第04讲 平面与平面的位置关系（3个知识点+7种题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

第04讲 平面与平面的位置关系 课程标准 学习目标 1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养． 2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养. 3. 通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 4. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养. 1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点) 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点) 3.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点) 4.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点) 5.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点) 知识点01：平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 【即学即练1】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 知识点02：二面角 1、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 2、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 3、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做 二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 求解二面角的常用方法： 1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法； 2、三垂线法：利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法； 3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法； 4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 【即学即练2】如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值． 知识点03平面与平面垂直 1、平面与平面垂直定义 　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　　　　　　　　　　 2、平面与平面垂直的判定定理 　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　 　　特征：线面垂直面面垂直 　　注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 3、平面与平面垂直的性质 　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　　　 【即学即练3】如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 题型01 平面与平面平行的判定 【解题策略】 平面与平面平行的判定方法： (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 【例1】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. 【变式1-1】如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 【变式1-2】如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE. 题型02 平面与平面平行的性质 【解题策略】 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤： 【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长． 【变式2-1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝________. 【变式2-2】已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，则DE＝________. 题型03 平行问题的综合应用 【解题策略】 1．证明直线与直线平行的方法 (1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等． (2)基本事实4. (3)线面平行的性质定理． (4)面面平行的性质定理． 2. 证明直线与平面平行的方法： (1)线面平行的判定定理． (2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 【例3-1】如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 【例3-2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD. 【变式3-1】如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 【变式3-2】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：GH∥平面PAD. 【变式3-3】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形．在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由)． 题型04 二面角的计算问题 【解题策略】 1．求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小． 2．确定二面角的平面角的方法： (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 【例4】如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小． 【变式4-1】若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【变式4-2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于(　　) A. B. C. D. 【变式4-3】如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小． 题型05 平面与平面垂直的判定 【解题策略】 证明面面垂直常用的方法： (1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直； (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【例5】如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC. 【变式5-1】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M. 【变式5-2】．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）如图，在正三棱柱中，是棱的中点 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式5-3】如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，，，为棱上的一点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 题型06 面面垂直性质定理的应用 【解题策略】 1．证明或判定线面垂直的常用方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)； (4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)； 2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线． 