精品解析：山东省济南市莱芜区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确. 2.本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔. 4.考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡. 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，、分别是边、上的点，，若，表示面积，表示周长．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为、，若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 数学实践课上老师用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线的长为（ ） A. B. 20 C. D. 10. 对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示，中的较小值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. 或 C. 1 D. 或或1 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接填写答案.） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则方程的另一个根为______． 13. 菱形的边长为5，对角线，则菱形的面积是___________． 14. 参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了55次，那么到会的人数是______. 15. 如图，已知等腰中，，，平分，交于点．若，则______． 16. 将一张边长为10的正方形纸片进行折叠，折痕为，点落在边上的点处，当点为中点时，的长为______. 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 解方程：． 18. 计算：． 19. 如图，矩形中，、是上的点，． 求证：． 20. 有，．求： （1）； （2）． 21. 如图：矩形和矩形有公共顶点，连接和，． （1）判断和的数量关系并说明理由； （2）判断和位置关系并说明理由． 22. 如图，四边形是矩形，，，点在第四象限． （1）求的长； （2）求点坐标． 23. 济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 24. 已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等实数根； （2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 25. 在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张边长为4的正方形纸片，对角线与交于点，将正方形纸片沿直线折叠，点落在对角线上的处，折痕交于点，连接、 （1）求的长； （2）判断四边形的形状并说明理由 26. 在中，，，点在边上，，将线段绕点逆时针旋转至．记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接． （1）如图1，当时，线段与线段数量关系是______； （2）当时， ①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当、、三点共线时，已知点是的中点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确. 2.本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔. 4.考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡. 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化简，再找到被开方数与相同的选项即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B．，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C．，3不是二次根式，故该选项不符合题意； D．，与是同类二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，化简绝对值，二次根式的加法运算，根据各自的计算法则计算并一一判断即可． 【详解】解：A．，原计算正确，故该选项符合题意； B．，原计算错误，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．4和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； 故选∶A． 4. 如图，在中，、分别是边、上的点，，若，表示面积，表示周长．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，根据，证明，由全等三角形的性质可得出，，进而可判断A，B，C项，再根据三角形周长判断D即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴A，B项错误， ∴， ∴， ∴C项错误， ， ∴D项正确， 故选：D． 5. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，“三边对应成比例，两三角形相似”，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故A能判定； B、根据不能证明，故B不能判定； C、∵， ∴，故C能判定； D、∵． ∴，故D能判定； 故选：B． 6. 如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为、，若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用相似三角形对应边成比例． 根据题意，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图，过点O作并延长交于点E， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，菱形的判定，三角形的中位线定理的应用，遇到中点，最常见的思路是构造三角形的中位线． 应添加的条件为，理由为根据三角形中位线定理结合得到四条边都相等，得出四边形为菱形即可． 【详解】解：应该添加的条件是； 连接、， ∵、、、分别为四边形四条边上的中点， ∴、分别为和的中位线， ， 同理， 又， ， ∴四边形是菱形， 故选：B． 8. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线，三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据勾股定理及垂直平分线得到． 根据勾股定理求出根据作图可得，可得垂直平分，即可得到，易得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∵以点为圆心，长为半径画弧，与交于点， ， ， ∵垂直平分， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 数学实践课上老师用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线的长为（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形性质和判定， 利用正方形性质和等腰直角三角形，得到，连接菱形中的相交于点，证明为等边三角形，进而得到，利用菱形的性质得到，利用直角三角形的性质和勾股定理得到，进而可得，即可解题． 【详解】解：∵正方形中对角线，， ， 连接菱形中的相交于点． ∴． ， 是等边三角形，， ， ， ， 故选：C． 10. 对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示，中的较小值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. 或 C. 1 D. 或或1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查新定义下解分式方程，解题的关键是分类讨论思想的利用，根据题意分两种情况：当，则，解得；当，则，无解，即可判断答案． 【详解】解：当，则， 那么，，解得，（舍去）， 经经验是方程的解； 当，则， 那么，，解得（舍去）， 则方程的解为； 故选：A． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接填写答案.） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则方程的另一个根为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义．把代入，再解关于的方程，然后利用一元二次方程的定义确定的值．再根据根与系数关系即可求出方程的另一个根． 【详解】解：把代入得， 解得：， 而． 所以． 令方程的另一个根为，则， ∴， 故答案为：． 13. 菱形的边长为5，对角线，则菱形的面积是___________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，再利用勾股定理求出另一条对角线的长度，根据菱形的面积计算方法求解即可． 详解】如图所示， ∵菱形的边长为5， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键． 14. 参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了55次，那么到会的人数是______. 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这次聚会的人数有x人，每人的握手次数为次，根据题意建立方程求出其解就可以了． 【详解】解：设到会的有x人， ， 解得：或（负数舍去）， 故答案：11． 15. 如图，已知等腰中，，，平分，交于点．若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得出，即可进一步证明，再根据两角对应相等，判定再用相似三角形对应边的比相等得出，设则代入进行计算，然后解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 设，． 则，即 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为；2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的应用，三角形内角和定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． 16. 将一张边长为10的正方形纸片进行折叠，折痕为，点落在边上的点处，当点为中点时，的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质以及折叠性质，可得，设， ，，利用勾股定理求出x的值，延长交于点Q，证明，得到，由折叠性质可得，设，利用勾股定理求出a的值，最后根据求出最后结果． 【详解】解：四边形为正方形， ， 点为中点， ， 设，由折叠可知，则， 在中，，即， 解得：， ， , 如图，延长交于点Q， 在与中， ， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，准确作出辅助构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记公式是解题的关键． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式性质及加减乘除混合运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键． 根据二次根式的性质化简，结合二次根式乘除法运算法则计算后，利用二次根式加减运算即可得到结论． 【详解】解：原式 ． 19. 如图，矩形中，、是上的点，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得到，，易证，即可证明结论． 【详解】证明：四边形为矩形， ，， 又， ， ． 20. 有，．求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分式加法，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题关键． （1）将，代入再利用完全平方公式展开计算即可； （2）先计算，再利用分式加减和平方差公式将变形为，再将的值代入计算即可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ． 21. 如图：矩形和矩形有公共顶点，连接和，． （1）判断和的数量关系并说明理由； （2）判断和的位置关系并说明理由． 【答案】（1），证明见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质和相似三角形的判定与性质： （1）根据四边形和四边形都矩形可证明，结合可证明得，从而可得结论； （2）延长交于点，交于点，根据三角形内角和定理可得解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：. 延长交于点，交于点， ， ， 又， ，即． 22. 如图，四边形是矩形，，，点在第四象限． （1）求的长； （2）求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质， 过点作轴，垂足为，即可求得，结合矩形的性质得，利用勾股定理即可； 过点作轴，垂足为，利用矩形的性质可证明，则有，即可求得和． 【小问1详解】 解：过点作轴，垂足为，如图， 在中，， ， ， ， ， ∵， ∴在中，； 【小问2详解】 过点作轴，垂足为，如图， 矩形中，， ， 又， ． ， ， ， ，， ． 23. 济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌的头盔每个应涨价5元. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元 24. 已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，韦达定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据韦达定理用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到方程，解之即可得到答案． 【小问1详解】 证明：，， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根 小问2详解】 解：和是的两个根 ， 是以为斜边的直角三角形 ，即 解得：，（，不合题意，舍去） 的值为3 25. 在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张边长为4的正方形纸片，对角线与交于点，将正方形纸片沿直线折叠，点落在对角线上的处，折痕交于点，连接、 （1）求的长； （2）判断四边形的形状并说明理由 【答案】（1） （2）四边形为菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理可求得，再由折叠的性质可知，，，可推出，最后利用即可得到答案； （2）根据正方形的性质和折叠的性质可推出，，从而推出，，即可证四边形是平行四边形，结合，即可判断四边形是菱形． 【小问1详解】 解：四边形为正方形 ，，，， ，， 的长为． 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下， 四边形为正方形 ，， 又 由（1）可知， 四边形是平行四边形 又 四边形为菱形． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 26. 在中，，，点在边上，，将线段绕点逆时针旋转至．记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接． （1）如图1，当时，线段与线段的数量关系是______； （2）当时， ①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当、、三点共线时，已知点是的中点，若，求的长． 【答案】（1） （2）①仍然成立；证明见解析；②） 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，再证明，由相似三角形的性质可进一步得出，设，则，，， 从而得出结果； （2）①先利用等腰三角的性质证明，再证明，则可得，由相似三角形的性质得出，从而得出结果； ②过点作于点，可推出由旋转得：，由平行线截直线成比例得出，由已知条件得出，由①知，，，，由勾股定理得出，进一步求得结果． 【小问1详解】 解：当时，点在线段上， ∵， ∴， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 ①仍然成立； 是等腰直角三角形， ，， 在中，，， ，， ，， ，即：， ， ， 仍然成立； ②过点作于点， 由旋转得：， ， ， ， ，， ， ， 由①知，，，， 又， ， 点是的中点， 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由平行线截直线成比例等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$