精品解析：浙江省台州市路桥区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023学年第二学期八年级期末试题 数学 （满分：120分考试时间：120分钟） 温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，， 3. 在中，，则( ) A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 路桥区某服装经销商对甲、乙、丙、丁四种服装（利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种服装的进货数量，影响该服装经销商决策的统计量是（ ） 种类 甲 乙 丙 丁 销售量（件） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 7. 在平面直角坐标系中，有，，，四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（ ） A. 点， B. 点， C. 点， D. 点， 8. 如图，在中，D是斜边的中点，作于点E，于点F，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9. 已知，是直线上的两个点，且，下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有，，三点，设直线，，的解析式分别为，，．若，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的值可以为_______．（写出一个满足条件的即可） 12. 为迎接2025年体育中考，甲、乙、丙三位男生参加1000米长跑训练，体育老师根据训练成绩得出他们的成绩的方差分别为，，，则______的成绩较稳定．(填“甲”、“乙”或“丙”) 13. 如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为______． 14. 直线与轴交于点，则关于的方程的解为______． 15. 在中，，则的长为______． 16. 如图，为正方形对角线的中点，将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部，连接，，，，若，．则点到直线的距离为______，的长为_______． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米，． （1）求梯子的长； （2）当梯子的顶端A下滑米时，求梯子的底端向外移动的距离． 19. 如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． （1）求与之间的函数解析式： （2）小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 20. 如图，在小正方形网格中，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图． （1）在图1中，过点作的平行线，使得： （2）在图2中，找出格点，，画出正方形． 21. 如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，， （1）求证：四边形是菱形； （2）求四边形的面积． 22. 为了解某小区居民用水情况，小明同学在八月份调查了，两栋居民楼，并在每栋楼各随机抽取了户居民，得到他们八月份的用水数据（单位：）．根据栋楼的用水量绘制了如图所示的频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值），其中，栋楼第三组具体数据是：，，，，，，，．，两栋楼的样本数据的平均数和中位数如下表： 平均数 中位数 栋楼用水量（） 栋楼用水量（） （1）______，______； （2）若栋楼的总户数是一个奇数，八月份用水量小于中位数的有户，请估计栋楼八月份总用水量是多少立方米？ 23. 根据以下素材，探索完成任务． 训练与心率的关系研究 素材 研究表明，运动时心跳速率通常和人的年龄有关．最大心率是指正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，最大心率(次/分)与年龄(岁)之间满足一次函数关系．一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分；一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分． 素材 靶心率是指在有氧运动时心率的一个特定范围．在此范围内运动才有训练效果，一般而言，越接近靶心率的最大值，训练效果越佳． 素材 靶心率为最大心率的(包含两端点)．运动时，心跳速率超过最大心率，会有生命危险． 解决问题 任务 求与之间的函数解析式； 任务 求一个年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率； 任务 小明今年岁，为了在体育中考中取得佳绩，需要加强训练，训练时测得心率为次/分，小明的运动有生命危险吗？若有，请说明理由，并利用素材中训练与心率的关系为他设计合理的运动方案．(心率结果取整数) 24. 【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍． 【推理论证】如图1，四边形是平行四边形，求证：． 小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，． 在和中，． 在中，． （1）请继续完成小应的证明； 【初步应用】（2）如图2，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，是斜边的三等分点，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期八年级期末试题 数学 （满分：120分考试时间：120分钟） 温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故此选项符合题意； B．所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能构成三角形，则此项不符合题意； B、，能构成直角三角形，则此项符合题意； C、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 3. 在中，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，由平行四边形的对角相等，得到，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则进行判断便可． 【详解】解：A．不是同类二次根式不能合并，选项错误； B．不是同类二次根式不能合并，选项错误； ，选项正确； ，选项错误； 故选：C 5. 要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、添加，可以证明成为菱形，故此选项不符合题意； B、添加，可以证明成为菱形，故此选项不符合题意； C、添加，不可以证明是矩形，故此选项不符合题意； D、添加，可以证明是矩形，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 路桥区某服装经销商对甲、乙、丙、丁四种服装（利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种服装的进货数量，影响该服装经销商决策的统计量是（ ） 种类 甲 乙 丙 丁 销售量（件） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数．根据众数的意义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：影响该服装经销商决策的统计量是众数． 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，有，，，四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（ ） A. 点， B. 点， C. 点， D. 点， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，分别求出所给点到原点的距离，据此可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴点到原点的距离为：； 点到原点的距离为， 点到原点的距离为， 点到原点的距离为， 所以点与点到原点的距离相等． 故选：A． 8. 如图，在中，D是斜边的中点，作于点E，于点F，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，由勾股定理得出，连接，由直角三角形的性质得出，再证明四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：在 中，， ， 如图，连接， ∵是斜边的中点， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故选：D． 9. 已知，是直线上的两个点，且，下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质和，是直线上的两个点，且，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：直线， 随的增大而减小，当时，， ，是直线上的两个点，且， 若，则可能大于，也可能小于，故无法判断的正负，选项A、B均不符合题意； 若，则，故，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有，，三点，设直线，，的解析式分别为，，．若，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了的图象．观察图象得：当时，直线位于的上方，直线位于的上方，即可求解． 【详解】解：如图， 当时，，，， 观察图象得：当时，直线位于的上方，直线位于的上方， ∴， 故选：B 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的值可以为_______．（写出一个满足条件的即可） 【答案】6（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是6， 故答案为：6（答案不唯一）． 12. 为迎接2025年体育中考，甲、乙、丙三位男生参加1000米长跑训练，体育老师根据训练成绩得出他们的成绩的方差分别为，，，则______的成绩较稳定．(填“甲”、“乙”或“丙”) 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越小．选派方差较小的那位． 【详解】解：，，， 由于， 则成绩较稳定的同学是乙． 故答案为：乙． 13. 如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，只需要证明是等边三角形求出即可得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 菱形的周长， 故答案为：． 14. 直线与轴交于点，则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，根据方程与一次函数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知，方程的解可看成一次函数的图象与轴交点的横坐标， 因为直线与轴交于点， 所以的解为． 故答案为：． 15. 在中，，则的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用勾股定理求边长的问题，根据勾股定理来进行解答即可，本题需要分两种情况进行计算，即为斜边和为直角边． 【详解】解：∵ ∴， 当为直角边时，根据勾股定理可得：， 当为斜边时，根据勾股定理可得：， 故答案为：或． 16. 如图，为正方形对角线的中点，将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部，连接，，，，若，．则点到直线的距离为______，的长为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，中位线的性质；在上截取，过点作交的延长线于点，证明，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出点到直线的距离为，根据中位线的性质即可得出的长． 【详解】解：如图所示，在上截取，过点作交的延长线于点， ∵将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部， ∴垂直平分，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即点到直线的距离为， ∵， ∴， 故答案为：2，2． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的减法法则计算即可得出答案； （2）利用平方差公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米，． （1）求梯子的长； （2）当梯子的顶端A下滑米时，求梯子的底端向外移动的距离． 【答案】（1）梯子的长为 （2）梯子的底端向外移动的距离为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据梯长不变，利用勾股定理求出梯子下滑后，底端到点的距离，再减去的长即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，， 由勾股定理，得：； 答：梯子的长为； 【小问2详解】 如图，由题意，得：，， 在中，， ∴梯子的底端向外移动的距离为：； 答：梯子的底端向外移动的距离为． 19. 如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． （1）求与之间的函数解析式： （2）小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 【答案】（1） （2）小张购买这张消费卡实际花费元 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的应用， （1）依据题意，设解析式为，把代入，计算即可得解； （2）依据题意，结合（）令时，进而计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，设解析式为，把代入得： ． ． 所求函数关系式为． 【小问2详解】 由题意，结合（1）， 令时，． 小张购买这张消费卡实际花费元． 20. 如图，在小正方形网格中，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图． （1）在图1中，过点作的平行线，使得： （2）在图2中，找出格点，，画出正方形． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，正方形即为所求 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，无刻度直尺作图； （1）作平行四边形，即可求解． （2）作正方形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，， （1）求证：四边形是菱形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，且， ∴ ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平行四边形得出结合勾股定理的逆定理，得证即可作答． （2）运用菱形性质列式求面积，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是菱形 ， ∴ 22. 为了解某小区居民用水情况，小明同学在八月份调查了，两栋居民楼，并在每栋楼各随机抽取了户居民，得到他们八月份的用水数据（单位：）．根据栋楼的用水量绘制了如图所示的频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值），其中，栋楼第三组具体数据是：，，，，，，，．，两栋楼的样本数据的平均数和中位数如下表： 平均数 中位数 栋楼用水量（） 栋楼用水量（） （1）______，______； （2）若栋楼的总户数是一个奇数，八月份用水量小于中位数的有户，请估计栋楼八月份总用水量是多少立方米？ 【答案】（1）7， （2） 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图，用样本估计总体、中位数、平均数， （1）利用总数减去其它组的频数即可求出的值，利用中位数的定义即可求出的值； （2）根据中位数可知栋楼的总户数，再用总户数乘平均数，即估计该栋楼八月份总用水量． 【小问1详解】 解： ， 楼户居民用水量从小到大排列，排在第位的数是，即中位数； 故答案为：，； 【小问2详解】 栋楼的总户数为（户）， ， 答：估计栋楼八月份总用水量是． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 训练与心率的关系研究 素材 研究表明，运动时心跳速率通常和人的年龄有关．最大心率是指正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，最大心率(次/分)与年龄(岁)之间满足一次函数关系．一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分；一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分． 素材 靶心率是指在有氧运动时心率的一个特定范围．在此范围内运动才有训练效果，一般而言，越接近靶心率的最大值，训练效果越佳． 素材 靶心率为最大心率的(包含两端点)．运动时，心跳速率超过最大心率，会有生命危险． 解决问题 任务 求与之间的函数解析式； 任务 求一个年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率； 任务 小明今年岁，为了在体育中考中取得佳绩，需要加强训练，训练时测得心率为次/分，小明的运动有生命危险吗？若有，请说明理由，并利用素材中训练与心率的关系为他设计合理的运动方案．(心率结果取整数) 【答案】任务1：与之间的函数解析式为：； 任务2：年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率为～； 任务3：有危险，理由见解答；小明运动时的心率为次分，效果最佳． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的应用； 任务1：根据待定系数法求解； 任务2：根据“靶心率为最大心率的～(包含两端点)”列式表示； 任务3：当时，求的值． 【详解】解：任务：设， 则：， 解得：， 与之间的函数解析式为：； 任务：当时，， 年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率为～； 任务：小明的运动有生命危险； 理由：当时，， 小明的运动有生命危险； ， 小明运动时的心率为次分，效果最佳． 24. 【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍． 【推理论证】如图1，四边形是平行四边形，求证：． 小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，． 在和中，． 在中，． （1）请继续完成小应的证明； 【初步应用】（2）如图2，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，是斜边的三等分点，，，求的长． 【答案】 （1）小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，． 在和中，． 在中，． ∴ （2）； （3） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识 （1）首先证明出，得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （2）根据（1）的结论，代入数据，即可求解； （3）以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接；设，则，根据（1）的结论得出，，根据勾股定理可得，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵，，， ∴ ∴ ∴ （3）如图所示，以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接； 则 ∵，是斜边的三等分点， ∴， 设，则 由（1）可得 ∴ 即 同理可得 ∴ 即 又∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $