热点专题 3-1 导数的概念与运算【6类题型】-2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破 专题3-1 导数的概念与运算 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年甲卷第6题，5分 高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主． （1）导数的概念和定义 （2）导数的运算 （3）求过某点的切线方程 2024年I卷第13题，5分 2023年甲卷第8题，5分 2021年I卷第7题，5分 2021年甲卷第13题，5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率） 【题型2】 导数的定义中极限的简单计算 【题型4】导数的运算 【题型3】导数的几何意义初步 【题型5】复合函数求导 【题型6】导数的赋值运算 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率） 1.求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. 2．瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆． 1． 函数在区间，上的平均变化率为15，则实数的值为　　 A． B． C．1 D．2 2． 已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________． 【巩固练习1】某物体的运动方程为，若（位移单位：，时间单位：，则下列说法中正确的是　　 A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到△这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到△这段时间内的平均速度 【巩固练习2】若函数在区间，△上的平均变化率为，在区间△，上的平均变化率为，则　　 A． B． C． D．与的大小关系与的取值有关 【巩固练习3】如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 导数的定义中极限的简单计算 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即． 导数的物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 3． 若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 4． （2024·江苏南通·二模）已知，当时， . 【巩固练习1】设函数可导，（1）则　　． 【巩固练习2】函数在区间内可导，且若，则 A． B． C． D．不确定 【巩固练习3】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】导数的运算 一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 （为常数） 二、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 特别地： ①， ②， 5． 求下列函数的导数． (1) (2)； 6． 设函数，则的值为（    ） A．10 B．59 C． D．0 【巩固练习1】求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【巩固练习2】求下列函数的导函数． (1)； (2)； 【巩固练习3】在等比数列中，，若函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】导数的几何意义初步 导数的几何意义 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小，函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 7． 函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 8． （湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 9． （23-24高三上·福建福州·期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是　　 A．（2）（4）（2）（4） B．（4）（2）（4）（2） C．（2）（4）（4）（2） D．（4）（2）（4）（2） 【巩固练习2】（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【题型5】复合函数求导 简单复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). （2）复合函数的求导法则　正确地拆分复合函数是求导的前提 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 10． 求下列函数的导数． (1)； (2)； 【巩固练习1】求下列各函数的导数： (1)；(2) 【巩固练习2】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 【巩固练习3】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3) (4)； 【题型6】导数的赋值运算 若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对x赋值来求出解 11． 已知函数（是的导函数），则________ 12． 已知函数满足满足；求的解析式 13． （2024·全国·模拟预测）已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 【巩固练习1】已知函数f(x)=f '(1)+xln x,则f(e)=________ 【巩固练习2】已知函数的导函数为，且满足，则______ 【巩固练习3】已知函数y=f(x),其导函数y=f '(x)满足f(x)=2xf '(e)+ln x,则f '(e)=　　　　.  【巩固练习4】已知函数，则__________. 【巩固练习5】已知，则 . 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破 专题3-1 导数的概念与运算 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年甲卷第6题，5分 高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主． （1）导数的概念和定义 （2）导数的运算 （3）求过某点的切线方程 2024年I卷第13题，5分 2023年甲卷第8题，5分 2021年I卷第7题，5分 2021年甲卷第13题，5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率） 【题型2】 导数的定义中极限的简单计算 【题型4】导数的运算 【题型3】导数的几何意义初步 【题型5】复合函数求导 【题型6】导数的赋值运算 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率） 1.求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. 2．瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆． 1． 函数在区间，上的平均变化率为15，则实数的值为　　 A． B． C．1 D．2 【解答】解：由区间，，可知，可得， 又由，解得． 2． 已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________． 【答案】　9 【解析】由题知－8＝＝＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9. 【巩固练习1】某物体的运动方程为，若（位移单位：，时间单位：，则下列说法中正确的是　　 A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到△这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到△这段时间内的平均速度 【解答】解：根据题意，， 即物体在这一时刻的瞬时速度是， 故选：． 