数学·2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)（含答题卡）

绝密★启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I卷 数 学 本试卷满分150分,考试时间120分钟 一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. _ 1.已知z一-1-i,则z一 __ 2 A.0 B.1 C.2 D.2 ( 2.已知命题:VxER,x十11;命题q:x>0,x一x.则 ) A.)和都是真命题 B.一)和q都是真命题 C.和都是真命题 吾夸 D.和q都是真命题 3.已知向量a,b满足al-1,a+2bl-2,且(b-2a)1b,则lb= ) 7 C = D.1 4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单 位:kg)并整理得下表: [900. [1000. [1100. [950. [1050. [1150. 亩产量 950) 1000) 1050) 1100) 1150) 1200) 将 6 12 18 30 24 频数 10 根据表中数据,下列结论中正确的是 ( ) A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% 班 C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5.已知曲线C:x^}+=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P为垂足,则线段 ( PP的中点M的轨迹方程为 ) -1(y0) B. -1(y0) -1(y0) 2024·新课标I卷第1页(共4页) 6.设函数f(x)=a(x+1)*}-1,g(x)=cosx+2ax.当xE(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g() ( 恰有一个交点,则a一 ~ A.-1 B C.1 D.2 52 ,AB-6,A.B-2,则AA与平面ABC所成角的正切 值为 ( ) B.1 C.2 D.3 8.设函数f(x)=(x十a)ln(x十b).若f(x)>0,则a{}十^{}的最小值为 B. C D.1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.对于函数/(x)-sin2x和g(x)一sin(2x-),下列说法中正确的有 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C./(x)与g(x)有相同的最小正周期 D./(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 10.抛物线C:y=4x的准线为/,P为C上动点.过P作A:x}十(y-4){}-1的一条切线,Q为 切点,过P作/的垂线,垂足为B.则 ( ) A./与A相切 B.当P,A,B三点共线时,PQ一15 C.当PB-2时,PAAB D.满足PA一PB的点P有且仅有2个 11.设函数f(x)-2x-3ax^十1.则 ( _ A.当a>1时,/(x)有三个零点 B.当a0时,x一0是/(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x一b为曲线y一/(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线一f(x)的对称中心 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.记S.为等差数列a.)的前n项和,若a十a.-7,3a。+a-5,则S。=_. 13.已知a为第一象限角,③为第三象限角,tana十tan③=4,tanatan③-v2十1,则sin(a十3) 14.在如图的4入4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有 种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是 11 213140 2. 22 33 42 二 _二 2 22 33 43 __ 2/ 34 44 2024·新课标I卷 第2页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+\③cosA=2. (1)求A; (2)若a-2./2bsinC-csin2B,求△ABC的周长. 16.(15分)已知函数/(x)一e-ax-a3. (1)当a一1时,求曲线v一f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围 1$7.(15分)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD-3,AD=5/3. ADC=90*,BAD=30{* (1)证明:EFPD; (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值 2024·新课标II卷 第3页(共4页) 18.