精品解析：福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考高二数学试卷 【完卷时间：120分钟；满分：150分】 命题：连江县教师进修学校附属中学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 假如女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，已知父亲身高为，则（ ） A. 女儿的身高必为 B. 女儿的身高估计为 C. 女儿的身高必为 D. 女儿的身高估计为 4. 是离散型随机变量，，那么和分别是(　　) A. B. C. D. 5. 已知随机变量，随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为不相等的正实数，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且．若函数有唯一零点，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 高斯取整函数又称“下取整函数”，其中表示不大于的最大整数，如．若函数，则的值可能是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的值是__________. 13. 如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线____．（填曲线序号） 14. 某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有____种不同的安排方案．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少. （1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； （2）另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数） 参考值：，. 17. 节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下： 等级 一等品 二等品 三等品 袋数 40 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率； （2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案： 方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元； 方案二：按品级出售，售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价（元） 24 22 17 为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？ （3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为，求的分布列与数学期望． 18. 2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示： 上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 甲球员上场 5 35 甲球员未上场 7 合计 32 42 （1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关； （2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时， （ⅰ）求球队赢球的概率； （ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率． 附：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19. 已知函数． （1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题： （ⅰ）试探究函数的性质并说明理由； （ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出的草图； （2）若，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考高二数学试卷 【完卷时间：120分钟；满分：150分】 命题：连江县教师进修学校附属中学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将特称命题否定为全称命题即可. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D 2. 在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用散点图可直观看出是否线性相关和正相关． 【详解】对于A，由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A错误； 对于B，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B正确； 对于C，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C错误； 对于D，根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D错误； 故选：B． 3. 假如女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，已知父亲身高为，则（ ） A. 女儿的身高必为 B. 女儿的身高估计为 C. 女儿的身高必为 D. 女儿的身高估计为 【答案】B 【解析】 【分析】根据经验回归方程求解即可. 【详解】由，， 代入得， 故选：B 4. 是离散型随机变量，，那么和分别是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由期望和方差的运算性质求解即可 【详解】由期望和方差的运算性质知E(X1)= E(2X－5)=2 E(X)-5=7 D(X1)= D(2X－5)= D(X)＝2 故选D 【点睛】本题考查期望和方差的运算性质，熟记公式，准确计算是关键，是基础题 5. 已知随机变量，随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合对称性得出，再由对称性得出. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又，所以A正确； 故选：A 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】去掉绝对值，得到具体的函数表达式，即可作出判断. 【详解】当时，，排除C； 当时，，排除AB选项. 故选：D. 7. 已知为不相等的正实数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项. 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 8. 已知函数的定义域为R，且．若函数有唯一零点，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】转化为两函数图象交点问题，函数图象对称轴都为且两函数图象只有唯一交点即可知交点横坐标为1得解. 【详解】因为函数的定义域为R，且， 所以函数的图象关于轴对称， 由有唯一零点知，有唯一根， 即与的图象有唯一交点， 而图象关于对称， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法，结合不等式的性质，即可由选项逐一求解. 【详解】对于A，由于，则，所以，故，A正确， 对于B，若时，，故B错误， 对于C，由于，所以，故，C正确， 对于D, 由于，故，D正确， 故选：ACD 10. 高斯取整函数又称“下取整函数”，其中表示不大于的最大整数，如．若函数，则的值可能是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据定义可得的表达式，通过图象可得函数的值域，即可求解. 【详解】由题意可得，则对应的图象为： 由图象可知. 故选：AB 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令可求出，对于B，令可求得答案，对于C，对等式两边求导后，令可求得答案，对于D，令结合可求得答案. 【详解】对于A，令，则，得，所以A错误， 对于B，令，则， 所以，所以B正确， 对于C，由， 得， 令，则， 所以，所以C正确， 对于D，令，则， 所以， 所以，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断并代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 13. 如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线____．（填曲线序号） 【答案】② 【解析】 【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数的图象，由对称性得的图象. 【详解】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条， 当时，，所以曲线③是函数的图象， 函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所以的图象是曲线②. 故答案为：②. 14. 某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有____种不同的安排方案．（用数字作答） 【答案】30 【解析】 【分析】以丙、丁参加同一项活动和丙、丁不参加同一项活动分类讨论，结合排列组合知识求解即可. 【详解】当丙、丁参加同一项活动时，共有种； 当丙、丁不参加同一项活动时，共有种； 综上，共有30种不同的安排方案． 故答案为：30 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式可得集合，再由集合交并补混合运算可得结果. （2）由可知是的子集，对是否为空集分析讨论，解不等式可得结果. 【小问1详解】 由，得， 解得，所以． 当时，，所以， 又， 所以． 【小问2详解】 ①若，则，即． 此时满足． ②若，则， 要使，当且仅当， 解得． 综上，的取值范围为． 16. 当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少. （1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； （2）另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数） 参考值：，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为， 所以，解得，即注射了药品，的值为. 【小问2详解】 设药物注射量为，则小时后残余量为， 设药物注射量为，则小时后残余量为， 又题可知，药物注射量为，药物注射量为， 设小时后残余量相同，则， 即，两边取对数可得，即， 即，即， 即，即， 解得，所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等. 17. 节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下： 等级 一等品 二等品 三等品 袋数 40 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率； （2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案： 方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元； 方案二：按品级出售，售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价（元） 24 22 17 为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？ （3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）方案二 （3）的分布列为 0 1 2 3 ，数学期望为【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）求解方案二中糖果的售价为，即可比较求解， （3）由抽样比求解个数，即可利用超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望. 【小问1详解】 设事件“从这100袋糖果中随机抽取1个，抽到三等品”，则． 现有放回地随机抽取4个，设抽到三等品的袋数为，则， 所以恰好有2袋是三等品的概率 【小问2详解】 设方案二中糖果的售价为，则 （元）， 因为，从追求更高利润考虑，该店家应采用方案二． 【小问3详解】 用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，则其中一等品有4袋，非一等品有6袋． 依题意，X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3． ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 18. 2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示： 上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 甲球员上场 5 35 甲球员未上场 7 合计 32 42 （1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关； （2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时， （ⅰ）求球队赢球的概率； （ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率． 附：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） 上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 甲球员上场 30 5 35 甲球员未上场 2 5 7 合计 32 10 42 ，认为球队的胜负与甲球员是否上场有关 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题中数据完成列联表即可，根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论； （2）（ⅰ）根据条件概率和全概率公式求解即可； （ⅱ）利用条件概率公式和乘法公式就算即可. 【小问1详解】 根据题意，可得的列联表： 上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 甲球员上场 30 5 35 甲球员未上场 2 5 7 合计 32 10 42 零假设为：球队的胜负与甲球员是否上场无关， 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 设“甲球员上场打前锋”，“甲球员上场打中场”，“甲球员上场打后卫”， “球队获得胜利”．则，且两两互斥， 依题意得， ； （ⅰ）由全概率公式得 ； （ⅱ）“如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率”， 就是计算在发生的条件下，事件发生的概率， 则所求概率. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 19. 已知函数． （1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题： （ⅰ）试探究函数的性质并说明理由； （ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出的草图； （2）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）①定义域：的定义域为． ②值域：因为，，， 所以，故的值域为． ③奇偶性：，，， 所以为奇函数． ④单调性：，且，则， 所以， 即，所以为增函数． ⑤当时，，；当时，，．所以直线为图象的渐近线． （ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义法来研究函数的各个性质，最后可作出草图； （2）利用复合函数思想由内到外研究函数值域，最后化归到含参二次不等式恒成立，即可求解. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）综合上述讨论，可作出的草图如下： 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，为增函数，所以， 由（1）知的值域为，故的取值范围为 所以，都有， 等价于对于都成立， 记，则 或 解得， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $