精品解析：广西钦州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

钦州市2024年春季学期高一期末教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章到第四章，第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 10 B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个平面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B. 底面是正六边形的棱锥是正六棱锥 C. 棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D. 绕直角梯形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆台 3. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 小明在手工课上用硬纸板做了一个圆锥形容器，若该圆锥形容器的轴截面是边长为分米的等边三角形，忽略硬纸板的厚度，则该圆锥形容器的容积是（ ） A. 立方分米 B. 立方分米 C. 立方分米 D. 立方分米 7. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ） A. B. C. 12 D. 18 8. 已知，是函数（）图象与轴两个相邻的交点，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 8或16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 不等式的解集是（） 11. 已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 三棱锥内切球的半径为 D. 三棱锥内切球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，一个水平放置四边形的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是______. 13. 某数学兴趣小组成员为了测量，两地之间的距离，在同一水平面上选取地，测得在的东偏北75°方向上，且距离地3千米，测得在的北偏东75°方向上，且距离地2千米，则，两地之间的距离是______千米. 14. 是直线外一点，点在直线上（点与，两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段外，记.已知点在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，的夹角为120°，且，. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 17 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求在区间上的值域. 18. 如图，四棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）求四棱柱的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 记的内角，，的对边分别是，，，已知. （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）已知点在边上，，，，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 钦州市2024年春季学期高一期末教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章到第四章，第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直条件求解即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个平面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B. 底面是正六边形的棱锥是正六棱锥 C. 棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D. 绕直角梯形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆台 【答案】C 【解析】 【分析】根据多面体和旋转体的定义，性质，即可判断选项. 【详解】棱台有两个平面平行，其余各面都是梯形，则A错误； 底面是正六边形，且所有侧棱相等的棱锥是正六棱锥，则B错误； 由棱台的定义可知棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点，则C正确； 绕直角梯形的直角腰所在直线旋转一周得到的几何体是圆台，则D错误. 故选：C 3. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移规律，即可求解. 【详解】因为， 所以要得到函数的图象， 只需要将函数图象向左平移个单位长度. 故选：B 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一进行判断即可. 【详解】若，，则或，故A错误. 若，，则或，相交，故B错误. 若，，则或或，故C错误. 若，，则，故D正确. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角的三角函数关系化简，即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C 6. 小明在手工课上用硬纸板做了一个圆锥形容器，若该圆锥形容器的轴截面是边长为分米的等边三角形，忽略硬纸板的厚度，则该圆锥形容器的容积是（ ） A. 立方分米 B. 立方分米 C. 立方分米 D. 立方分米 【答案】A 【解析】 【分析】由轴截面计算圆锥的高，代入圆锥体积公式即可求解. 【详解】设该圆锥形的容器的底面圆的半径为，高为， 则分米，分米， 则小明制作的圆锥形的容器的容积是立方分米. 故选：. 7. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ） A. B. C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量数量积定义计算可得结果. 【详解】作，垂足为，如下图所示： 则为的中点， 故. 故选：D 8. 已知，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 8或16 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为的两个相邻的解之间距离为，由此列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点， 且，则的两个相邻的解之间距离为， 而或， 即或， 则，或， 解得或， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由，求得，正弦定理求出，可得的值. 【详解】因为，且，所以. 由正弦定理可得，则， 又，有，故或. 故选：AD 10. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 不等式的解集是（） 【答案】BC 【解析】 【分析】把点，代入解析式可得；计算，若，则的图象关于点对称；即，解余弦不等式即可. 【详解】对于A，因为点在的图象上，所以， 所以（），解得（）， 因，所以，则错误； 对于B，因为点在的图象上，所以，解得，则正确； 对于C，因为， 所以的图象关于点对称，则正确； 对于D，由，即，即， 得（），解得（）， 所以不等式的解集是（），则错误. 故选：. 11. 已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 三棱锥内切球的半径为 D. 三棱锥内切球的半径为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三棱锥特征构造长方体求出外接球半径，求得表面积，再由等体积法求出内切球半径. 【详解】由题意可知，，两两垂直， 则三棱锥外接球的半径满足， 从而三棱锥外接球的表面积为， 故A正确，B错误. 由题意可得三棱锥的体积， 三棱锥的表面积. 设三棱锥内切球的半径为， 因为， 所以，则C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则求出，判断四边形的形状，确定，由此求出面积. 【详解】在正方形中可得， 由斜二测画法可知， 且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的面积是， 故答案为：. 13. 某数学兴趣小组成员为了测量，两地之间的距离，在同一水平面上选取地，测得在的东偏北75°方向上，且距离地3千米，测得在的北偏东75°方向上，且距离地2千米，则，两地之间的距离是______千米. 【答案】 【解析】 【分析】应用余弦定理计算可得，两地之间的距离. 【详解】由题意可得，，在的东偏北75°方向，在的北偏东75°方向可得. 在中，由余弦定理可得，则千米. 故答案为：. 14. 是直线外一点，点在直线上（点与，两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段外，记.已知点在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，差角的正弦求出，再利用给定的定义计算即得. 【详解】在正方体中，，如图， 由，得，，， 则，，， ， 所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，夹角为120°，且，. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积公式求出模长； （2）应用数量积的值结合已知条件计算参数即可. 【小问1详解】 因为向量，的夹角为120°，且，，所以. 因为， 所以. 【小问2详解】 因为. 又因为，所以， 所以，即，解得. 16. 如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点. （1）证明：平面 （2）证明：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，可得，从而可证平面； （2）连接，可证平面，由面面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 记，连接. 因为四边形是正方形，所以是的中点. 因为是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接. 因为四边形是正方形，所以是的中点. 因为，所以. 因为四边形是正方形，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 17. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求在区间上的值域. 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）用二倍角正弦公式结合辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的单调减区间计算求解； （2）整体代换求出函数的最值进而得出值域. 【小问1详解】 由题意可得. 令（）， 解得（）， 故的单调递减区间为（）. 【小问2详解】 ， 因为，所以. 当，即时，取得最大值， 最大值为； 当，即时，取得最小值， 最小值为. 故在区间上的值域为. 18. 如图，在四棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）求四棱柱的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）在上取点，使得，连接，即可说明，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，从而证明平面，再根据平行关系即可得证； （2）根据柱体的体积公式计算可得； （3）作平面，垂足为，连接，则是直线与平面所成的角，利用等体积法求出，即可得解. 【小问1详解】 在上取点，使得，连接，因为，， 所以，， 又，即， 所以四边形是正方形. 因为，，所以. 因为，，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面， ，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，且与相交，所以平面. 因为平面平面，，所以平面. 【小问2详解】 由题意可得梯形的面积， 则四棱柱的体积. 【小问3详解】 作平面，垂足为，连接， 则是直线与平面所成的角， 由题意可得的面积， 由（1）可知平面， 所以三棱锥的体积， 因为，且，所以. 由（1）可知平面，平面，所以. 又，，所以. 在中由余弦定理可知， 则， 所以，则的面积， 故三棱锥的体积. 因为，所以，解得， 则，即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 记的内角，，的对边分别是，，，已知. （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）已知点在边上，，，，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将边化成角，再将分解成，最后根据和角的正弦公式化简即可求解； （2）利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，再根据三角形面积公式即可求解； （3）由余弦定理求出和，再利用诱导公式求，最后根据锐角三角函数求出，即得. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，即. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，即， 则的面积， 即面积的最大值为. 【小问3详解】 在中，由余弦定理得， ， 所以. 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以，即， 又因为 所以，即， 因为， 所以 所以，即， 在中，由锐角三角函数得， ， 所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，解题的关键是合理利用正弦定理的边角互化，以及余弦定理列出方程求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $