精品解析：山西省吕梁市交城县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末质量监测试题 八年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在体育测试中，7名女生仰卧起坐的成绩如下（次/分钟）：37，42，42，45，43，45，45，则这组数据的众数是（ ） A. 37 B. 42 C. 43 D. 45 3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列说法：①一组对边相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ①②③ 5. 一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. OA＝OC B. AB＝CD C. ∠BCD＝90° D. AD//BC 7. 如图是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 气温（℃）不是时间（时）函数 B. 这一天最高气温14℃ C. 4时至14时气温（℃）随时间（时）的增大而增大 D. 24时气温最低 8. 如图，中，，，，是边上的中线，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 已知一次函数，函数值y随自变量x的增大而减小，且，则函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A开始向点B运动时，则矩形的周长（　　） A. 不变 B. 逐渐变大 C. 逐渐变小 D. 先变小后变大 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个图象经过点(1,1)，且在第一象限内函数值随着自变量的增大而减小的函数解析式：___. 12. 若式子，在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 13. 已知一次函数与的图像的交点为，则方程组的解是________． 14. 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题，为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图，则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为________．（填“”或“”） 15. 如图，已知正方形的边长为6，点E、F分别在边、上，若将正方形沿直线折叠，使得点A恰好落在边的中点G处，则_________． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． （3）已知是的函数，下表是与的部分对应值，请求出表中的值． …… 0 1 3 …… …… 3 7 …… 17. 如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：． 18. 文明其精神，野蛮其体魄．体育课上张老师对全班学生进行了体能测试，从跑步、立定跳远、跳绳三个方面进行了量化考核．小宇和小彬的各项成绩如下表（百分制）： 姓名 跑步 立定跳远 跳绳 小宇 85 95 90 小彬 95 86 88 若跑步、立定跳远、跳绳的成绩按确定体能综合成绩，则小宇和小彬谁的体能综合成绩高？请通过计算说明理由． 19. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与轴相交于点B． （1）求a，b值； （2）在轴上存在点C，使得的面积等于的面积，求点C的坐标． （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 20. 如图，在中，点D，E分别为BC，AC边上的中点，BE＝2DE，过点A作交DE延长线于点F． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）若∠ABE＝，AB＝4，求四边形ABDF面积． 21. 为迎接月日世界读书日，某书店制定了活动计划，下表是活动计划的部分信息： 书本类别 类 类 进价（元） 备注 ．用不超过元购进两类图书共本； ．类图书不少于本． （1）杨经理查看计划时发现：类图书的标价是类图书标价的倍．若顾客用元购买图书，能单独购买类图书的数量恰好比单独购买类图书的数量少本，请求出两类图书的标价； （2）经市场调查后，杨经理发现他们高估了“读书日”对图书销售的影响，便调整了销售方案：类图书每本按标价降低元()销售，类图书价格不变．那么书店应如何进货才能获得最大利润． 22. 综合与实践 初步感知： 在数学活动课上老师出示了如下的问题：如图1，已知正方形和等腰直角，且点E在正方形边上，点F在边的延长线上，连结，延长交于点M，求证：． （1）请你解决老师提出的问题； 深入探究： （2）勤学小组的同学将等腰直角绕着点B旋转到图2的位置，此时，连接，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 拓展应用： （3）在等腰直角绕着点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，如图3，若， ，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期末质量监测试题 八年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判断一个二次根式是否是最简二次根式，需同时满足两个条件：一是被开方数中不含分母，二是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，本选项错误； B、，不是最简二次根式，本选项错误； C、是最简二次根式，本选项正确； D、，不是最简二次根式，本选项错误. 故选：C． 2. 在体育测试中，7名女生仰卧起坐的成绩如下（次/分钟）：37，42，42，45，43，45，45，则这组数据的众数是（ ） A. 37 B. 42 C. 43 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记众数的定义是解题关键．根据众数的定义求解即可得． 【详解】解：在这组数据中，45出现的次数最多， 则这组数据的众数是45， 故选：D． 3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项进行计算即可判断． 【详解】A. ，设， 则，， 故A选项不能判断它是直角三角形，符合题意； B. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意； C. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意； D. ，设，则，， ，故能判断是直角三角形，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 下列说法：①一组对边相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：①两组对边相等的四边形是平行四边形，原说法不能判定一个四边形是平行四边形； ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形，原说法能判定一个四边形是平行四边形； ③一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，原说法不能判定一个四边形是平行四边形； ④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形，由于一组对边平行，那么一组邻角互补，再根据一组对角互补可得另一组邻角互补，进而可得两组对边互相平行，原说法能判定一个四边形是平行四边形． 