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章 末 整 合 提 升
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一、直线的方程
1.直线方程的五种形式在使用时要根据题目条件灵活选择,尤其在选用四种特殊形式的方程时,注意其适用条件,必要时要对特殊情况进行讨论.
2.求直线方程的常用方法
直接法:直接选用恰当的直线方程形式,写出结果.
待定系数法:即先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有一待定系数,再由题中的其他条件求出待定系数.
根据下列条件,求直线方程:
(1)已知直线过点P(-2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1.
(2)过两直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点,且垂直于直线x+3y+4=0.
[自主解答] (1)设所求直线的方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1.
依题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(-2,a)+\f(2,b)=1,,\f(1,2)|ab|=1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=2,,b=1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=-1,,b=-2.))
故所求直线方程是eq \f(x,2)+y=1或eq \f(x,-1)+eq \f(y,-2)=1,
即x+2y-2=0或2x+y+2=0.
(2)设所求直线的方程为(3x-2y+1)+λ(x+3y+4)=0,
即(3+λ)x+(3λ-2)y+(1+4λ)=0.
由所求直线垂直于直线x+3y+4=0,
得-eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3+λ,3λ-2)))=-1,解得λ=eq \f(3,10).
故所求直线的方程是3x-y+2=0.
二、圆的方程
1.几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.
2.代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,其一般步骤是:
(1)根据题意选择方程的形式:标准方程或一般方程;
(2)利用条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
求经过两点P(-2,4),Q(3,-1),且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程.
[自主解答] 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将P,Q两点的坐标分别代入,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2D-4E-F=20,,3D-E+F=-10.))①
令y=0,得x2+Dx+F=0.
由已知,得|x1-x2|=6(其中x1,x2是方程x2+Dx+F=0的两根),所以D2-4F=36.②
①②联立组成方程组,
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D=-2,,E=-4,,F=-8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D=-6,,E=-8,,F=0.))
所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.
三、直线、圆之间的位置关系 题点多探 多维探究
1.两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种,主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在,如果用一般式方程来判断可以避免讨论斜率不存在的情况.
2.直线与圆的位置关系有三种,即相交、相离、相切,其判断方法有两种:代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).
3.圆与圆的位置关系有三种,即相交、相离(外离和内含)、相切(内切和外切),其判断方法有两种:代数法(通过联立两个圆的方程,得到关于y或x的一元二次方程,根据方程解的个数来判断)、几何法(根据两圆圆心距与两圆的半径的和或差之间的关系判断).
角度1 两条直线的位置关系
设不同直线l1:2x-my-1=0,l2:(m-1)x-y+1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
[自主解答] 当m=2时,代入两直线方程中,易知两直线平行,即充分性成立.当l1∥l2时,显然m≠0,从而有eq \f(2,m)=m-1,解得m=2或m=-1,但当m=-1时,两直线重合,不符合要求,故必要性成立.
[答案] C
角度2 直线与圆的位置关系
已知点P(-2,2)在圆O:x2+y2=r2(r>0)上,直线l与圆O交于A,B两点.
(1)r=________;
(2)如果△PAB为等腰三角形,底边AB=2eq \r(6),求直线l的方程.
[自主解答] (1)因为点P(-2,2)在圆O:x2+y2=r2(r>0)上,
所以r=2eq \r(2).
(2)因为△PAB为等腰三角形,且点P在圆O上,所以PO⊥AB.
因为PO的斜率k=eq \f(2-0,-2-0)=-1,
所以可设直线l的方程为y=x+m.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y=x+m,,x2+y2=8,))得2x2+2mx+m2-8=0,
所以Δ=4m2-8×(m2-8)=64-4m2>0,
解得-4<m<4.
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
可得x1,2=eq \f(-2m±\r(64-4m2),4)=eq \f(-m±\r(16-m2),2).
所以|AB|=eq \r(2)|x1-x2|=eq \r(216-m2)=2eq \r(6),
解得m=±2,
所以直线l的方程为x-y+2=0,x-y-2=0.
角度3 圆与圆的位置关系 [规范答题]
(13分)求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.
[规范解答] 由题意,设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=16.因为圆C与直线y=0相切,且半径为4,故b=±4,所以圆心坐标为C(a,4)或C(a,-4).又已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=9,其圆心坐标为A(2,1),半径为3,若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1,
(1)当取C(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),故a=2±2eq \r(10),此时圆的方程为(x-2-2eq \r(10))2+(y-4)2=16或(x-2+2eq \r(10))2+(y-4)2=16.(7分)
(2)当取C(a,-4)时,
(a-2)2+(-4-1)2=72或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),故a=2±2eq \r(6),此时圆的方程为(x-2-2eq \r(6))2+(y+4)2=16或(x-2+2eq \r(6))2+(y+4)2=16.(11分)
综上,所求圆的方程为(x-2-2eq \r(10))2+(y-4)2=16,(x-2+2eq \r(10))2+(y-4)2=16,(x-2-2eq \r(6))2+(y+4)2=16或(x-2+2eq \r(6))2+(y+4)2=16.(13分)
四、与直线、圆有关的最值问题
在解决有关直线与圆的最值和范围问题时,最常用的方法是函数法,把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式,用函数或方程的知识,尤其是配方的方法求出最值或范围.除此之外,数形结合的思想方法也是一种重要方法,直接根据图形和题设条件,应用图形的直观位置关系得出要求的范围.
在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上一点,求以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.
[自主解答] 如图所示,建立平面直角坐标系,
使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).设内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y),0≤x≤2.
则2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1.
故内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
整理得x2+y2-2x-2y=-1 ①.
由已知得|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25 ②.
由①可知x2+y2-2y=2x-1 ③,
将③代入②得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.
∵0≤x≤2,
∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.
又三个圆的面积之和为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|,2)))2+πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PB|,2)))2+πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PO|,2)))2
=eq \f(π,4)(|PA|2+|PB|2+|PO|2),
∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值为eq \f(11,2)π,
最小值为eq \f(9,2)π.
五、坐标法的应用
坐标法贯穿解析几何的始终,通过平面直角坐标系,研究了直线和圆的有关问题;通过建立空间直角坐标系,刻画了点在空间的位置,研究了两点间的距离等问题.总之,建立坐标系,把点与坐标、曲线与方程等联系起来,将几何问题转化为代数问题,优化了思维的过程.
街头有一片绿地,绿地如图所示(单位:m),其中ABC为圆弧,求此绿地面积(精确到0.1 m2).
[自主解答] 如图所示建立直角坐标系,各点坐标分别为A(0,7),B(3,8),C(7,6),所以可求得过A,B,C三点的圆弧方程为(x-3)2+(y-3)2=25(0≤x≤7,y>0).分别以A,C为圆心,以5为半径画圆交于点E,连接AE,CE.
∵|AC|=eq \r(7-02+6-72)=5eq \r(2),
∴∠AEC=90°.
故所求的面积为S梯形AODC+S弓形ABC=S梯形AODC+(S扇形ACE-S△ACE)
=eq \f(7+6×7,2)+eq \f(1,4)π×52-eq \f(1,2)×52=33+eq \f(25π,4)≈52.6(m2),
所以绿地面积为52.6 m2.
$$