精品解析：山东省济南市天桥区2023-2024学年八年级下学期数学期末试题

2023～2024学年第二学期八年级期末测试 数学试题 注意事项： 本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答，答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列食品标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可． 详解】A、，说法错误，该选项不符合题意； B、，说法错误，该选项不符合题意； C、，说法错误，该选项不符合题意； D、说法正确，该选项符合题意． 故选：D 3. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义∶把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫多项式的因式分解，因式分解也叫因式分解，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、从左边到右边的变形不是因式分解，不符合题意； B、从左边到右边的变形是因式分解，符合题意； C、从左边到右边的变形是整式的乘法，不符合题意； D、从左边到右边的变形不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 4. 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（   ） A. （﹣1，0） B. （﹣1，﹣1） C. （﹣2，0） D. （﹣2，﹣1） 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B， 根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减的平移规律可得， 点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1， 所以B的坐标为（﹣1，﹣1）． 故选B． 【点睛】考点：坐标与图形变化﹣平移． 5. 如图，在中，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分，据此判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， 根据四边形是平行四边形无法得出， ∴选项A、B、D结论成立，选项C结论不一定成立， 故选：C． 6. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△＝（-2）2−4•a＝0，然后解方程即可． 【详解】根据题意得△＝（-2）2−4•a＝0， 解得a＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 7. 当时，下列各式的值为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0的条件：分子为0，分母不为0． 根据分式值为0的条件，逐个判断即可． 【详解】解：A、，当时，该分式无意义，不符合题意； B、，当时，该分式无意义，不符合题意； C、，当时，分式值为0，符合题意； D、，当时，原式，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，已知直线与相交于点（2，），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：根据题意当x＞2时，若y1＞y2． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9. 如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，Q是BC的中点，则PC+ PQ的最小值是（　　） A. 6 B. 3 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接AQ， AC，AP，由菱形的对称轴可知， ，从而当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小，根据题意可得△ABC是等边三角形，然后在Rt△ABQ中，由勾股定理，求出 即可． 【详解】解：如图，连接AQ， AC，AP， 由菱形的对称轴可知， ， ∴， 即当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小， ∵∠ABD＝30°，四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∵点Q为BC的中点， ∴AQ⊥BC， ∵菱形ABCD的周长为24， ∴AB＝BC＝6， ∵Q是BC的中点， ∴ ， 在Rt△ABQ中，由勾股定理得： ， 即PC+ PQ的最小值是 ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，菱形的性质和等边三角形的判定和性质，理解题意，当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形的中心与原点重合，轴，正方形的面积为5，正方形的面积为1，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图象，勾股定理等知识，先判断出将绕点顺时针旋转，每次旋转，旋转4次回到原来的位置，则第2024次旋转结束时点回到起点，过G作于M，利用勾股定理求出，，利用等面积法求出，利用勾股定理求出，进而求出，即可求出点G的坐标． 【详解】解：∵， ∴每4次一循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点回到起点， 过G作于M， ∵正方形的面积为5，正方形的面积为1， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴G的坐标为， 故选：D． Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式a即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，解题的关键是正确确定公因式． 12. 计算的结果是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的减法法则计算即可． 【详解】． 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式的减法运算．掌握分式的减法运算法则是解题关键． 13. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币．则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______． 【答案】＃＃40度 【解析】 【分析】利用外角和除以外角的个数即可得到答案． 【详解】解：正九边形的一个外角的度数为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键． 14. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得． 【详解】解：如图，在平行四边形中，． ，分别为，的中点， 是的中位线， ∴． 故答案为：9． 15. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆180人次，若进馆人次的月平均增长率相同，进馆人次的月平均增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， ∴进馆人次的月平均增长率为， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，，点E，F分别是和边上的动点，且始终保持，连接与，分别交于点N，M，过点A作于点H．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号是______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】将绕点A顺时针旋转得，过点B作平分，与交于点K，连接，则，证明，得，便可判断结论①；由得，再根据等角的余角性质，便可判断结论②；由A，根据角平分线的性质便可判断结论③；证明，得，若不在上，则， 此时，根据三角形外角性质可得，便可判断结论④；证明，得，再由勾股定理得，进而得，再证明，可得，便可判断结论⑤． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转得，过点B作平分，与交于点K，连接，则， ∵， ∴G、B、C共线， ∵， ， 在和中， ∵， ∴，    ， ∵， ， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，    ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，  故③正确； ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，    若不在上，则， 此时，， ∵， 此时，故④不正确； ∵平分，， ∴， 和中， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． 综上所述，结论正确的为①②③⑤． 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、角平分的性质以及勾股定理等知识，图形复杂，涉及的知识点多，综合性强，难度大，解题关键在于构造与证明全等三角形． 三、解答题（本大题10个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】0，1 【解析】 【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，即得出不等式组的解集，再在解集中找出非负整数即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为0，1． 【点睛】本题考查求不等式组的整数解．掌握解不等式组的方法和步骤是解题关键． 18. 先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值． 【详解】解：原式， 当时，原式． 19. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 20. （1）因式分解：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解一元二次方程： （1）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：（1） （2） ∴， 即， 解得：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 【答案】（1）作图见解析；， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可；（3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作三角形； ，． 【小问2详解】 解：如图，即为所求作三角形； 【小问3详解】 解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 22. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的面积． 