故选：B． 5. 一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是求函数的解析式，根据正方形的周长公式：正方形的周长边长即可解决此题． 【详解】解：根据正方形的周长公式，得： 故选：C． 6. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A OA＝OC B. AB＝CD C. ∠BCD＝90° D. AD//BC 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO， ∴OA＝OB＝OD， ∵AO＝OC， ∴AO＝OB＝OD＝OC， 即对角线平分且相等， ∴四边形ABCD为矩形，不符合题意； B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD， 无法得出△ABO≌△DCO， 故无法得出四边形ABCD是平行四边形， 进而无法得出四边形ABCD是矩形，符合题意； C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO， ∴OA＝OB＝OD， ∵∠BCD＝90°， ∴AO＝OB＝OD＝OC， 即对角线平分且相等， ∴四边形ABCD为矩形，不符合题意； D、∵AD//BC，∠BAD＝90°,BO＝DO， ∴∠CBO＝∠ADO， ∵∠COB＝∠DOA， ∴△AOD≌△BOC（ASA）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 7. 如图是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 气温（℃）不是时间（时）的函数 B. 这一天最高气温是14℃ C. 4时至14时气温（℃）随时间（时）的增大而增大 D. 24时气温最低 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：A． 气温（℃）是时间（时）的函数，故原选项判断错误，不合题意； B． 这一天最高气温是8℃，故原选项判断错误，不合题意； C． 4时至14时气温（℃）随时间（时）的增大而增大，故原选项判断正确，符合题意； D． 4时气温最低，故原选项判断错误，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象，理解函数图象的坐标表示的意义，读懂图象是解题关键． 8. 如图，中，，，，是边上的中线，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理逆定理证明△ABC为直角三角形，∠B=90°，再根据勾股定理即可求出AD． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ABC为直角三角形，∠B=90°， ∵是边上的中线， ∴BD=， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理并灵活运用是解题关键． 9. 已知一次函数，函数值y随自变量x的增大而减小，且，则函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象特点即可判断，解题的关键是熟知一次函数，随着的增大而减小时． 【详解】∵一次函数，y随着x的增大而减小， ， ∴一次函数的图象经过第二、四象限； ∵ ∴， ∴图象与y轴的交点在x轴下方， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：B． 10. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A开始向点B运动时，则矩形的周长（　　） A. 不变 B. 逐渐变大 C. 逐渐变小 D. 先变小后变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C的坐标是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C的坐标为，根据矩形的周长公式即可得出，此题得解. 【详解】解：设点C的坐标为， 则， ， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个图象经过点(1,1)，且在第一象限内函数值随着自变量的增大而减小的函数解析式：___. 【答案】y=−x+2. 【解析】 【分析】首先根据增减性确定函数的类型，然后由已知点的坐标代入求得解析式即可． 【详解】由于y随x增大而减小，则k<0，取k=−1； 设一次函数关系式为y=−x+b； 代入(1,1)得：b=2； 则一次函数的解析式为：y=−x+2(k为负数即可). 故答案为y=−x+2. 【点睛】此题考查一次函数的性质，解题关键在于根据增减性确定函数的类型. 12. 若式子，在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件及分式有意义的条件是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 已知一次函数与的图像的交点为，则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点就是由它们组成的二元一次方程组的解．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：一次函数与的图像的交点为， 方程组的解是． 故答案为：． 14. 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题，为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图，则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了统计图和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．从图中数据的波动情况分析，即可求解． 【详解】解：从图中看到，乙的波动比甲的波动小， 乙的产量比较稳定， ， 故答案为：． 15. 如图，已知正方形的边长为6，点E、F分别在边、上，若将正方形沿直线折叠，使得点A恰好落在边的中点G处，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，全等三角形判定与性质以及勾股定理，连接，过点F作于点M，证明四边形是矩形，得到，再证明，得到，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点F作于点M， ∴， ∴四边形是矩形，， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． （3）已知是的函数，下表是与的部分对应值，请求出表中的值． …… 0 1 3 …… …… 3 7 …… 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）利用二次根式的混合运算法则及完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）先利用待定系数法求得与函数解析式为，再把代入求解即可． 【小问1详解】 解： 小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：设与函数解析式为 把分别代入中 ∴ ∴与函数解析式为 当时 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式及待定系数法法求一次函数，熟练掌握二次根式的混合运算法则和待定系数法法求一次函数是解题的关键． 17. 