第一章 有理数知识归纳与题型突破（单元复习，14类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（冀教版2024）

第一章 有理数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 二、有理数 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． (2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． (3)多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 三、有理数的运算 1、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 四、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 五、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 03 题型归纳 题型一　相反意义的量 例1.（2024·湖北宜昌·模拟预测）若长江水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作 ． 3．（2024·广西南宁·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入元记作元，那么支出元记作 元． 题型二　求一个数的相反数、绝对值、倒数 例2．（2024·四川达州·中考真题）有理数2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 巩固训练 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 2．（23-24七年级上·湖北随州·期末）的相反数是 ，的绝对值是 ，2023的倒数是 ． 3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 题型三　化简多重符号 例3. （23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）化简： ， ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·甘肃天水·期中）化简： ； ； ； ． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ． 3.（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，a的相反数为 ，若与互为相反数，则a为 题型四　绝对值的非负性 例4. （23-24六年级下·全国·假期作业）若，则 ， ． 巩固训练 1.（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 3.（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 题型五　有理数大小的比较 例5.（2024六年级下·上海·专题练习）比较大小： （填“”或“”或“” ． 巩固训练 1.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）比较大小： （填“”或“”）． 2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）比较大小 （填“>”“<”或“=”） 3.（23-24六年级下·上海杨浦·期中）比较大小： （请用“<”、“>”或“＝”填空）． 题型六　数轴的三要素及其画法 例6．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广西来宾·期中）下列选项中，数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）下列数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型七　用数轴上的点表示有理数 例7.（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上画出表示下列各数表示的点(请标注原数)，并用“”把这些数连接起来． ，，0，， 巩固训练 1．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）把下列各数分别表示在数轴上，并用“＞”号把它们连接起来：，，，0，． 2．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知下列有理数：． (1)这些有理数中，整数有_____________个，非负数有_____________个． (2)画出数轴并在数轴上标出上述有理数，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）现有一组数：、、、、、，请回答下列问题： (1)这组数中所有负数的和为______； (2)若一组数中的服大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为______； (3)画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再用“<”连接起来. 题型八　数轴上两点之间的距离 例8. （23-24七年级下·上海·阶段练习）数轴上，点所对应的实数分别是2和，则两点的距离 ． 巩固训练 1.（2024·江苏徐州·二模）如图，数轴上A、B两点之间的距离为 ．      2.（2024·陕西西安·三模）如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且，则点B表示的数是 ． 3.（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 题型九　有理数的加减中的简便运算 例9. （2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 巩固训练 1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 2.（2023·全国·七年级假期作业）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 3.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 题型十　有理数的乘除混合运算 例10. （2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 巩固训练 1.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． 2.（2023·全国·九年级专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 3.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型十一　含乘方的有理数四则混合运算 例11. 计算： 巩固训练 1.（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：． 2.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型十二　有理数的混合运算中错题复原问题 例12. （2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？ 原题是：计算： 这是小刚的计算过程： 解：原式    第一步         第二步             第三步 ．            第四步 观察小刚的计算过程回答下列问题： (1)小刚在进行计算第一步时运用了______律； (2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？ (3)请你给出正确的解答过程． 巩固训练 1.在计算时，小明的解法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________； (2)请在下面给出正确的解答过程． 2.阅读下列解题过程： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 解答问题： (1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______． (2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议． 3.（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题 (1)计算： (2)认真阅读材料，解决问题： 计算： 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 题型十三　用科学记数法表示绝对值大于1的数 例13. （2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为牛．将用科学记数法表示应为 ． 巩固训练 1.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次．其中，万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的约有人，将用科学记数法表示为 ． 3.第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于年4月日至日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据亿用科学记数法表示为 ． 题型十四　有理数混合运算中的实际应用 例14.（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表 标准质量的差（单位：千克） 0 2 3 箱数 1 3 2 2 2 4 1 请解答下列问题： (1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重 千克． (2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？ 巩固训练 1.