【例6】如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. 【变式6-1】如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD. 求证：平面VBC⊥平面VAC. 【变式6-2】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD. 【变式6-3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证： (1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB. 题型07 线线、线面、面面垂直的综合应用 【解题策略】 垂直关系的互化及解题策略： 空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题． 【例7】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA. 【变式7-1】如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，． (1)判断CD是否与平面PAD垂直，并证明你的结论； (2)求证：平面平面ABCD． 【变式7-2】．如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证： 【变式7-3】．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且，为等边三角形，G为边AD的中点，平面平面ABCD.    (1)求证：平面PAD； (2)若E为边BC的中点，在边PC上是否存在点F，使平面平面ABCD？证明你的结论. 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•徐汇区校级期中）下列命题正确的是　　 A．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行 C．如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 D．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 2．（2023秋•松江区校级期中）两个平面，，则的充要条件是　　 A．上有无数条直线与平行 B．上有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 3．（2023秋•奉贤区期中）下列命题中，是真命题的选项为　　 A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 C．分别在两个平行平面上的两条直线平行 D．与两条异面直线都平行的两个平面平行 4．（2023秋•长宁区校级期中）在三棱锥中，若，，那么必有　　 A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 二．填空题（共3小题） 5．（2023秋•松江区校级期中）已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则　　． 6．（2022秋•黄浦区校级期末）已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的　 　条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空． 7．（2023•闵行区校级开学）已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有 　　对． 三．解答题（共8小题） 8．（2022秋•长宁区校级期中）已知四棱锥，底面是菱形，，平面，点为中点． 证明：平面平面． 9．（2023秋•青浦区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC． （1）求证：BC∥平面AMN； （2）求证：平面AMN⊥平面PBC． 10．（2022秋•长宁区校级月考）如图，，，为不共线的三点，，且；求证：平面平面． 11．（2021秋•浦东新区校级期中）如图，在三棱柱中，侧面底面，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面． （Ⅲ）若，求异面直线与所成角的大小． 12．（2021秋•杨浦区校级期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 13．（2022秋•浦东新区校级期中）在正方体中，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与所成角的正切值． 14．（2023秋•虹口区校级期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 15．（2022秋•闵行区校级期中）如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平面与平面的位置关系 课程标准 学习目标 1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养． 2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养. 3. 通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 4. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养. 1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点) 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点) 3.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点) 4.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点) 5.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点) 知识点01：平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 【即学即练1】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 【解析】证明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 知识点02：二面角 1、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 2、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 3、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做 二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 求解二面角的常用方法： 1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法； 2、三垂线法：利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法； 3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法； 4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 【即学即练2】如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值． 【解析】解　如图，取CD的中点M，连接AM，BM， 则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角． 设点H是△BCD的中心，连接AH， 则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上． 在Rt△AMH中，AM＝×2＝， HM＝×2×＝， 则cos∠AMB＝＝＝， 即所求二面角的平面角的余弦值为. 