精品解析：四川省凉山彝族自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

凉山州2023-2024学年度下期期末检测试卷 八年级数学 全卷共4页，满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题（共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，共24分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 为庆祝中国共产党建党100周年，某机关单位进行党史知识竞赛，20名职工的成绩统计如下表，则这次党史知识竞赛成绩的中位数为（ ） 成绩/分 75 80 85 90 95 100 人数 1 2 5 6 5 1 A. 80 B. 85 C. 90 D. 87.5 3. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，平分，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 5. 如图，在菱形ABCD中，，，过点D作，交BA的延长线于点E，则线DE的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 9. 将以点、、、为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点为坐标原点，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. 或） B. 或 C. 或或 D. 或或 10. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若两直角边，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一只蚂蚁从长和宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ） A. B. C. D. 无法确定 12. 如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为．若，，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 第II卷（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 13. 若是正比例函数，则m的值为_____． 14. 若最简二次根式能与合并，则_________． 15. 点在直线上，则代数式值是______． 16. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数__________， 方差__________． 17. 已知：，，则___． 18. 如图，矩形中于，若，则___________度． 19. 如图，中，，，平分，交于点E，平分，交于点F，交于点O，点G，H分别是和的中点，则的长为 ____________． 20. 有如下一串二次根式：；；；，仿照，写出第个二次根式______． 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 21. 计算：（1）（π-）0- （2）先化简，再求值：，其中a=1+ 22. 某校七年级甲班、乙班举行一分钟投篮比赛，每班派10名学生参赛，在规定时间内进球数不少于8个为优秀学生．比赛数据的统计图表如下（数据不完整）： 甲班乙班1分钟投篮测试成绩统计表 甲班 乙班 平均数 6.5 a 中位数 b 6 方差 3.45 465 优秀率 30% c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b，c的值． （2）你认为哪个班比赛成绩要好一些？请简要说明理由． 23. 已知直线经过点，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，写出关于x的不等式的解集． 24. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元． （1）甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？ 25. 如图，点E为正方形内一点，，过点B作且使，连接交延长线于点F． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，请猜想线段与数量关系，并加以证明． 26. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究． （1）【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形． （2）【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 凉山州2023-2024学年度下期期末检测试卷 八年级数学 全卷共4页，满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题（共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，共24分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是最简二次根式，解题关键是正确理解最简二次根式的概念． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．，不是最简二次根式； B．，不是最简二次根式； C． ，不是最简二次根式； D． 是最简二次根式； 故选D． 2. 为庆祝中国共产党建党100周年，某机关单位进行党史知识竞赛，20名职工的成绩统计如下表，则这次党史知识竞赛成绩的中位数为（ ） 成绩/分 75 80 85 90 95 100 人数 1 2 5 6 5 1 A. 80 B. 85 C. 90 D. 87.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的那个数． 【详解】把20名职工的成绩从小到大排列，最中间的排在第10位和第11位的平均成绩是90分，则中位数是90分． 故选：C． 【点睛】此题考查的是中位数，掌握中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）是解题的关键． 3. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数”，熟悉函数的定义是解决问题的关键．根据定义，逐一判定是否对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即可解决问题． 【详解】解：A：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，是的函数，该选项不符合题意； B：在x正半轴一段范围，对于x的每一个取值，y有两个值与之对应，不是的函数，该选项符合题意； C：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，是的函数，该选项不符合题意； D：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，是的函数，该选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在中，平分，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质得出，，，结合平分，得出，即，，即可作答． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵平分， ∴ 则 ∴ ∴ 故选：B 5. 如图，在菱形ABCD中，，，过点D作，交BA的延长线于点E，则线DE的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长． 【详解】解：如图．设AC与BD交于点O 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理．