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨) 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 表中星期五的进出数被墨水涂污了． (1)请你算出星期五的进出数； (2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？ 2.（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？ (2)离开下午出发点最远时是__________千米； (3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？ 3.（2023·浙江·七年级假期作业）出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米） (1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？ (2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示） (3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 二、有理数 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． (2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． (3)多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 三、有理数的运算 1、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 四、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 五、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 03 题型归纳 题型一　相反意义的量 例1.（2024·湖北宜昌·模拟预测）若长江水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，根据水位升高记为正，则水位下降记为负即可得出答案． 【详解】解：若长江水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作， 故选：C ． 巩固训练 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可． 【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年； 故答案为：． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：零上记作，则零下记作．， 故答案为：． 3．（2024·广西南宁·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入元记作元，那么支出元记作 元． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：收入元记作元，那么支出元记作元， 故答案为：． 题型二　求一个数的相反数、绝对值、倒数 例2．（2024·四川达州·中考真题）有理数2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 巩固训练 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 / / 【分析】主要考查相反数，绝对值，倒数的概念及性质．只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据相关的定义进行解答即可． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是，的倒数是． 故答案为：；；． 2．（23-24七年级上·湖北随州·期末）的相反数是 ，的绝对值是 ，2023的倒数是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了倒数、绝对值、相反数等知识点，掌握乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0成为解题的关键． 根据倒数、绝对值、相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是3，2023的倒数是 故答案为：，3，． 3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数相反数绝对值的概念，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：的倒数是，的相反数是，的绝对值是． 故答案为：；；． 题型三　化简多重符号 例3. （23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 6 【分析】 本题考查的是化简双重符号，化简绝对值，利用相反数，绝对值是含义化简即可. 【详解】解：，； 故答案为：， 巩固训练 1．（23-24七年级上·甘肃天水·期中）化简： ； ； ； ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义化简相应符号即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是利用相反数的定义化简符号． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ． 【答案】 3 20 【分析】负数的绝对值等于其相反数，正数与0的绝对值等于其本身，据此即可作答． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）， 故答案为：，，3，20，，，，． 【点睛】本题主要考查了符号的多重化简，绝对值以及相反数等知识，掌握解答的方法是解本题的关键． 3.（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，a的相反数为 ，若与互为相反数，则a为 【答案】 1 【分析】本题考查了相反数及化简多重符号，先根据化简多重符合得，则可得a的相反数，根据相反数的性质得，进而可得，熟练掌握相反数的定义及化简多重符合的运算法则是解题的关键． 【详解】解：若，则，即：， a的相反数为：， 若与互为相反数，则，即：， 故答案为：；1． 题型四　绝对值的非负性 例4. （23-24六年级下·全国·假期作业）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 巩固训练 1.（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 3.（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型五　有理数大小的比较 例5.（2024六年级下·上海·专题练习）比较大小： （填“”或“”或“” ． 【答案】 【分析】利用绝对值性质及相反数定义将两数计算后进行比较即可．本题考查绝对值性质，相反数的定义及有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）比较大小 （填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查的是两个负数的大小比较，先比较两数的绝对值，再根据绝对值大的反而小即可得到答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴ 故答案为：． 3.（23-24六年级下·上海杨浦·期中）比较大小： （请用“<”、“>”或“＝”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较方法； 先化简，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】 故答案为：． 题型六　数轴的三要素及其画法 例6．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴的概念，熟练掌握数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，是解题的关键． 根据数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，逐一判断选项，即可． 【详解】A中的没有单位长度，错误； B中没有正方向，错误； C中满足原点，正方向，单位长度，正确； D中没有原点，错误． 故选C． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广西来宾·期中）下列选项中，数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】 、数轴无原点，此选项不符合题意； 、数轴位长度不统一，此选项不符合题意； 、数轴方向不统一，此选项不符合题意； 、数轴表示正确，此选项符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了数轴三要素，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键． 2．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可． 【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B、正确； C、不正确，错误原因：缺少正方向； D、不正确，错误原因：缺少了原点． 故选：B． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）下列数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的认识，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此作答即可． 【详解】 解：A、  的正方向错了，故该选项是错误的； B、  的数值标错了，故该选项是错误的； C、  没有正方向，故该选项是错误的； D、  原点、正方向、单位长度都正确，故该选项是正确的； 故选：D 题型七　用数轴上的点表示有理数 例7.（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上画出表示下列各数表示的点(请标注原数)，并用“”把这些数连接起来． ，，0，， 【答案】见解析 【分析】本题考查了化简多重符号、绝对值、有理数的乘方、利用数轴比较有理数的大小，先将各数化简，再表示在数轴上，由数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，，， 将各数表示在数轴上如图所示： ， 由数轴可得：． 巩固训练 1．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）把下列各数分别表示在数轴上，并用“＞”号把它们连接起来：，，，0，． 【答案】数轴见解析； ． 【分析】本题考查了相反数，绝对值，数轴，有理数的乘方和有理数数的大小比较等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．先根据相反数，绝对值，有理数的乘方进行计算，再在数轴上表示出各个数，最后比较大小即可． 【详解】解： ． 2．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知下列有理数：． (1)这些有理数中，整数有_____________个，非负数有_____________个． (2)画出数轴并在数轴上标出上述有理数，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【答案】(1)3，3 (2)图见解析， 【分析】本题考查有理数的分类，在数轴上表示数并比较大小： （1）根据有理数的分类作答即可； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上右边的数比左边的数大，比较大小即可． 【详解】（1）解：在中，整数有，共3个，非负数有，共3个； 故答案为：3，3； （2）数轴表示如图： 由图可知：． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）现有一组数：、、、、、，请回答下列问题： (1)这组数中所有负数的和为______； (2)若一组数中的服大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为______； (3)画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再用“<”连接起来. 【答案】(1) (2)8 (3)数轴表示见解析， 【分析】本题考查了极差、数轴以及有理数大小比较的方法． （1）找出其中的负数，再根据有理数加法法则计算即可； （2）根据极差的定义解答即可； （3）把各点表示在数轴上，根据“在数轴上右边的数总比左边的数大”用“＜”号连接即可． 【详解】（1）， ∴这组数中所有负数的和为：， 故答案为：； （2）若一组数中的最大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为： ， 故答案为：8； （3）如图所示： 故． 题型八　数轴上两点之间的距离 例8. （23-24七年级下·上海·阶段练习）数轴上，点所对应的实数分别是2和，则两点的距离 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点间距离公式是解题关键．根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可． 【详解】解：∵在数轴上，点所对应的实数分别是2和， ∴两点的距离． 故答案为：5． 巩固训练 1.（2024·江苏徐州·二模）如图，数轴上A、B两点之间的距离为 ．      【答案】4 【分析】本题考查了数轴间的距离，根据A、B两点分别表示为，再求出A、B两点之间的距离，即可作答． 【详解】解：依题意，由数轴得出A、B两点分别表示为， 则， ∴数轴上A、B两点之间的距离为， 故答案为：4 2.（2024·陕西西安·三模）如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点的距离，根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：由数轴，点A表示的数为1，又点B在数轴上点A的左边，且， ∴点B表示的数是， 故答案为：． 3.（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 【答案】，或 【分析】本题主要考查数轴的知识，解题的关键是利用掌握分类讨论思想，以及两点间的距离表示方法． 利用分类讨论思想，当点在线段上时且时，设点表示的数为，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点在线段上时且时，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点运动到点的左边时，那只有，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数． 【详解】设点表示的数为，当点在线段上时且时，如图所示， ∵M，N两点所表示的数分别是1、， ，， ， ， 解得：； 当点在线段上时且时，如图所示， ， 解得：； 当点运动到点的左边时，那只有，如图所示， ， 解得：； 故点表示的数为，或． 故答案为：，或． 题型九　有理数的加减中的简便运算 例9. （2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可； （2）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可； （3）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，先把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．方法总结：（1）为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．（2）注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．（3）当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便． 巩固训练 1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算，即可解答； （2）根据有理数的加减运算法则计算，即可解答； （3）利用加法的结合律和交换律，即可解答； （4）利用加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算法，解决本题的关键是利用加法运算律进行简算． 2.（2023·全国·七年级假期作业）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)17 (3) (4)10 【分析】（1）先去括号、化简绝对值，再计算有理数的减法即可得； （2）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得； （3）先将小数化为分数，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得； （4）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解题关键． 3.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 (5) (6)5 【分析】（1）先去绝对值，再按照有理数的加法运算顺序计算． （2）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （3）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （4）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （5）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （6）先去小括号，后去中括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．是解答此题的关键． 题型十　有理数的乘除混合运算 例10. （2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计算即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可； （3）先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键． 巩固训练 1.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算． 2.（2023·全国·九年级专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3)2 (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算、有理数的乘法运算律、两个有理数的乘法运算．掌握各运算法则是解题关键． 3.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 题型十一　含乘方的有理数四则混合运算 例11. 计算： 【答案】 【分析】按照先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法的运算顺序求解即可． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 巩固训练 1.（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 2.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的乘法运算，加减法运算，乘法分配律即可求解； （2）根据含有乘方的有理数运算法则即可求解； （3）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解； （4）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则，有理数混合运算法则是解题的关键． 题型十二　有理数的混合运算中错题复原问题 例12. （2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？ 原题是：计算： 这是小刚的计算过程： 解：原式    第一步         第二步             第三步 ．            