第2章 教考衔接3 巧妙转化、化难为易 求解与圆有关的最值、范围问题(课件PPT)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

教考衔接3　巧妙转化、化难为易　 求解与圆有关的最值、范围问题 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 谢谢观看 教考衔接3　巧妙转化、化难为易　求解与圆有关的最值、范围问题 1 一、真题展示 1．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B．eq \f(\r(15),4) C．eq \f(\r(10),4) D．eq \f(\r(6),4) 2．(2022·新高考全国Ⅰ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 二、真题溯源 (教科书第103页复习参考题二第20题)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0. (1)求证：直线l恒过定点． (2)直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长． 三、类法探究 纵观近几年高考及教科书练习不难看出，对于圆的考查，重点放在与圆相关的最值问题上，主要考查与圆相关的参数范围问题和长度或面积的最值问题．除以选择题、填空题的形式考查外，也有与圆锥曲线相结合考查的趋势．要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力．从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目．分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．下面就高中阶段出现的这类问题加以总结和探讨． 类型一　定点到圆上动点的距离问题 　(1)已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值； (2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． [自主解答]　(1)因为(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以C(1，－2)为圆心，半径r＝2的圆，所以eq \r(x＋22＋y－22)表示圆上的动点M(x，y)与定点A(－2,2)的距离(如图)． 连接AC，直线AC与圆C交于A1，A2. 则当M位于A2位置时，eq \r(x＋22＋y－22)取得最大值，为|AC|＋r＝eq \r(1＋22＋－2－22)＋2＝7. 当M位于A1位置时，eq \r(x＋22＋y－22)取得最小值，为|AC|－r＝eq \r(1＋22＋－2－22)－2＝3. 即(x＋2)2＋(y－2)2的最大值为49，最小值为9. (2)设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. 因为|CO|2＝32＋42＝25，所以(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即16≤x2＋y2≤36. 所以d的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74. 类型二　可转化为点到直线的距离问题 　(1)已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为________； (2)已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，求点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值． [自主解答]　(1)(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝eq \f(|1＋2×1－5|,\r(12＋22))＝eq \f(2\r(5),5)，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝eq \f(4,5). [答案]　eq \f(4,5) (2)圆心C(－2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝eq \f(|－6＋0＋12|,\r(9＋16))＝eq \f(6,5)，大于半径r＝1，故点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为d＋r＝eq \f(11,5)，最小值为d－r＝eq \f(1,5). 类型三　与面积有关的最值问题 　已知点P在圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝1上，直线l：3x＋4y＝12与两坐标轴的交点分别为M，N，则△PMN面积的最大值是(　　) A．eq \f(15,2) B．8 C．eq \f(17,2) D．9 [自主解答]　如图，当点P距离直线l：3x＋4y＝12的距离最大时，△PMN的面积最大． 圆C的圆心(2，－1)到直线l：3x＋4y＝12的距离d＝eq \f(|6－4－12|,\r(32＋42))＝2，则圆C上的点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝2＋1＝3，又直线l：3x＋4y＝12与两坐标轴交点分别为M(4，0)，N(0,3)，所以|MN|＝5，所以△PMN面积的最大值为S＝eq \f(1,2)×5×3＝eq \f(15,2)，故选A． [答案]　A 类型四　与斜率、截距有关的最值问题 　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点． (1)求eq \f(y－2,x－1)的最大值与最小值； (2)求x－2y的最大值与最小值． [自主解答]　(1)显然eq \f(y－2,x－1)可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，令eq \f(y－2,x－1)＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率． 对上式整理得kx－y－k＋2＝0， ∴eq \f(|－2k＋2－k|,\r(1＋k2))＝1，∴k＝eq \f(3±\r(3),4). 故eq \f(y－2,x－1)的最大值是eq \f(3＋\r(3),4)，最小值是eq \f(3－\r(3),4). (2)令u＝x－2y，则u＝x－2y可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得． 依题意，得eq \f(|－2－u|,\r(5))＝1，解得u＝－2±eq \r(5)， 故x－2y的最大值是－2＋eq \r(5)，最小值是－2－eq \r(5). [跟踪训练] 1．已知点P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，则四边形PACB面积的最小值是(　　) A．eq \r(2) B．2eq \r(2) C．eq \r(3) D．2eq \r(3) 解析　圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 圆心C(1,1)，半径r＝1，根据对称性， 可知四边形PACB的面积为2S△APC＝2×eq \f(1,2)×|PA|×r＝|PA|＝eq \r(|PC|2－r2)， 要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，此时PC⊥l. 又圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝eq \f(|3－4＋11|,\r(32＋－42))＝eq \f(10,5)＝2，则|PC|的最小值为2. 所以四边形PACB面积的最小值为eq \r(d2－r2)＝eq \r(4－1)＝eq \r(3). 答案　C 2．若点M在圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆C2：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，则|MN|的最大值是________． 解析　将圆的一般方程化为标准方程得， 圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝9， 圆C2：(x＋1)2＋(y＋2)2＝4， C1(－3,1)，r1＝3；C2(－1，－2)，r2＝2. ∵|C1C2|＝eq \r(13)，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2， ∴两圆相交，如图．∴|MN|的最大值是eq \r(13)＋5. 答案　eq \r(13)＋5 $$