋上，当x∈[－2,3]时，则的取值范围为________． 3．已知A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是线段AB上的动点，则的取值范围是_______. 4.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为______. 【专项练】 1.如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则(　　) A． B． C． D． 2.直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4.若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为(　　) A． B． C． D ．   5.(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 6.(多选）已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可能为(　　) A．(3，0) B．(－3，0) C．(0，－3) D．(0，3) 7.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈，则k的取值范围是 ． 8.若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______． 9.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 10.已知坐标平面内三点，，. （1）求直线，，的斜率和倾斜角； （2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$