知识点03平面与平面垂直 1、平面与平面垂直定义 　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　　　　　　　　　　 2、平面与平面垂直的判定定理 　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　 　　特征：线面垂直面面垂直 　　注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 3、平面与平面垂直的性质 　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　　　 【即学即练3】如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 证明　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC. 题型01 平面与平面平行的判定 【解题策略】 平面与平面平行的判定方法： (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 【例1】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. [证明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP. 又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC， ∴NQ∥平面PBC. ∵四边形ABCD为平行四边形． ∴BC∥AD，∴MQ∥BC. 又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， ∴MQ∥平面PBC. 又∵MQ∩NQ＝Q， ∴平面MNQ∥平面PBC. 【变式1-1】如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 证明　因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF， 平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM. 【变式1-2】如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE. 证明　因为F为CD的中点，H为PD的中点， 所以FH∥PC， 又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC， 所以FH∥平面PCE. 又AE∥CF且AE＝CF， 所以四边形AECF为平行四边形， 所以AF∥CE， 又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F， 所以平面AFH∥平面PCE. 题型02 平面与平面平行的性质 【解题策略】 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤： 【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长． [解]　因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD， 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝. 所以BD＝. 【变式2-1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝________. 【答案】　 【解析】∵平面MNE∥平面ACB1， 由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A， 又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点， ∴MN＝AC，即＝. 【变式2-2】已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，则DE＝________. 【答案】　 【解析】如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF，设l与CD确定的平面为α1，因为α∩α1＝AD，β∩α1＝BG，且α∥β，所以AD∥BG，所以＝，同理可得，GE∥CF，＝，所以＝，所以DE＝＝＝. 题型03 平行问题的综合应用 【解题策略】 1．证明直线与直线平行的方法 (1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等． (2)基本事实4. (3)线面平行的性质定理． (4)面面平行的性质定理． 2. 证明直线与平面平行的方法： (1)线面平行的判定定理． (2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 【例3-1】如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 证明　因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF， 平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM. 【例3-2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD. 证明　过点E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，如图， 则＝. ∵B1E＝C1F，B1A＝C1B， ∴＝，∴FG∥B1C1， 又B1C1∥BC，∴FG∥BC， 又FG⊄平面ABCD， BC⊂平面ABCD， ∴FG∥平面ABCD， 又EG∥AB且EG⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴EG∥平面ABCD， ∵FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面ABCD. ∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD. 【变式3-1】如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 证明　因为BE∥AA1， AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D， 所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D， BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC， 平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D， 所以EC∥A1D. 【变式3-2】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：GH∥平面PAD. [证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO. ∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点， ∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， ∴PA∥平面BMD， 又∵PA⊂平面PAHG， 平面PAHG∩平面BMD＝GH， ∴PA∥GH. 又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD， ∴GH∥平面PAD. 【变式3-3】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形．在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由)． 解　如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，则四边形MNAC为所求的平面图形． 因为M，N，E，F均为所在棱的中点，所以MN∥EF， 又EF⊂平面DEF， MN⊄平面DEF， 所以MN∥平面DEF， 又AN∥DE，AN⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以AN∥平面DEF， 又MN∩AN＝N，MN，AN⊂平面MNAC，所以平面MNAC∥平面DEF. 易知MN∥AC，AN＝MC，则四边形MNAC为等腰梯形，且MN＝AC＝2， 过点M作MP⊥AC于点P， 可得MC＝＝2，PC＝＝， 所以MP＝＝， 所以S梯形MNAC＝×(2＋4)×＝6. 题型04 二面角的计算问题 【解题策略】 1．