精品解析：山东省滨州市沾化区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期八年级学业水平检测 数学试题 温馨提示： 1.本试卷分第Ⅰ、II卷两部分，共8页.满分120分.考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用0.5毫米签字笔将自己的姓名、考号、学校、班级填写在答题卡规定的位置上. 3.第Ⅰ卷答卷务必在答题卡上用2B铅笔将正确答案标号涂黑. 4.第II卷务必用0.5毫米签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内. 第Ⅰ卷(选择题共24分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 式子有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 或 2. 下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 甲同学平均分高，成绩波动较小 B. 甲同学平均分高，成绩波动较大 C. 乙同学平均分高，成绩波动较小 D. 乙同学平均分高，成绩波动较大 3. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9 4. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线，相交于点O，过点B，点C分别作，的平行线交于点E．若，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 6. 已知为直线上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，平分，交边于点E，且，则平行四边形的周长为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 8. 如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减少 第Ⅱ卷(共96分) 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 9. 下列四个等式：①；②；③；④． 正确的是_____________. 10. 在一次环保知识问答中，一组学生成绩统计如表所示： 分数 60 70 80 90 100 人数 4 9 15 17 5 则该组学生成绩的众数是__________；中位数是__________；平均数是__________. 11. 如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将AOB的面积平分的直线l2的表达式为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___． 13. 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为_____． 14. 如图菱形的对角线，点E为边的中点，点F、P为边上的动点，则的最小值为__________. 15. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为____________． 16. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时是甲乙同时到达终点 ④甲的速度是乙速度的一半．其中，正确结论是________（填序号） 三、解答题：本大题共8小题，共72分.解答时请写出必要的演推过程. 17. （1）． （2）若一组数据6，4，a，3，2的平均数是5，求这组数据的方差． 18. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． （2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度； （3）如图1，若一个直角三角形面积为54，，求中间小正方形的边长． 19. 某工厂甲，乙两组工人同时加工某种机器零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍，两组各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图像如图所示． （1）甲组的工作效率是 　 　件/；图中的值为 　 　； （2）求乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式； （3）当为何值时，甲、乙两组一共加工零件500件？ 20. 如图，在中，，是的中位线，是的中线.连接 （1）求证：． （2）判断四边形形状，并说明理由． 21. 如图，直线l1的解析式为，且与x轴交于点D，直线的解析式为，经过A、B两点，且交直线于点C． （1）直接写出点D坐标； （2）直接写出的解析式； （3）直接写出使得的x的范围． 22. 阅读材料：在平面直角坐标系中，已知x轴上两点，的距离记作．若是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图，过A，B 分别向x轴、y轴作垂线和 垂足分别是 ，直线交于点Q，在 中， ，， ∴，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式为： ； （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为 ； （2）利用上面公式，在平面直角坐标系中两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时P 点的坐标； 23. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． （1）点B的坐标为___________； （2）连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； （3）当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 24. 2023年5月17日，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星在西昌发射场成功发射．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型．该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍．已知“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个． （1）求最多购进“卫星”模型多少个？ （2）求售完这批模型可以获得的最大利润是多少？ （3）如果“卫星”模型的进价上调m元，“火箭”模型的进价不变，但限定“卫星”慔型的数量不少于“火箭”模型的数量，两种模型的售价均不变．航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期八年级学业水平检测 数学试题 温馨提示： 1.本试卷分第Ⅰ、II卷两部分，共8页.满分120分.考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用0.5毫米签字笔将自己的姓名、考号、学校、班级填写在答题卡规定的位置上. 3.第Ⅰ卷答卷务必在答题卡上用2B铅笔将正确答案标号涂黑. 4.第II卷务必用0.5毫米签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内. 第Ⅰ卷(选择题共24分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 式子有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 且， 故选：C． 2. 下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 甲同学平均分高，成绩波动较小 B. 甲同学平均分高，成绩波动较大 C. 乙同学平均分高，成绩波动较小 D. 乙同学平均分高，成绩波动较大 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算甲、乙的平均分以及方差，然后比较即可． 【详解】解：， ∴， ， ∵，， ∴乙的平均分较高，成绩波动较大，甲的平均分较低，成绩波动较小； 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平均数、方差．解题的关键在于正确的计算． 3. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，然后根据计算即可． 【详解】解：根据勾股定理可得 ∴ 故选：D． 【点睛】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键． 4. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解． 【详解】解：将点代入得： ∴交点坐标为： 由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为 故选：B 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．掌握相关结论即可． 5. 如图，矩形的对角线，相交于点O，过点B，点C分别作，的平行线交于点E．若，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质和菱形的判定；熟练掌握菱形的判定方法，矩形的性质是解决问题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，得出四边形是菱形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形． ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， 故选：C． 