第四步 观察小刚的计算过程回答下列问题： (1)小刚在进行计算第一步时运用了______律； (2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？ (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)乘法分配 (2)二 (3)见解析 【分析】（1）观察运算过程可知第一步运用了乘法分配律； （2）观察运算过程可知第二步运用了除法分配律，而除法没有分配律，由此即可得到答案； （3）根据有理数四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，小刚在进行计算第一步时运用了乘法分配律， 故答案为：乘法分配； （2）解：由题意得，在第二步的时候，运用了除法的分配律，而除法没有分配律，从而导致运算结果错误， 故答案为：二； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数四则混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键，注意除法没有分配律． 巩固训练 1.在计算时，小明的解法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________； (2)请在下面给出正确的解答过程． 【答案】(1)一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算 (2)见解析 【分析】（1）观察小明的计算过程可以发现，第一步没有按照运算顺序计算，所以错误； （2）按照有理数混合运算顺序和法则计算即可． 【详解】（1）解：通过观察小明的计算过程发现，第一步在计算乘除的同级运算时，没有按照从左到右的顺序依次计算导致错误， 故答案为：一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，掌握有理数的混合运算顺序和法则是解题的关键．． 2.阅读下列解题过程： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 解答问题： (1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______． (2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议． 【答案】(1)二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正 (2)；建议：有括号先算括号内的（答案不唯一） 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可作答； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）根据有理数的混合运算法则可知： 解答过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是同级运算应按照从左到右顺序进行；第二处是第三步，错误的原因是同号相除结果应为正， 故答案为：二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正； （2） ， 建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键． 3.（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题 (1)计算： (2)认真阅读材料，解决问题： 计算： 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）先计算乘方，去绝对值符号，再结合乘法分配律进行有理数的加减运算即可计算求值； （2）根据题目中所给方法，将除法转换成乘法再利用乘法分配律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘方运算，绝对值，乘法分配律，熟练掌握相关运算法则与运算律是解题关键． 题型十三　用科学记数法表示绝对值大于1的数 例13. （2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为牛．将用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 巩固训练 1.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次．其中，万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：万． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 2.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的约有人，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3.第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于年4月日至日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 题型十四　有理数混合运算中的实际应用 例14.（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表 标准质量的差（单位：千克） 0 2 3 箱数 1 3 2 2 2 4 1 请解答下列问题： (1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重 千克． (2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？ 【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重5千克． (2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克． (3)这15箱苹果全部售出共可获利3068元． 【分析】（1）从表格中找出与标准质量差值中的最大与最小的数据，用最大数减去最小数，即可得到； （2）用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结果为正，则超过标准；若结果为负，则不足标准； （3）用单价乘以总质量，即可得到答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克． （2）解：（千克）， 答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克． （3）解：（千克）， （元）， 答：这15箱苹果全部售出共可获利3068元． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键． 巩固训练 1.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨) 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 表中星期五的进出数被墨水涂污了． (1)请你算出星期五的进出数； (2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？ 【答案】(1)星期五的进出数为吨 (2)1160元 【分析】（1）用这周进出数之和减去除星期五的进出数，即可得； （2）先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得． 【详解】（1）解：周五的进出数为 (吨)， 答：星期五的进出数为吨． （2）解：这一周的装卸费为：(元)． 【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点． 2.（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？ (2)离开下午出发点最远时是__________千米； (3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边 (2)26 (3)元 【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边； （2）分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可； （3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和． 【详解】（1）解：小李离下午出车点的距离（千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边； （2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； ∵， ∴离开下午出发点最远时是26千米， 答：离开下午出发点最远时是26千米； （3）解：∵这天下午小李所走路程 （千米）， ∴这天下午共需付油钱（元）， 答：这天下午共需支付元油钱． 【点睛】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和． 3.（2023·浙江·七年级假期作业）出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米） (1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？ (2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示） (3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱） 【答案】(1)千米 (2)升 (3)元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得答案； （3）将每次收入相加可求解． 【详解】（1）解：（千米） 答：距离出车时地点为30千米． （2）解：（升） 答：小明共耗油升． （3）解：（元） 答：小王收入了元． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，理解题意，掌握有理数的加减混合运算的运算法则是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$