【巩固练习2】若函数在区间，△上的平均变化率为，在区间△，上的平均变化率为，则　　 A． B． C． D．与的大小关系与的取值有关 【解答】解：函数在到△之间的平均变化量为：△△△△△， △， 函数在△到之间的平均变化量为：△△△△△，△，△，而△，故． 【巩固练习3】如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为， 则，得. 因为， 所以当时，， 即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为. 【题型2】 导数的定义中极限的简单计算 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即． 导数的物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 3． 若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】由题意知， . 4． （2024·江苏南通·二模）已知，当时， . 【答案】1 【分析】根据导数的定义即可直接求解. 【详解】由导数的定义知，， 由，得， 所以. 【巩固练习1】设函数可导，（1）则　　． 【解答】解：（1），故答案为：． 【巩固练习2】函数在区间内可导，且若，则 A． B． C． D．不确定 【解答】解：， 则，即 【巩固练习3】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对 【题型4】导数的运算 一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 （为常数） 二、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 特别地： ①， ②， 5． 求下列函数的导数． (1) (2)； 【解析】（1）； （2） 6． 设函数，则的值为（    ） A．10 B．59 C． D．0 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 设，则， 所以 所以. 【巩固练习1】求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解. 【详解】（1）由可得 （2）由可得 （3）由得 （4）由得 【巩固练习2】求下列函数的导函数． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算. 【详解】（1） ； （2）； 【巩固练习3】在等比数列中，，若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 则，， 所以，. 因为是等比数列，且， 所以，， 所以，， 所以，. 【题型3】导数的几何意义初步 导数的几何意义 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小，函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 7． 函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率， 表示切线斜率， 又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率， 结合图象，可得，即. 8． （湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程，即 9． （23-24高三上·福建福州·期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可. 【详解】，，则，当且仅当即等号成立， 根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率， 选项A中直线的斜率为，符合题意； 选项B中直线的斜率为，不符合题意； 选项C中直线的斜率为，符合题意； 选项D中直线的斜率为，符合题意 【巩固练习1】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是　　 A．（2）（4）（2）（4） B．（4）（2）（4）（2） C．（2）（4）（4）（2） D．（4）（2）（4）（2） 【解答】解：由函数的图象可知， 当时，单调递增， 所以（2），（4），（4）（2）， 由此可知，在上恒大于0， 因为直线的斜率逐渐增大， 所以单调递增，所以（2）（4），则（2）（4）， 因为（2）（4），所以（2）（4）（2）（4） 【巩固练习2】（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 【巩固练习3】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【详解】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 【巩固练习4】（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值. 【详解】由曲线，得， 在处的切线斜率为，当时，， 曲线在处的，即， 曲线，导数为， 设切点为，则，解得，切点在切线上， 即有，得. 【题型5】复合函数求导 简单复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). （2）复合函数的求导法则　正确地拆分复合函数是求导的前提 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 10． 求下列函数的导数． (1)； (2)； 【解析】（1） （2） 【巩固练习1】求下列各函数的导数： (1)；(2) 【答案】(1)，(2) (1)，. (2)因为所以. 【巩固练习2】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复合函数求导公式计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【巩固练习3】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以 （4）因为，所以 【题型6】导数的赋值运算 若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对x赋值来求出解 11． 已知函数（是的导函数），则________ 【答案】 【分析】对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案； 【详解】，，， 12． 已知函数满足满足；求的解析式 【解析】 令得： 得： 13． （2024·全国·模拟预测）已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 【答案】． 【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可. 【详解】由题意设切点，因为 ， 令，得， 由导数几何意义知：， 又，所以， 故曲线在处的切线方程为：， 整理得： . 【巩固练习1】已知函数f(x)=f '(1)+xln x,则f(e)=________ 【答案】1+e　 ∵f '(x)=ln x+1,∴f '(1)=ln 1+1=1, 则f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+eln e=1+e. 【巩固练习2】已知函数的导函数为，且满足，则______ 【答案】 【分析】先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出. 【详解】解：因为， 所以，把代入， 得，解得：， 所以，所以. 【巩固练习3】已知函数y=f(x),其导函数y=f '(x)满足f(x)=2xf '(e)+ln x,则f '(e)=　　　　.  【答案】 【解析】∵f(x)=2xf '(e)+ln x, ∴f '(x)=2f '(e)+,令x=e,得f '(e)=2f '(e)+, ∴f '(e)=-. 【巩固练习4】已知函数，则__________. 【答案】-2 【解析】利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答. 【详解】由函数求导得：，当时，，解得，因此，，所以. 【巩固练习5】已知，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，所以，故 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$