如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，结合题意得出，，从而推出四边形为平行四边形，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴； 又点分别是的中点， ，， 四边形为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形）， （平行四边形的对边相等）． 18. 文明其精神，野蛮其体魄．体育课上张老师对全班学生进行了体能测试，从跑步、立定跳远、跳绳三个方面进行了量化考核．小宇和小彬的各项成绩如下表（百分制）： 姓名 跑步 立定跳远 跳绳 小宇 85 95 90 小彬 95 86 88 若跑步、立定跳远、跳绳的成绩按确定体能综合成绩，则小宇和小彬谁的体能综合成绩高？请通过计算说明理由． 【答案】小彬，理由见解析 【解析】 【分析】根据加权平均数进行计算进而比较即可． 【详解】解：（分）， （分）， ∵， ∴小彬的体能综合成绩高． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的知识解答． 19. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与轴相交于点B． （1）求a，b的值； （2）在轴上存在点C，使得的面积等于的面积，求点C的坐标． （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是： （1）利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出b的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合的面积等于的面积，即可得出点C的坐标； （3）根据A、D的坐标，结合图象即可求得． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， 设， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得， ∴C的坐标为或； 【小问3详解】 解：设与y轴相交于D， 当时，， ∴， 由图象得， 当时，一次函数 的图象在正比例函数的图象的上方，且在直线的下方， ∴不等式的解集为． 20. 如图，在中，点D，E分别为BC，AC边上的中点，BE＝2DE，过点A作交DE延长线于点F． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）若∠ABE＝，AB＝4，求四边形ABDF的面积． 【答案】（1）见详解． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证四边形ABEF是平行四边形，再利用条件与三角形中位线定理证AB=BE，即可得到结论． （2）过点E作于点M，由菱形的性质可知BE=EF=AB=4，再证为等腰直角三角形，得到，然后由梯形的面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵点D、E分别为BC、AC边上的中点 ∴DE是的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又， ∴AB=BE， ∴为菱形． 【小问2详解】 解：过点E作于点M，，AB=4， DE=2， ∵四边形ABEF为菱形， ∴BE=EF=AB=4， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形ABDF的面积为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及梯形的面积公式等知识，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． 21. 为迎接月日的世界读书日，某书店制定了活动计划，下表是活动计划的部分信息： 书本类别 类 类 进价（元） 备注 ．用不超过元购进两类图书共本； ．类图书不少于本． （1）杨经理查看计划时发现：类图书的标价是类图书标价的倍．若顾客用元购买图书，能单独购买类图书的数量恰好比单独购买类图书的数量少本，请求出两类图书的标价； （2）经市场调查后，杨经理发现他们高估了“读书日”对图书销售的影响，便调整了销售方案：类图书每本按标价降低元()销售，类图书价格不变．那么书店应如何进货才能获得最大利润． 【答案】（1）两类图书的标价分别是元、元； （2）当书店进类本，类本时，书店获最大利润． 【解析】 【分析】（）设类图书的标价为元，则类图书的标价为元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设类进货本，则类进货本，利润为元，根据题意，列出不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数关系，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设类图书的标价为元，则类图书的标价为元， ， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴， 答：两类图书的标价分别是元、元； 【小问2详解】 解：设类进货本，则类进货本，利润为元， 由题意得， 解得， 又由题意得，， ∵， ∴， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最大值， ∴， 答：当书店进类本，类本时，书店获最大利润． 22 综合与实践 初步感知： 在数学活动课上老师出示了如下的问题：如图1，已知正方形和等腰直角，且点E在正方形边上，点F在边的延长线上，连结，延长交于点M，求证：． （1）请你解决老师提出的问题； 深入探究： （2）勤学小组的同学将等腰直角绕着点B旋转到图2的位置，此时，连接，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 拓展应用： （3）在等腰直角绕着点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，如图3，若， ，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则，，，即； （2）证明四边形是正方形，则，如图2，连接，由，可得，则，，，由，可得，进而可证； （3）如图3，连接，由勾股定理得，，，同理（1）可得，，，即，设，则，由勾股定理得，，即，整理得，，可求满足要求的解为，则，如图3，过作于，于，则四边是矩形， ∴，，设，，则，，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；式代入②式得，，可求，则，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形和等腰直角， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：，证明如下； ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 如图2，连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接， 由勾股定理得，，， 同理（1）可得，，，即， 设，则， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 如图3，过作于，于，则四边是矩形， ∴，， 设，，则，， 由勾股定理得，，即，整理得，； ，即，整理得，； 式代入②式得，， 解得，， ∴或（舍去）， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的长度为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，矩形的判定与性质，旋转的性质等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，矩形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$