求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小． 2．确定二面角的平面角的方法： (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 【例4】如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小． [证明]　因为AC⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD， 所以BD⊥AC. 又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C， 所以BD⊥平面 ACD. 因为AD⊂平面 ACD，所以AD⊥BD， 所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角． 在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°. 【变式4-1】若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH，PO， 因为PH⊥AB，OH⊥AB，所以∠PHO为侧面与底面所成的角， 因为PO为高，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OH， 又OH＝，PO＝a，PH＝＝a， 所以在Rt△POH中，cos∠PHO＝＝， 所以侧面与底面所成角的余弦值为. 【变式4-2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角， 设A1A＝a，则AO＝a， 所以tan∠A1OA＝＝. 【变式4-3】如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小． 解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角． 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°. 题型05 平面与平面垂直的判定 【解题策略】 证明面面垂直常用的方法： (1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直； (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【例5】如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC. [证明]　(1)法一：(利用定义证明) 因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC， 令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形． 取BC的中点D，如图所示， 连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角． 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a， 所以SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ABD中，AD＝a， 在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC. 法二：(利用判定定理) 因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， 所以SA＝AB＝AC， 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心． 因为△SBC为直角三角形， 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC. 【变式5-1】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M. 证明　由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1， 又BM⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥BM. 又CC1＝2，M为CC1的中点， 所以C1M＝CM＝1. 在Rt△B1C1M中，B1M＝＝， 同理BM＝＝， 又B1B＝2， 所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M. 又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M， 所以BM⊥平面A1B1M， 因为BM⊂平面ABM， 所以平面ABM⊥平面A1B1M. 【变式5-2】．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）如图，在正三棱柱中，是棱的中点 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）判断出与平面所成角，解直角三角形求得所成角的正弦值. 【详解】（1）连接交于点，连接，如图所示, 在正三棱柱中， 平面平面, 是棱的中点，则,同理 在正方形中，是的中点，则, 同理可得是的中点，则, 又平面，则平面, 又平面，则平面平面. （2）由（1）得平面平面，平面平面， 平面, 平面，则即为与平面所成的角， 又， 在中，， 故与平面所成角的正弦值为. 【变式5-3】如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，，，为棱上的一点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明平面 平面MBD，只需要证明 平面PAD； （2）根据两面角的定义构造三角形，运用余弦定理和面积投影法计算. 【详解】（1）取中点，联结，则 ， 因为平面平面且平面 平面， 所以平面，而 平面，所以， 因为，所以 ， 因为 平面且 平面， 所以 平面， 又因为 平面，所以平面平面； （2） 取PD的中点F，则 ，由（1）的结论知： 平面， 平面PAD， ， 平面PBD， 平面PBD， ， 平面 PBD，即平面 PAB在平面PBD上的投影是PBF， 在 中， ， ， 在 中， ， ，  ， 设二面角的平面角为，由面积射影法， ， 即二面角的余弦值为； 题型06 面面垂直性质定理的应用 【解题策略】 1．证明或判定线面垂直的常用方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)； (4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)； 2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线． 【例6】如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. [证明]　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 【变式6-1】如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD. 求证：平面VBC⊥平面VAC. [证明]　∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD. ∴BC⊥平面VAB， 又VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA， 又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA， 又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC， ∵VA⊂平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC. 【变式6-2】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD. 证明　如图，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，∠ADC＝90°， 过C作CE⊥AB，E为垂足， ∴四边形AECD为正方形， ∴CE＝AE＝EB＝2， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC， 又平面ACD⊥平面ABC， 平面ACD∩平面ABC＝AC， BC⊂平面ABC， ∴BC⊥平面ACD. 【变式6-3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证： (1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB. 证明　(1)∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又平面PAD∩平面ABD＝AD， 平面PAD⊥平面ABD，BG⊂平面ABD， ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，又△PAD为正三角形， ∴PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG， ∴AD⊥平面PBG， 又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB. 题型07 线线、线面、面面垂直的综合应用 【解题策略】 垂直关系的互化及解题策略： 空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题． 【例7】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA. [思路探究]　(1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE，即证DM为AE的中垂线即可． (2)(3)只需证明DM⊥平面ECA即可． [证明]　(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F， 则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC， 所以BC⊥CF，DF⊥EC， 所以DE＝＝a. 又因为DB⊥平面ABC， 所以DA＝＝a， 所以DE＝DA. (2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊CE綊DB. 所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN. 又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD. 又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE. 所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA. (3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA， 所以平面DEA⊥平面ECA. 【变式7-1】如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，． (1)判断CD是否与平面PAD垂直，并证明你的结论； (2)求证：平面平面ABCD． 【答案】(1)垂直，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】(1)根据给定条件证明即可推理作答. (2)利用(1)的信息可得，结合已知证得平面即可推理作答. 【详解】（1）CD与平面PAD垂直， 在四棱锥中，四边形是直角梯形，，， 则有，即，而，，平面， 所以平面. （2）由(1)知，平面，而平面，则，又， 因是直角梯形的两条腰，即直线必相交，因此，平面，而平面， 所以平面平面. 【变式7-2】．如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直性质定理，可得线面垂直，再根据面面垂直判定定理，可得答案； （2）由题意，根据勾股定理，可得线线垂直，结合线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理与性质，可得答案. 【详解】（1）证明：在矩形中，，为的中点，∴，是的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，∴平面平面； （2）证明：在矩形中，，为的中点，∴，则，∴， 由（1）知，平面，∵平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴. 【变式7-3】．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且，为等边三角形，G为边AD的中点，平面平面ABCD.    (1)求证：平面PAD； (2)若E为边BC的中点，在边PC上是否存在点F，使平面平面ABCD？证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直即可； （2）当F为PC的中点时，满足平面平面ABCD.利用平面平面ABCD，可得平面ABCD，通过平行证明线面垂直，可得平面平面ABCD. 【详解】（1）如图，连接BD，因为底面ABCD是菱形，所以，又因为，所以是等边三角形. 因为G为边AD的中点，所以. 因为平面平面ABCD，平面平面，平面BAD，， 所以平面PAD.    （2）存在点F，且F为PC的中点. 证明如下：取PC的中点F，连接DF，EF，EG，CG，DE，PG，且CG与DE交于点M，连接FM. 因为且，E，G分别是BC，AD的中点，所以，且. 则四边形CEGD是平行四边形， 所以. 又因为，所以. 因为是等边三角形，G是AD的中点， 所以. 又因为平面平面ABCD，平面平面， 所以平面ABCD，所以平面ABCD. 又平面DEF， 所以平面平面ABCD. 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•徐汇区校级期中）下列命题正确的是　　 A．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行 C．如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 D．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 【分析】充分考虑空间线，面之间的位置关系，可逐项判断． 【解答】解：平面内所有直线与另一个平面平行时，两个平面才平行，故不正确； 观察正方体的一个角可知，这两个平面可能相交，故不正确； 如果这条直线在平面内，此直线与平面不平行，故不正确； 如果两个平面垂直，则另一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，故正确． 故选：． 【点评】本题考查面面平行的判定，直线与平面的判定，面面垂直的性质，属于基础题． 2．（2023秋•松江区校级期中）两个平面，，则的充要条件是　　 A．上有无数条直线与平行 B．上有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 【分析】利用面面平行的判定定理和性质定理结合正方体结构即可确定结论． 【解答】解：如图所示正方体中，设平面为，平面为， 显然平面中有无数条直线与平面平行，但，故错误； 由面面平行的判定定理和性质定理可知正确； 又，，但，故错误； 设平面为，平面为， 平面，平面，但与相交，故错误． 故选：． 【点评】本题考查面面平行的性质与判定，属基础题． 3．（2023秋•奉贤区期中）下列命题中，是真命题的选项为　　 A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 C．分别在两个平行平面上的两条直线平行 D．与两条异面直线都平行的两个平面平行 【分析】举例说明判断；利用面面平行的判定推理判断． 【解答】解：如图，正方体， 对于，平面与平面都与直线平行，而平面与平面相交，是假命题； 对于，相交平面与平面分别经过直线，，且，是假命题； 对于，直线平面，直线平面，且平面平面， 而直线与直线是异面直线，是假命题； 对于，直线，是两条异面直线，，是两个不同平面，，，，， 过直线上的点作直线，则直线，确定平面，由，，得点，， 而，，于是，，因此，，所以，真命题． 故选：． 【点评】本题考查线面，面面的位置关系，属于中档题． 4．（2023秋•长宁区校级期中）在三棱锥中，若，，那么必有　　 A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【分析】运用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，结合条件和三角形的性质，可得结论． 【解答】解：在三棱锥中，若，，且， 可得平面， 由平面，可得平面平面， 由平面，可得平面平面，故正确； 若平面平面，又平面平面，平面平面， 可得平面，，与矛盾，故错误； 若平面平面，又平面平面，可得平面，，不一定成立，故错误； 若平面平面，又平面平面，可得平面，则，不一定成立，故错误． 