(17分)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶 段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少 投中1次,则该队进入第二阶段,第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5 分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和,某参赛队由甲、乙两名队员组成 设甲每次投中的概率为力,乙每次投中的概率为,各次投中与否相互独立 (1)若,-0.4,q一0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率 (2)假设0~~q. (I)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛 (II)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 19.(17分)已知双曲线C:x^2-y2=m(m>0),点P(5,4)在C上,k为常数,0<<1.按照如下方 式依次构造点P(n一2,3,..):过P一作斜率为的直线与C的左支交于点Q-,令P。为 Q关于y轴的对称点,记P.的坐标为(x,y). (2)证明:数列x.一y)是公比为 (3)设S.为△P.P.P。的面积.证明:对任意正整数n,S.一S.. 2024·新课标II卷 第4页(共4页)2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 考生 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂下面的缺考标 (正面朝上，请勿贴出虚线方框) 禁填 记。□ $ 1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写请楚，并认真核实对监考员所粘贴的条形码上的准考证号，姓名、考场 和座位号是否准确无误。 注意事 2.选择题必须使用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选择其它答案涂黑。非选择题必 须使用0.5毫米黑色签字笔填写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、试题纸上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁、完整，严禁折叠，严禁使用涂改液，胶带纸和修正带。 5.正确填涂■ 补 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分」 1.[A]CB]CCTCD] 3.[A][B[C][D] 5.[A]B][C][D] 7.[A][B[C][D] 2.[A][B[C][D] 4.[A][B[C[D] 6.[A][B[C][D] 8.A][B][C][DJ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 炉 9.[A][B][C][D10.[A][B][C[D]1L.[A][B][C][D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 13. 14. 蜜 四、解答题：本题共5小题，共77分， 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第1页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第2页（共4页） ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17.(15分) B 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 ◆ 数学答题卡第3页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第4页（共4页）2024年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅱ卷) 则OA-号×V6=了-2，因为P01年面ABC,所以 ∠PAO是A1A与平面ABC所成的角，在Rt△PAO中， 1.C|z=|-1-i=√(-1)+(-1)2=√2，故选C. m∠PA0-识-1，故选B 2.B通解因为Vx∈R,x十1|≥0，所以命题p为假命 题，所以p为真命题.因为x3=x,所以x3一x=0,所以x (.x2-1)=0,即x(x十1)(x-1)=0,解得x=-1或x=0 或x=1,所以了x>0,使得x3=x,所以命题g为真命题， 所以门q为假命题，所以p和q都是真命题，故迹B. 优解（特殊值法）在命题p中，当x=一1时，x十1=0， 所以命题p为假命题，一p为真命题.在命题g中，因为立 0 方根等于本身的实数有-1,0,1，所以了x>0,使得x3=x, 所以命题g为真命题，一9为假命题，所以一p和g都是真 B 命题，故选B. 8.C等价转化法由f(x)≥0及y=x十a,y=ln(x十b)单 3.B由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b 调递增，可得x十a与ln(x十b)同正、同负或同为零，所以 =2a·b.