6. 已知为直线上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两个点代入一次函数解析式可得，再判断即可． 【详解】解：将A、B两点坐标分别代入直线方程，得： ， ∴， ∴． ∵A、B两点不相同， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点坐标，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 7. 如图，在平行四边形中，，平分，交边于点E，且，则平行四边形的周长为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，则，再证，则，得，求解即可．本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ∴平行四边形的周长为 故选：D 8. 如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减少 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况． 【详解】如图，连接． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小， ∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键． 第Ⅱ卷(共96分) 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 9. 下列四个等式：①；②；③；④． 正确的是_____________. 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：①，原式正确； ②，原式错误； ③，原式错误； ④，原式错误； 故正确的有：①， 故答案为：①． 10. 在一次环保知识问答中，一组学生成绩统计如表所示： 分数 60 70 80 90 100 人数 4 9 15 17 5 则该组学生成绩的众数是__________；中位数是__________；平均数是__________. 【答案】 ①. 90 ②. 80 ③. 82 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义、中位数的定义，平均数的定义，出现次数最多的数为中位数、排序后位于中间位置的数为中位数（若中间位置为两个数，取它们的平均数为中位数），据此进行作答即可 【详解】解：依题意，90分的人数是17，其他分数的人数都低于17，故众数是90； 这组学生的人数是（人） ∴中位数是排序后位于第25和26位， 则 ∴中位数是80； （分） ∴平均数是82． 故答案为：90，80，82． 11. 如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将AOB的面积平分的直线l2的表达式为_______． 【答案】y=2x 【解析】 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出A（2，0），B（0，4），则AB的中点为（1，2），所以l2经过AB的中点，直线l2把△AOB平分，然后利用待定系数法求l2的解析式． 【详解】解：如图，当y=0，-2x+4=0， 解得x=2，则A（2，0）； 当x=0，y=-2x+4=4，则B（0，4）， ∴AB的中点坐标为（1，2）， ∵直线l2把△AOB面积平分 ∴直线l2过AB的中点， 设直线l2的解析式为y=kx， 把（1，2）代入得2=k，解得k=2， ∴l2的解析式为y=2x， 故答案为：y=2x． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线l2过AB的中点是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___． 【答案】（4，0） 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC-AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）， ∴AO=6，BO=8．∴根据勾股定理，得AB=10． ∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧， ∴AB=AC=10．∴OC=AC﹣AO=4． ∵交x正半轴于点C， ∴点C的坐标为（4，0）． 故答案为：（4，0） 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长． 13. 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接CE，由题意得MN是AC的垂直平分线，则AE=CE，再由三线合一定理得到，AD⊥BC，利用勾股定理求出AD的长，设DE=x，则CE=AE=AD-DE=4-x，在Rt△DEC中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接CE，由题意得MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE， ∵AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC， ∴，AD⊥BC， ∴， 设DE=x，则CE=AE=AD-DE=4-x， 在Rt△DEC中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，三线合一定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 14. 如图菱形的对角线，点E为边的中点，点F、P为边上的动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于的对称点，过作的垂线交于点，则的长度即为的最小值，最后根据菱形的面积求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线， ∴ ， 作E关于的对称点，过作的垂线交于点，则的长度即为的最小值， ∵ ∴ 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及最短路径，解题的关键在于要利用菱形的轴对称的特性将点E从边变换到边上，再根据垂线段最短即可得到的最小值． 15. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】∵边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得∶， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 16. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时是甲乙同时到达终点 ④甲的速度是乙速度的一半．其中，正确结论是________（填序号） 【答案】①②④． 【解析】 【分析】根据题意结合横纵坐标的意义得出摩托车的速度进而分别分析得出答案． 【详解】解：①项，由图可知，出发1小时时，甲、乙两人之间的距离是0千米，即两人相遇．故①项正确． ②项，由图可知，A地与B地的距离为120千米，在1.5小时时，有一个拐点，说明乙已经从B地到达了A地，即乙行驶了120千米，而甲、乙两人相距60千米，即甲行驶了60千米，所以乙比甲多行驶了60千米．故②项正确． ③项，在1.5小时时，乙已经到达终点，在3小时时，甲到达终点，故③项错误． ④项，由图可知，甲、乙均行驶了120千米，甲行驶的时间为3小时，乙行驶的时间为1.5小时．故甲的速度是乙的一半．故④项正确． ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键． 三、解答题：本大题共8小题，共72分.解答时请写出必要的演推过程. 17. （1）． （2）若一组数据6，4，a，3，2的平均数是5，求这组数据的方差． 【答案】（1）9；（2）8 【解析】 【分析】本题考查二次根叔的混合运算，平均数和方差的定义． （1）先化简二次根式，利用完全平方公式去掉括号，根据二次根式运算法则计算即可； （2）根据平均数的计算公式先求出，再利用方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 则这组数据的方差是． 18. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． （2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度； （3）如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 【答案】（1）见解析； （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； 【小问3详解】 解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 19. 某工厂甲，乙两组工人同时加工某种机器零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍，两组各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图像如图所示． （1）甲组的工作效率是 　 　件/；图中的值为 　 　； （2）求乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式； （3）当为何值时，甲、乙两组一共加工零件500件？ 【答案】（1）60，280 （2） （3）当时，两组一共生产500件 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图像求解即可； （2）设乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为，将，求解即可； （3）由（1）易知甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式为，结合乙组更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为，由题意“甲、乙两组一共加工零件500件”列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲组加工零件的数量（件）与时间（时）之间的函数图像经过点， ∴（件/时）， ∵甲组加工零件的数量（件）与时间（时）之间的函数图像经过点， ∵乙3小时加工120件， ∴乙的加工速度是：每小时40件， ∵乙组更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍． ∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工（件）， ； 故答案为：60，280； 【小问2详解】 设乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为， ∵图像过，， 则有， 解得， ； 【小问3详解】 由（2）可知，乙组更换设备后加工零件的个数与时间的函数关系式为， ∵甲组的工作效率是60件/时， ∴甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， 答：当时，两组一共生产500件． 【点睛】本题主要考查了函数图像以及一次函数的应用等知识，理解题意，通过函数图像获得所需信息是解题关键． 20. 如图，在中，，是的中位线，是的中线.连接 （1）求证：． （2）判断四边形形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由中位线的性质得，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可作答． （2）先由是的中位线，是的中线，得出，证明四边形为平行四边形，再结合有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵是的中位线， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形为矩形，理由是： ∵是的中位线，是的中线， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为矩形． 21. 如图，直线l1的解析式为，且与x轴交于点D，直线的解析式为，经过A、B两点，且交直线于点C． （1）直接写出点D的坐标； （2）直接写出的解析式； （3）直接写出使得的x的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入求出x的值，即可求出点D的坐标； （2）利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）联立直线与直线解析式，根据图像，由交点坐标即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为； 小问2详解】 解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：令， 解得：， 把代入得：， ∴点C的坐标为， 由图像可得：时，直线在直线的下方，则， 时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合应用，求一次函数解析式，一次函数交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出函数解析式． 22. 阅读材料：在平面直角坐标系中，已知x轴上两点，的距离记作．若是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图，过A，B 分别向x轴、y轴作垂线和 垂足分别是 ，直线交于点Q，在 中， ，， ∴，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式为： ； （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为 ； （2）利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时P 点的坐标； 【答案】；（1）；（2）最小值为， 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，勾股定理的应用，轴对称的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，理解题意是关键． （1）直接利用两点之间距离公式计算即可； （2）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，，此时最小，再利用两点之间的距离公式计算即可；求解为，可得． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （1）点，之间的距离为：； 故答案为：5； （2）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于， ∴，此时最小， 最小值为， 设为， ∴， 解得：， ∴为， 当，则， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． （1）点B的坐标为___________； （2）连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； （3）当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 【答案】（1） （2）4 （3）或或 【解析】 【分析】（1）过点C作于点H，然后根据题意可得点，进而问题可求解； （2）由题意得，则有，当点D、E、P三点共线时，可知，然后问题可求解； （3）由题意可知当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时，然后分类求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作于点H，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示， 由题意得：，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 当点D、E、P三点共线时，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，D、E、P三点在一条直线上； 【小问3详解】 解：由（2）及题意可知：， 当点P运动到的中点时，则有， 解得：， ∴， 当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分： ①当为对角线时，则根据平行四边形的性质可得，， ∴， ②当以为对角线时，即， ∴， ∴； ③当以为对角线时，即，，如图所示，过点M作于点N， ∴， ∴， ∴ ∴综上所述：当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则点或或． 【点睛】本题主要考查图形与坐标、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 24. 2023年5月17日，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星在西昌发射场成功发射．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型．该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍．已知“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个． （1）求最多购进“卫星”模型多少个？ （2）求售完这批模型可以获得的最大利润是多少？ （3）如果“卫星”模型的进价上调m元，“火箭”模型的进价不变，但限定“卫星”慔型的数量不少于“火箭”模型的数量，两种模型的售价均不变．航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值． 【答案】（1）最多购进“卫星”模型个 （2）售完这批模型可以获得的最大利润是2665元 （3） 【解析】 【分析】（1）设购进卫星模型x个，则购进火箭模型个，根据“购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍”列出不等式求解即可； （2）设利润为W，根据题意，列出W关于x的表达式，再根据一次函数增减性即可进行解答； （3）先求出x的取值范围，再列出W关于x的表达式，最后根据函数的增减性进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：设购进卫星模型x个，则购进火箭模型个， ， 解得：， ∵x为整数， ∴最多购进“卫星”模型个； 【小问2详解】 解：设利润为W， ， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，， 即售完这批模型可以获得的最大利润是2665元． 【小问3详解】 解：根据题意可得：， 解得：， ∴， ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵最大利润是2399元， ∴当，， 解得：； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵最大利润是2399元， ∴当，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当，即时， ，（不符合题意，舍去）； 综上：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出不等式和一次函数表达式，掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$