解题的关键是注意菱形的对角线互相垂直平分． 6. 下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A不可能，符合题意； B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B可能，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C可能，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D可能，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设， 点在直线上， ， ， ， ， ， ， 点在上， ， ， 故选：D． 8. 如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，延长交于点，延长交于点，证明四边形、四边形均为平行四边形，得到，再证明和是等边三角形，得到，进而推出，则． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， ∵，，， 四边形、四边形均平行四边形， ∴． 为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵的周长为9， ∴ ， 故选D． 9. 将以点、、、为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点为坐标原点，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. 或） B. 或 C. 或或 D. 或或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平行四边形存在性，熟练掌握此类题型的平移法或中点法是解题的关键．分三种情况进行讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别利用对边的平移方式相同解决即可． 【详解】解：当为对角线时，如图： 利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向右平移个单位，向上平移个单位， 则点平移后为， 即； 当为对角线时，如图： 利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向左平移个单位，向上平移个单位， 则点平移后为， 即； 当为对角线时，如图： 利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向左平移个单位，向下平移个单位， 则点平移后为， 即； 综上，点坐标为或或， 故选：D． 10. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若两直角边，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．这个风车的外围周长即四个，分别求出和即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴在中，， ∴这个风车的外围周长是， 故选：B． 11. 如图，一只蚂蚁从长和宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，构造直角三角形，然后利用勾股定理解答． 将长方体纸箱按照不同方式展开，分别根据勾股定理求出不同展开图中AB的长，再找到其中最短者即为蚂蚁所行的最短路程． 【详解】解：如图（1）所示：， 如图（2）所示：， 最短路径为． 故选B． 12. 如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为．若，，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质求出AF＝CF，根据勾股定理得出关于CF的方程，求出CF，求出BF，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG， ∴FG是AC的垂直平分线， ∴AF＝CF， 设AF＝FC＝x， 在Rt△ABF中，有勾股定理得：AB2＋BF2＝AF2， 42＋（8−x）2＝x2， 解得：x＝5， 即CF＝5，BF＝8−5＝3， ∴△ABF的面积为×3×4＝6， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了矩形性质，折叠的性质，勾股定理的应用，能得出关于x的方程是解此题的关键． 第II卷（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 13. 若是正比例函数，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题时注意的系数不等于0这个条件．根据的次数为1，系数不等于0，计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 14. 若最简二次根式能与合并，则_________． 【答案】7 【解析】 【分析】先化简，根据最简二次根式的定义计算即可，本题考查了同类二次根式，熟练化简是解题的关键． 【详解】解：， 且最简二次根式能与合并， 故， 故答案为：7． 15. 点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，一次函数上的点与其解析式的关系，根据题意，将点代入直线得到，恒等变形得到，整体代入代数式即可得到答案，熟练掌握整体代入求代数式值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 将点代入直线得到， ， 故答案为：． 16. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数__________， 方差__________． 【答案】 ①. 4 ②. 9 【解析】 【分析】本题考查的是样本平均数的求法及运用，方差的计算与运用，解题的关键是掌握平均数公式：及方差公式：由平均数的计算方法是利用原数据的平均数，扩大3倍求新数据的平均数，利用原数据的方程，扩大倍计算新数据的方差． 【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数为， 方差 ∴另一组数据，，，，的平均数为， 方差为 故答案为：4，9． 17. 已知：，，则___． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是完全平方公式，二次根式的运算，关键是对要求的式子进行变形．利用完全平方公式先把进行变形，得到，再把，的值代入即可求出答案． 【详解】解：，， ； 故答案为：4． 18. 如图，矩形中于，若，则___________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：∵四边形ABCD矩形， ∴∠DCB=90°， ∵∠DCE=3∠ECB， ∴∠DCE= ×90°=67.5°，∠ECB=22.5°， ∴∠EBC=∠ACB=90°－∠ECB=67.5°， ∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=67.5°－22.5°=45°. 故答案为45. 【点睛】本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理的有关知识.本题属于基础题，难度一般，应该根据图形来理解. 19. 如图，中，，，平分，交于点E，平分，交于点F，交于点O，点G，H分别是和的中点，则的长为 ____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可证，，得出，，从而可求出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：中，，， ∴，，， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，． ∵，即 ∴． ∵点G，H分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案：1． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识．证明出，，并掌握三角形中位线定理是解题关键． 20. 有如下一串二次根式：；；；，仿照，写出第个二次根式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类变化规律，根据已知二次根式找到变化规律即可求解，由已知二次根式找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∴第个二次根式为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 21. 计算：（1）（π-）0- （2）先化简，再求值：，其中a=1+ 【答案】（1）+2；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的化简，零指数幂，绝对值，负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的运算，平方差公式和完全平方公式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）原式=+-1-+1+2 =+2； （2） = = = = 将a=1+代入得==． 【点睛】本题考查了整数的运算和分式的化简求值，掌握二次根式的化简，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，平方差公式和完全平方公式的运算法则是解题关键． 22. 某校七年级甲班、乙班举行一分钟投篮比赛，每班派10名学生参赛，在规定时间内进球数不少于8个为优秀学生．比赛数据的统计图表如下（数据不完整）： 甲班乙班1分钟投篮测试成绩统计表 甲班 乙班 平均数 6.5 a 中位数 b 6 方差 3.45 4.65 优秀率 30% c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b，c值． （2）你认为哪个班的比赛成绩要好一些？请简要说明理由． 【答案】（1）a＝6.5，b＝6.5，c＝30% （2）甲班的比赛成绩要好一些，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将甲乙两个班的3号学生进球数求出来后，再根据平均数、中位数、优秀率的计算方法进行计算即可得出a、b、c的值； （2）比较中位数、方差得出答案． 【详解】解：（1）由统计表可知：甲班进球数平均数为6.5， 因此甲班共进球数为6.5×10=65（个）， 所以甲班的3号同学进球的个数为：65﹣3﹣5﹣6﹣6﹣7﹣7﹣8﹣8﹣10＝5（个）， 由统计图可知，乙班3号同学进球个数也是5个， 所以a＝（3+4+5+6×3+7+9×2+10）＝6.5， 将甲班10名同学进球的个数从小到大排列为： 3，5，5，6，6，7，7，8，8，10； 处在中间位置的两个数的平均数为＝6.5，故中位数是6.5，即b＝6.5， 因为乙班进球8个及以上的人数为3人， ∴c＝3÷10＝30%， 故a＝6.5，b＝6.5，c＝30%； （2）甲班的比赛成绩要好一些； 理由：两个班的平均数相同，甲班的中位数略高于乙班，方差小于乙班． 【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的意义及计算方法，考查了学生对教材概念的理解与掌握，因此，理解平均数、中位数、方差的意义是正确判断的前提，同时正确的计算是关键． 23. 已知直线经过点，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【小问1详解】 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 若直线与直线相交于点C， ． 解得， 点； 【小问3详解】 由（2）得， 根据图象可得不等式的解集为：． 24. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元． （1）甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？ 【答案】（1）甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元 （2）购进甲型机器人4台，乙型机器人2台时，分拣量最大 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台，根据“该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设6台机器人每小时的分拣量为w，利用总分拣量=每台机器人的分拣量×购买该型机器人的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 设6台机器人每小时的分拣量为w，则． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每小时的分拣量最大． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 25. 如图，点E为正方形内一点，，过点B作且使，连接交的延长线于点F． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是正方形，见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意和正方形的性质可得出答案； （2）由（1）知，得，进而可证四边形为矩形，又即可得到答案； （3）过点作，根据垂足为，可得，根据正方形可得，进而可证，再通过（1）和（2）的结论可证出解答． 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是掌握以上的基本性质． 【小问1详解】 解： ，， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，理由如下： ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形． 【小问3详解】 解：． 理由：过点D作，垂足为H． 则， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ． 由（2）知：四边形是正方形， ， ， 由（1）知：， ， ， ． 26. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究． （1）【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形． （2）【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值． 【答案】（1）是，理由见详解 （2）正确，理由见详解 （3）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查四边形的综合，理解垂美四边形的定义，掌握全等三角形的判定和性质，垂直的判定和性质，勾股定理的综合运用的知识是解题的关键． （1）如图所示，连接，交于点，根据全等三角形的判定和性质可证，再证明，由此即可求解； （2）根据勾股定理即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质可证，四边形是垂美四边形，再根据（2）中的结论可得，根据勾股定理可求出的值，由此即可求解． 【小问1详解】 解：是，理由如下， 如图所示，连接，交于点， 在，中，，，， ∴， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：正确，理由如下， ∵四边形是垂美四边形，，交于点， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，设交于点，交于点， ∵，，， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴，即四边形是垂美四边形， 由（2）可得，， ∵在中，，， ∴， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴在中，， 在中，， ∴变形得，， ∴， 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$