将a+2b=2的两边同时平方，得a2+4a·b+ 62=4,即1+2+46=1+6b2=4,解得b12=2,所 当ln(r+)=0时正+a=0,即二0，所以=a十1 以b-号，长选以 则。2+6=a2+a+1D=2(a+)‘+>≥故选C 4.C对于A,因为前3组的频率之和0.06十0.12十0.18= 9.BC直接法对于A,令f)=0,则x=经，kEZ. 0.36<0.5,前4组的频率之和0.36+0.30=0.66>0.5， 又g(）≠0，故A错误： 所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1050， 1100),故A不正确： 对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确： 对于B100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确： 例为6+12十18+30×100%=66%，故B不正确： 对于Dx)图象的对称轴方程为2红=受十x,k∈乙，即女 100 对于C,因为1200-900=300,1150-950=200，所以100 -吾十受，k∈乙，g)图象的对称轴方程为2-吾-受 块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间，故C 正确： 十x,k∈么，脚x-誓+受，k∈乙，故)与8)的因象 对于D,10块稻回亩产量的平均值为0×(925×6+975 的对称轴不相同，故D错误.故选BC 10,ABD数形结合法对于A,易知1：x=一1，故I与⊙A ×12+1025×18+1075×30+1125×24+1175×10)= 相切，A正确： 1067(kg),故D不正确.综上所述，故选C. 对于B,A(0,4),⊙A的半径r=1,当P,A,B三点共线 5.A通解（代入法）设M(xo,yo),则P(x0,2yo),固为点 时，P(4,4),所以|PA=4,|PQ|=√PA-r2= P在曲线C上.所以号+(20)2=16(>0)，即6+4 √-1=√15，故B正确： 对于C,当|PB=2时，P(1,2),B(-1,2)或P(1,一2)， 1(>0),所以线段PP的中点M的轨连方程为+ B(一1，一2)，易知PA与AB不垂直，故C错误： 对于D,记抛物线C的焦点为F,连接AF,PF,易知F(1, =1(y>0),故选A. O),由抛物线定义可知PF=PB,因为PA=PB, 优解（数形结合法）由题意可知把曲线C上所有点的纵 所以PA=|PF,所以点P在线段AF的中垂线上，线 坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨 迹，曲线C为半國，则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)， 段AF的中套线方程为y=子+号，即x=4)一号，代入 其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A. y2=4x可得y2-16y+30=0,解得y=8士√34，易知满 6.D由题意知f(x)=g(x).则a(x十1)2-1=cosx十2ax, 足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD. 即cosx=a(x2+1)-1.令h(x)=cosx-a(x2+1)+1.11.AD由题可知，f(.x)=6.x(x-a). 易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在（一1,1）上有唯一零 对于A,当a>1时，由f(x)<0得0<x<a,由f(x)>0 点，所以h(0)=0,即cos0一a(0+1)+1=0,得a=2,故 得x<0或x>a,则f(x)在(-c∞，0)上单调递增，在(0， 选D. a)上单调递减，在(a,十c∞)上单调递增，且当x→一o∞时， 7,B补形法设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h,三条侧 f(x)-o∞，f(0)=1,f(a)=-a3+1<0,当x+∞ 棱延长后交于一点P,作POL平面ABC于点O,PO交平 时，f(x)→十∞，故f(x)有三个零点，A正确：对于B,当 面A1B1C于点O,连接OA,OA1,如图所示.由AB= a<0时，由f(x)<0得a<x<0,由f(x)>0得x>0 3A,B,可得P0,=2,P0=号，又56ABC=合X2 或x<a,则f(x)在(-∞，a)上单调递增，在(a,0)上单调 递减，在(0，十∞)上单调递增，故x=0是f(x)的极小值 点，B错误； ×号=，5△=×62×号=93，所以正三校台 2 对于C,当x→十oo时，f(x)→十∞，当x→一o∞时，f(x) →一0，故曲线y=∫(x)必不存在对称轴，C错误： ABC-AB1C的体积V=Vp-ABC-Vp-AB,C=3 对于D,解法一（配方、平移）f(x)=2x3-3ax2十1= 9眉×-专××=号解得h=g故P0=号 2(x-受)）°-22(-号)+1-受，令1=x-号，则 h=2√3.