【答案】（1）见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴的面积是： 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得到是等边三角形． 23. “植”此青绿，共赴青山．2024年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同． （1）分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格． （2）学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？ 【答案】（1）每棵银杏树苗的价格是40元，每棵白杨树苗的价格是30元 （2）最多可购买20棵银杏树苗 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，弄清等量关系和不等关系并列出分式方程和不等式成为解题的关键． （1）设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是元． 根据等量关系“用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可； （2）设购买m棵银杏树苗，则购买棵白杨树苗，根据用于购买两种树苗的总费用不超过3200元列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是元． 根据题意得．解得． 经检验，是原方程的解． ． 答：每棵银杏树苗的价格是40元，每棵白杨树苗的价格是30元． 【小问2详解】 解：设购买m棵银杏树苗．则购买棵白杨树苗， 根据题意，得． 解得． 答：最多可购买20棵银杏树苗． 24. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个，只填选项） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】（1）B （2）①，② 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式的几何背景的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键． （1）根据图1中剩余面积等于大正方形面积减去小正方形面积，图2面积等于长乘宽，即可得出结论； （2）根据（1）中的等式得出，将代入进行计算即可；②根据（1）中得出的等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由图1可得，剩余部分面积， 由图2可得：阴影部分面积， ∴， 故选：B． 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ② ． 25. 综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 实践操作：如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 解决问题： （1）在图3中，______（填“是”或“不是”）的垂直平分线．______． （2）在图3中，连接，试判断的形状，并给予证明． 拓展应用． （3）已知，在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，则______． 【答案】（1）是，； （2）为等边三角形，证明见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质和勾股定理可求解； （2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴，分两种情况讨论，①当点落在上时，②如当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴，， ∴垂直平分， 由折叠可得：， ∴在中，； 故答案为：是，； 【小问2详解】 解：为等边三角形； 理由如下： ∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； 【小问3详解】 解：①如图，当点落在上时， 由折叠可知：， ， ∵， ∴点是的中点， ∴点在矩形的对称轴上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ②如图，当点落在上时 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴或（舍去）， 综上所述，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 26. （1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接． ①填空：的度数为______． ②线段、之间的数量关系是_______． （2）拓展研究： 如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）探究发现： 图1中和，在旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，并说明理由． 【答案】（1）①60°；②；（2）AB的长度为17；（3）60°或120°，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数． （2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE． （3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°． 【详解】（1）①如图1， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：60°． ②∵， ∴， 故答案为：． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图3，由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图4，同理求得， ∴， ∵的度数是60°或120°． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出△ACD≌△BCE（SAS）是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年第二学期八年级期末测试 数学试题 注意事项： 本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答，答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列食品标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A B. C. D. 3. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. B. C D. 4. 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（   ） A. （﹣1，0） B. （﹣1，﹣1） C. （﹣2，0） D. （﹣2，﹣1） 5. 如图，在中，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 7. 当时，下列各式的值为0的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线与相交于点（2，），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，Q是BC的中点，则PC+ PQ的最小值是（　　） A. 6 B. 3 C. 3 D. 6 10. 如图，在平面直角坐标系中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形的中心与原点重合，轴，正方形的面积为5，正方形的面积为1，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 分解因式：___________. 12. 计算的结果是______． 13. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币．则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______． 14. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______． 15. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆180人次，若进馆人次的月平均增长率相同，进馆人次的月平均增长率是______． 16. 如图，在正方形中，，点E，F分别是和边上的动点，且始终保持，连接与，分别交于点N，M，过点A作于点H．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号是______． 三、解答题（本大题10个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组，并写出不等式组的非负整数解． 18. 先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值． 19. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 20. （1）因式分解：； （2）解方程： 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 22. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求面积． 23. “植”此青绿，共赴青山．2024年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同． （1）分别求每棵银杏树苗、白杨树苗价格． （2）学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗总费用不超过3200元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？ 24. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个，只填选项） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 25. 综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 实践操作：如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 解决问题： （1）在图3中，______（填“是”或“不是”）的垂直平分线．______． （2）在图3中，连接，试判断的形状，并给予证明． 拓展应用． （3）已知，在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，则______． 26. （1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接． ①填空：的度数为______． ②线段、之间的数量关系是_______． （2）拓展研究： 如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）探究发现： 图1中的和，在旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$