故选：． 【点评】本题考查空间面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于中档题． 二．填空题（共3小题） 5．（2023秋•松江区校级期中）已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则　或　． 【分析】由空间等角定理即可求得． 【解答】解：空间等角定理：空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 因为空间中角的两边分别平行于角的两边，所以与相等或互补， 因为，所以或． 故答案为：或． 【点评】本题考查空间等角定理的应用，属于基础题． 6．（2022秋•黄浦区校级期末）已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的　必要不充分　条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空． 【分析】可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由得不出，而由，能得到，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以是的必要不充分条件． 【解答】解：由，得不出，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行； 若，，则根据面面垂直的判定定理得到； ，是的必要不充分条件． 故答案为必要不充分． 【点评】考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念． 7．（2023•闵行区校级开学）已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有 　5　对． 【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可． 【解答】解：已知是边长为的正方形，侧棱，， 所以，，又， 所以平面， 因为平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 因为，，，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 同理可得平面，平面，所以平面平面， 因为，所以平面，平面，所以平面平面， 故互相垂直的面有5对． 故答案为：5． 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的结构，属于基础题． 三．解答题（共8小题） 8．（2022秋•长宁区校级期中）已知四棱锥，底面是菱形，，平面，点为中点． 证明：平面平面． 【分析】先由已知条件证明为等边三角形，，易证，得到面，进而证明面面． 【解答】证明：连接． ，， 为等边三角形． 是中点，． 面，面，． 面，面，， 面．面， 面面． 【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及面面垂直的判定等基础知识，考查空间想象能力和推理能力． 9．（2023秋•青浦区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC． （1）求证：BC∥平面AMN； （2）求证：平面AMN⊥平面PBC． 【分析】（1）线面平行的定理的应用，注意一定要有面内，面外的说明； （2）面面垂直定理的性质定理及判定定理的应用． 【解答】证明：如图所示：（1）M，N分别为棱PB，PC的中点， ∴MN∥BC， MN⊂AMN，BC⊄AMN， 所以BC∥面AMN； （2）PA＝AB，点M为棱PB的中点， ∴AM⊥PB，又平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC＝PB，AM⊂PAB，AM⊥面PBC，又AM⊂AMN， ∴平面AMN⊥平面PBC． 【点评】考查线面平行定理的应用及面面垂直的判定定理及性质定理的应用，属于基础题． 10．（2022秋•长宁区校级月考）如图，，，为不共线的三点，，且；求证：平面平面． 【分析】根据已知条件可得四边形和四边形是平行四边形，从而可得，根据线面平行的判定定理可证平面；同理可证平面，再由面面平行的判定定理可证明结论． 【解答】证明：，且， 四边形和四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； 同理可证平面． 又，，平面． 平面平面． 【点评】本题考查了面面平行的证明，属于基础题． 11．（2021秋•浦东新区校级期中）如图，在三棱柱中，侧面底面，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面． （Ⅲ）若，求异面直线与所成角的大小． 【分析】（Ⅰ）由三棱柱的性质知，，再由线面平行的判定定理，得证； （Ⅱ）由面面，可推出面，再由面面垂直的判定定理，得证； （Ⅲ）易知，或其补角即为所求，由（Ⅱ）知，面，从而有，再由三角函数即可得解． 【解答】（Ⅰ）证明：由三棱柱的性质知，， 平面，平面， 平面． （Ⅱ）证明：面面，面面，且 面， 又平面， 平面平面． （Ⅲ）解：， 或其补角为异面直线与所成角， 由（Ⅱ）知，面， 面，， 在△中，， 异面直线夹角的范围为，， ， 故异面直线与所成角的大小为． 【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，异面直线夹角的求法，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于基础题． 12．（2021秋•杨浦区校级期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【分析】（1）连接，，交于点，则是中点，连接，则，由此能证明平面． （2）推导出，，从而平面，由此能证明平面平面． 【解答】证明：（1）在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点， 连接， 为中点，， 平面，平面，平面． （2）在四棱锥中，四边形为正方形，， 平面，平面，， ，平面， 平面，平面平面． 【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 13．（2022秋•浦东新区校级期中）在正方体中，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与所成角的正切值． 【分析】（1）由已知可证四边形是平行四边形，从而，可证平面，再证平面，可证平面平面； （2）为直线与所成角，由可求． 【解答】（1）证明：连接， ，分别是，的中点， 且， 四边形是平行四边形，， 又，， 平面，平面， 平面， ，分别是，的中点， ，， ，平面，平面， 平面，又，，平面， 平面平面； （2）解：由（1）知， 为直线与所成角， 在中，， ，所以． 【点评】本题考查面面平行的证明，以及线线角的求法，属中档题． 14．（2023秋•虹口区校级期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【分析】（1）连接与交于点，连接，证明四边形是平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）证明平面平面，只需证明平面． 【解答】证明：（1）连接与交于点，连接， 为的中点， 且， 为的中点， 且， 且， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面 （2），为的中点， 由（1）知， ， 底面，底面， ， ， ， ， 平面 面， 平面平面． 【点评】本小题主要考查线面平行，平面与平面垂直的判定等有关基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题． 15．（2022秋•闵行区校级期中）如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （Ⅱ）设到平面的距离为，由等积法和棱锥的体积公式，以及直线和平面所成角的定义和直角三角形的正弦函数的定义，可得所求值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：在中，，为的中点，可得， 又平面，平面， 可得， 而，所以平面， 又平面， 所以平面平面； （Ⅱ）设到平面的距离为，连接， 由，，可得，， ，可得△的面积为， △的面积为， 由，可得， 即为， 可得， 则直线和平面所成角的正弦值为． 【点评】本题考查面面垂直的判定定理和直线和平面所成角的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$