由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心， f)可转化为g0=2-受7+1-受由y=2-是 数学答案一4 a21为奇函数，且其图象关于原点对称，可知g(t)的图象 国为0<A<,所以A=吾或A-爱 关于点(0,1-受)对称，则f(x)的国象关于点（受1 当A=看时，inA十3c0sA=2成立，持合条件： 受)对称，故存在a=2,使得点1，f1)》为曲线y=f() 的对称中心，D正确.故选AD, 当A-晋时，inA十Bc0sA=2不成立，不特合条件. 解法二（二级结论）任意三次函数f(x)=a.x3十bx”十cx 故A=吾 十da≠0)的圈象均关于点（一品f(-品）)成中心对 解法三（同角三角函数的基本关系法）第1步：利用同 称，D正确.故选AD. 角三角函数的基本关系求cosA的值 12.95解法一（基本量法）设{an}的公差为d,由a3十a4 由sinA+W3cosA=2,得sinA=2-√3cosA, =a1+2d+a1+3d=2a1+5d=7,3a2+as=3(a1+d)+ 两边司时平方，得sin2A=4一4V3cosA十3cosA a1十4d=4a十7d=5,解得a1=-4.d=3,则S1o=10a1 1-cos2A=4-43cos A+3cos"A, +45d=95. 整理，得3一43c0sA+4c0s2A=0. 解法二（利用下标和性质）设(am}的公差为d,由a3十a4 =a2十a5=7,3a2+a5=5,得ag=-1,a5=8,故d= 所以5-20sA)2=0,剩emsA-复 a5-4=3,a6=11,则S0=1a10×10=5(a5十a) 第2步：求角A的大小 5-2 2 5×19=95. 因为0<A<,所以A=若 13.-2② 3 由题知an(a十)=-tana·anB1-2-】 tan a+tan B 4 (2)第1步：利用正弦定理求B的值 由2 bsin C=csin2B,得v2 bsin C=2 csin Bcos B, =-2V2,即sin(a十)=-22cos(a十B),又sin(a+B) +cos2(a十》=1，可得sin(a+=±2y2.由2k<a< 由正孩定理，得2bc=2 cbeos B.所以cosB=号。 3 2kx+受，k∈Z,2mx+x<g<2mx+经，m∈Z,得2k+ 因为0<B<,所以B=开 第2步：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理 m)x十x<a十2(k+m)π十2x,k十m∈Z.又tan(a十3) 求sinC的值 <0,所以a十B是第四象限角，故sn(a十m=-2三 3 C=-A+B)=登， 14.24112第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同 的选法：第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的 数，共有3种不同的选法：第三步，从第三行选一个与第 一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法：第四步， -9×+×号-6+ 4 从第四行选一个与第一、二，三个数均不同列的数，只有1 第3步：求△ABC的周长 种选法， 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1 解法一（基本量法）由正然定理ABC·得 =24. 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上 h=asin B 2sin 4 =22, 的数字分别为1,2,3,4.再按行分析，第一、二、三、四行个 sin A 位上的数字的最大值分别为1,3,3,5，故从第一行选21， 从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位 7π 上的数字之和最大，故选中方格中的4个效之和的最大 c=asin C 值为21+33+43十15=112. sin A 2in2-6+瓦. 15.解：(1)解法一（辅助角法）第1步：利用辅助角公式化 sin音 简已知等式 所以△ABC的周长为a+b+c=2+√6+3√②. 由inA+v5cosA=2,得2sinA+号。 2c0sA=1, 解法二（整体思想法）由正弦定理品A品BC a+b+c 所以sim(A+受）=1. 24 得in A sin A十mB+sin C sin君 第2步：判断角的范国，求出角A的大小 因为0<A<,所以背<A+号<号， 所以a+十(=4(nA十snB+m0=4×(合+号+ 所以A+号=受故A=吾 5+②)=2+6+32， 解法二（同角三角函数的基本关系法）第1步：利用同角 所以△ABC的周长为2十√6+3v2. 三角函数的基本关系求sinA的值 16.解：(1)第1步：求当a=1时函数的解析式与导函数 由sinA+√3cosA=2,得v3cosA=2-sinA, 当a=1时，f(x)=e-x-1,则f(x)=e-1. 两边同时平方，得3cos2A=4-4sinA+sin2A, 第2步：求切线的斜率与切，点坐标 则3(1-sinA)=4-4sinA十sin2A, 则f(1)=e一1. 整理，得1一4sinA十4sin2A=0. f(1)=e一2，所以切，点坐标为(1，e一2) 所以(1-2sinA)2=0,则sinA=2 1 第3步：求切线方程 所以切线方程为y-(e-2)=(e一1)(x一1)，即(e-1)x 第2步：求角A的大小 -y-1=0. 数学答案-5 (2)第1步：求导 易知函数f(x)的定义城为R,f(x)=e一a. 第2步：讨论西数的单调性，求出极小值 当a≤0时，f(x)>0,函数f(x)在R上单调递增，无 极值： 当a>0时，由f(x)>0,得x>lna,由f(x)<0,得x< In a, 所以函数f(x)在区间（一oo,lna)上单调递减，在区间(ln a,十oo)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(lna)=a 连接PA,则PD=(0,35,-23),DC=(3,0,0),AP aln a-a. 第3步：根据极小值小于0求：的取值范围 (0,23,23),AF=(2,23,0). 由题意知a-alna-a3<0(a>0),等价于1一lna-a< 第3步：求面PCD和面PBF的法向量 设面PCD的法向量为n1=(x1,y11), 0(a>0). 解法一（导数法）令g(a)=1-lna-a2(a>0), 则 n1·PD=33y1-23z1=0 可取n1=(0,2,3). 则g(a）=1--2a=-2a2+a-1 m1·DC=3x1=0 a 设面PBF即面PAF的法向量为n2=(x2,y2,2), 2e-广+ n2·AP=23y2+252=0 ∠0， 则 可取n2=(W3,-1.1). m2·AF=2.x2+2V3y2=0 所以函数g(a)在(0，十∞)上单调递减， 第4步：求面PCD与面PBF所成二面角的余弦值的绝 叉g(1)=0,故当0<a<1时，g(a)>0:当a>1时，g(a) 对值 <0. n1·n2 1 故实数a的取值范国为(1，十c∞). 1cos(n1·n2)川=n1·n2=后 解法二（图象法）由1-lna-a2<0(a>0),得lna> 第5步：利用同角三角函数的基本关系求得结果 a2+1(a>0). 如图为函数y=lna与y=一a十1在区间(0，十∞)上的 故面PCD与面PBF所成二面角的正弦值为V√1一丽 大致图象， -8w65 651 18.解：(1)第1步：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率 y=ln a 设A=“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)=1一(1 -0.4)3=0.784. 第2步：计算乙在第二阶段至少得5分的概率 设A2=“乙在第二阶段至少得5分”，则P(A2)=1一(1 0.5)3=0.875. y=-2+l(a>0 第3步：计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率 设A=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A:) 由图易知当a>1时，lna>-a2+1,即1-lna-a2<0. =P(A1)·P(A2)=0.686. 所以实数a的取值范国为(1，十o○) (2)(|)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在 17.解：(1)第1步：证明EF⊥AE 队得15分的概率 由题AE=号AD=2尽，AF=AB=4,又∠BAD 设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率 为P甲， 30°，所以由余弦定理得EF2=AE2十AF2-2AE·AF· 则Pp=[1-(1-p)3]·g3=pg3·(3-3p+p2). c0s30°=4，故EF-2. 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲，乙所在队得15分 又EF2+AE2=AF2,所以EF⊥AE. 的概率 第2步：证明EF⊥PD 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率 由EF⊥AE及翻折的性质知EF⊥PE,EF⊥ED, 为P乙， 又ED∩PE=E,ED,PEC面PED,所以EF⊥面PED. 则Pz=[1-(1-g)3]·p3=qp3·(3-3g+q2). 第3步：比较P与P乙的大小 又PDC面PED,所以EF⊥PD. (2)第1步：证明PE⊥面ABCD 则P甲-Pz=pg(3g2-3pg2+p2g2-3p2+3p2q-p2g2) =3pg(g-p)·(p+4-pq). 如图，连接CE,由题，DE=33,CD=3,∠CDE=90°，故 由0<p<≤1，得q-p>0,p十g-g=p十g(1-p)>0, CE=√DE+CD=6. 所以Pw一Pz>0,即P甲>P乞· 又PE=AE=25,PC=43,所以PE2+CE2=PC2,故 第4步：做决策 故应该由甲参加第一阶段比赛。 PE⊥CE. 又PE⊥EF,CE∩EF=E,CE,EFC面ABCD,所以PE (Ⅱ)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的 比赛成簽的数学期望 ⊥面ABCD. 若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的 第2步：建立空间直角坐标系，得到相关向量的坐标 所有可能取值为0,5,10,15. EF,ED,PE两两垂直，故以E为原点，EF,ED,PE所在 P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-g)3, 直线分别为T,y,:轴建立空间直角坐标系，则P(0,0, P(X=5)=[1-(1-p)3]·C·g·(1-q)2, 23),D(0,33,0),F(2,0,0),A(0,-23,0),C(3,3 P(X=10)=[1-(1-p)3]·C号·g2·(1-q), 5,0), P(X=15)=[1-(1-p)3]·C3g, 数学答案一6 所以E(X)=[1-(1-p)3]·[15y(1-g)2+30g2(1-q) +15g3]=[1-(1-p)3]·15g=15pg(p2-3p+3). (xn+1一y+1)(xm-yw)+9 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛 1 成绩的数学期望 Iw十1一ym十1L (xw一yn)(.n+1一ym+1)+9 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的 =乙g+1一+1 所有可能取值为0,5,10,15. x:一m 同理，可得E(Y)=15pg(g2-3g十3). 第3步：比較E(X)与E(Y)的大小 即数列红，一是公比为芒的等北款列。 E(X)-E(Y)=15pg(p2-3p-g2+3q)=15pg· (3)解法一 由(2)知，数列(xm一ym}是首项为x1一y1=5 (g-p)·(3-p-g), 由0<p<q≤1，得q-p>0,3-p-q=3-(p+q)>0, 一4=1，公比为甘的学比载到。 所以E(X一E(Y)>0.即E(X)>E(Y). 第4步：做决策 令挡莫由0K1可知>1，时，一=， 故应该由甲参加第一阶段比赛， 19.解：将，点P1(5,4)的坐标代入C的方程得52一42=m,解 、又子-层=9，所以十y”, 得m=9,所以C:x2-y2=9. 可得xn= 9+12w-2 9-12w-2 )过点P(6,40且斜率=号的直线方程为y=之x 21”-1厂ym 24"-1 /9+t2m-29-12m-2 5)十4. 所以Pm ()( 与C的方程联立，消去y化简可得x2一2.x一15=0，即(z /9+2m+29-t2m+2 -5)(x十3)=0， P+2 21+1 2+1 所以点Q1的横坐标为一3，将x=一3代入直线方程，得y =0, 所以直线P,P+1的方程为工一n=二工(y一y, yW+1一y 图此Q1(-3,0),从而P2(3.0), 即(9+2m-1)x-(9-t2w-1)y-91"-1(1+0=0. 即x2=3,y2=0. 易知点Pm+2到直线PPn+1的距离 (2)解法一由题意，Pm(xm,ym),Pm+1(x+1:yw+1),Q (一xn+1,yw+1). (+）-0-…2-+0 设过点Pm(xm,ym)且斜率为k的直线为lm:y=k(x一Em) d √0+2T)+(9-7)产 十y 9-3(4-1)2(1+1)1 将ln的方程与C的方程联立，消去y化简可得(1一k2)x √(g+2m)+(9-0T) +(2k2xm-2kym)x-(k.xm-yn)2-9=0, 又|PP+1= 由根与系数的关系得一工+1十工，= 2kxn-2kyn 79+129+12-2)2 1-k2 、（)十(2—2》 2k2x。一2k十xn= 所以x+1=1-k2 k2xm十xm一2kyn 01-1)[(9-12”)2+(9+t2”) 1一k2 21" 又Q(一xm+1ym+1)在直线1上， 所以yn+1=k(一xm+1一xm)十ym=一kxn+1一kxm十yw… 则S,=2·1PP+1·4=9-1)31+D=36k3 42 (1-k2)2 从而xn+1一yn+1=xm+1十kxm+1十kxm一ym=(1十k) 即Sm为定值，所以Sm=Sw+1. 1+k-=0+).十2+，- 解法二由(2)知，数列(xm一ym}是首项为x1一y1=5一4 1-k2 1+k.(xm一 一1，公比为吉兰的学北载列。 1-k 易知，一≠0，所以能列红，一是公比为吉瓷的等比 令1告莫由01可知>1，时=， 又x后-y后=9，所以xm十ym= 99 数列. cg一ynt-7 解法二由题意，Pn(xn,yw),Pm+1(xw+1,ya+1),Q（ 可得rn= 9+12a-2 xm+1ym+1).由点Pw,Qm所在直线的斜率为k,可知k 21w-1ym= 9-1m-2 21"-1· =Yn-yw+1 所以Pn /9+12m-29-t2m-2y rH十xn+1 2·2·Pw+1（92w,2a）· 又点P。Q,都在C上，所以=9 x+1一y+1=9 P+2 9十t2m+29-12m+2 /9十12+9-120- 2,2P+（22 212 中1= 9+12m+49+2m-2 所以乙m+3一工n 21+221"-1_9-12m-1 易知xm一yn≠0， ym+3一y# 9-t2m+49-12m-2g+t2m+ 1+y#一y+ 21+2 2t-1 王w十无+L 9+2m+29+12m I-yn一ya+ xm+2一xn+1= 214+1 21”-9-12m+1 xg十xw+1 +2一yn+19-12+29-129+2+T' Xn十x+1十yn一yn+L 21m+1 21 工n十工n+1一ym十yn+1 9 即5+2二无=+3二，所以PP+s∥P+1P+2, La+1一yr+1十 ym+2一yn+1yw+3一yn m一ya 所以点Pn和点P+3到直线Pm+1P+2的距离相等， 9 因此△PP+1P+2和△P+1Pm+2Pm+3的面积相等，即 x#一yn十 xn+1ym十1 S=S+1 数学答案一7