湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

长沙市明德中学2023~2024学年高一年级期末考试 数学试卷 2024年7月 时量：120分钟 满分：150分 命题：高一数学组 审题：高一数学组 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则下列说法错误的是（ ） A. 新数据的极差可能等于原数据的极差 B. 新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C. 若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D. 若，则新数据的分位数一定大于原数据的分位数 3. 设的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，若，且不等式的解集为，则　　 A. B. C. 或 D. 4. 在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 10 5. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，在直三棱柱中，，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线和平面所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 7. 在正方体中边长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为,则此时点构成的图形面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机拋掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件“”，事件“”，事件“”，则（ ） A. B. C. 互斥 D. 独立 10. 已知函数的图象在区间上有且仅有三个对称中心，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的图象在区间上有2条或3条对称轴 C. 在区间上的最大值不可能为3 D. 在区间上为增函数 11. 如图，已知正方体的棱长为，分别为棱上的点，，则（ ） A. B. 平面经过棱的中点 C. 平面截该正方体，截面面积的最大值为 D. 点到平面距离的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，函数的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线交的图象于点D，O(坐标原点)为的重心(三条边中线的交点)，其中，则的面积为___________. 13. 厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这容量为200的样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，≠0，抽取学生的样本容量多于教师的样本容量，则总样本中，学生样本的容量至少为______． 14. 正四棱锥的外接球半径为R，内切球半径为r，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 17. 袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）求取球2次即终止的概率； （2）求甲取到白球的概率. 18. 如图，已知四边形为菱形，四边形为平行四边形，且，. （1）证明：直线平面； （2）设平面平面，且二面角的平面角为，， 设为线段的中点，求与平面所成角的正弦值. 19. 点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. （1）若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； （2）若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 长沙市明德中学2023~2024学年高一年级期末考试 数学试卷 2024年7月 时量：120分钟 满分：150分 命题：高一数学组 审题：高一数学组 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】160 【14题答案】 【答案】## 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）；（2） 【18题答案】 【答案】（1） 设，连接， 四边形为菱形，则， 又，易得， 所以，则， 又，平面， 所以直线平面； （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $