精品解析：山东省威海市高新区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

威海高新区2023-2024学年度第二学期质量检测初二数学试题 一、选择题（30分） 1. 下列事件中，属于假命题的是（ ） A. 等腰三角形是锐角三角形 B. 等边三角形是等腰三角形 C. 两点之间，线段最短 D. 等边三角形是锐角三角形 2. 若a>b，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. a+3>b+3 B. C. D. -3a<-3b 3. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 4. 下列结论正确的是（ ） A. 有两个锐角相等的两个直角三角形全等 B. 两个等边三角形全等 C. 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 D. 顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 5. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，与平行． A. 54 B. 64 C. 74 D. 114 6. 若不等式组解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）. A. m＞3 B. m≥3 C. m≤3 D. m＜3 7. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ） A. B. C. D. 8. a，b是两个给定的整数，某同学分别计算当时，代数式的值，依次得到下列四个结果，已知其中有三个是正确的，那么错误的一个是（ ） A. B. C. D. 9. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 10. 要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案（如图）： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可 ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案I、II，说法正确的是（ ） A. I可行、II不可行 B. I不可行、II可行 C. I、II都可行 D. I、II都不可行 二、填空题（18分） 11. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______ 12. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是__________． 13. 如图，点D为线段与线段的垂直平分线的交点，，则等于_____ 14. 如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为_________． 15 如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹： （1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF； （2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 _____． 16. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是______． 三、解答题共72分 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个. （1）先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A.请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于，求m的值. 20. 如图，在中，，点D在线段的延长线上，点E是中点，点F是边上一点．请利用无刻度直尺和圆规作出点G，使且（保留作图痕迹，不写作法） 21. 四月份是樱桃上市旺季．某水果超市销售樱桃，第一周每千克樱桃的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售樱桃140千克，且第一周樱桃的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周樱桃销售总额为11800元．第二周樱桃销售单价是每千克多少元？ 22. 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 23. 感知：分子，分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或②． 解不等式组①，得， 解不等式组②，得． 所以原分式不等式解集为或． （1）探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式． （2）应用：求不等式的解集． 24. （1）阅读理解： 如图①，在中，若， ，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法： 延长至点E，使，连接 在中，利用三角形三边的关系求出的取值范围； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接， 求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威海高新区2023-2024学年度第二学期质量检测初二数学试题 一、选择题（30分） 1. 下列事件中，属于假命题的是（ ） A. 等腰三角形是锐角三角形 B. 等边三角形是等腰三角形 C. 两点之间，线段最短 D. 等边三角形是锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题． 【详解】解：A．等腰三角形不一定是锐角三角形，故原命题错误，属于假命题，符合题意； B．等边三角形是等腰三角形，正确，属于真命题，不符合题意； C．两点之间，线段最短，正确，属于真命题，不符合题意； D．等边三角形是锐角三角形，正确，属于真命题，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键． 2. 若a>b，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. a+3>b+3 B. C. D. -3a<-3b 【答案】B 【解析】 【点睛】根据不等式的性质，可得答案． 【详解】解：A、∵a＞b， ∴a+3＞b+3，原变形正确，故此选项不符合题意； B、若a=2，b=-4，则，原变形不一定正确，故此选项符合题意； C、∵a＞b， ∴，原变形正确，故此选项不符合题意； D、∵a＞b， ∴-3a＜-3b，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”， 应先假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：B． 4. 下列结论正确的是（ ） A. 有两个锐角相等的两个直角三角形全等 B. 两个等边三角形全等 C. 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 D. 顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定依次进行分析判断即可求解． 【详解】解：A、有两个锐角相等的两个直角三角形不一定全等，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形不一定全等，故该选项不符合题意； C、两个直角三角形的一直角与一斜边对应相等，才能全等，故该选项不符合题意； D、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形可得出所有的角都对应相等，还有一组边对应相等，因此全等是正确的，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的特殊三角形的全等的判定，解题关键是牢记全等三角形的判定方法，即“”，直角三角形还可以用“”． 5. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，与平行． A. 54 B. 64 C. 74 D. 114 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 6. 若不等式组的解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）. A. m＞3 B. m≥3 C. m≤3 D. m＜3 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，然后根据不等式的解集，得出m的取值范围即可． 【详解】， 解①得，x>3； 解②得，x>m， ∵不等式组的解集是x>3， 则m≤3. 故选C. 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，其简便求法就是利用口诀求解.也可利用不等式的性质求解.求不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解集. 7. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可． 【详解】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的 即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和． 8. a，b是两个给定的整数，某同学分别计算当时，代数式的值，依次得到下列四个结果，已知其中有三个是正确的，那么错误的一个是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先联合A、B把所得的解代入C、D，若只有一个错，说明符合题意，若C、D都错，则说明A，B中必有一个错误以此类即可找到答案． 【详解】解：当时，代数式； 当时，代数式； 当时，代数式； 当时，代数式； 若选项A、B正确，则得到， 解得， 把代入选项C，得，即选项C错误； 把代入选项D，得，即选项D错误； 若选项B、C正确，则得到， 解得， 把代入选项A，得，即选项A错误； 把代入选项D，得，即选项D正确； ∴选项B、C、D是正确的，选项A是错误的， 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式的求值，解方程组，解题的关键是采用排除法选择答案． 9. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解． 【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 取得最小值时，的取值范围是； 故选C． 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解． 10. 要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案（如图）： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可 ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案I、II，说法正确的是（ ） A. I可行、II不可行 B. I不可行、II可行 C. I、II都可行 D. I、II都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图—作角等于已知角，直线、射线、线段，平行线的判定与性质，三角形的内角和，根据平行线的判定与性质可对方案（I）进行判断；根据三角形的内角和可对方案（II）进行判断． 【详解】解：对于方案（I）： ， ， 等于直线所夹的锐角， 测量的大小即可， ∴方案（I）正确； 对于方案（II）： 和直线所夹锐角组成三角形， 直线所夹锐角等于， 所以测量和的大小可计算出直线所夹的锐角， ∴方案（II）正确． 故选：C． 二、填空题（18分） 11. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，由题意得、是解题关键． 【详解】解：由得： ∵不等式的解集是 ∴ ∴ ∴，即： ∴不等式可化为： ∴ 故关于x的不等式的解集是： 故答案为： 12. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为， ， 大正方形的面积， 小球停留在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 13. 如图，点D为线段与线段的垂直平分线的交点，，则等于_____ 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质，可得，从而得、，结合三角形内角和定理，可得、，两式相减，可得，结合，问题即可解答． 本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点D为线段与线段的垂直平分线的交点， ， ，， 在中，， 在中，， ， 即， ， ． 故答案为： 14. 如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为_________． 【答案】﹣0.5＜x＜2 【解析】 【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0）， ∵（kx+b）（mx+n）＞0， ∴两个正数或两个负数的积为正数， ∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0解集为﹣0.5＜x＜2， 故答案为：﹣0.5＜x＜2． 【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 15 如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹： （1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF； （2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠AOB的平分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平分线， ∵AB=6，∠BAC=60°， ∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，AD=AB=3， ∴AM=2MD， 在Rt△ADM中，， 即， ∴MD=， ∵AM是∠AOB的平分线，MD⊥AB， ∴点M到射线AC的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意灵活运用基本作图的知识解决问题． 16. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为： 或， 最右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴与的积为， 故答案为：． 三、解答题共72分 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）化简后用加减消元法求解即可； （2）化简后用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 化简，得， ，得， 把代入①，得， 解得， ； 【小问2详解】 解：， 化简，得， ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， ∴． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【解析】 【分析】先求出两个不等式解集，再求其公共解，然后把解集表示在数轴上即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【详解】解： 由①，得， 由②，得， ∴原不等式组的解集为：． 把解集表示在数轴上如图： 19. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个. （1）先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A.请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于，求m的值. 【答案】(1) 4；2或3；（2）m=2. 【解析】 【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可． 【详解】解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件； 当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件， 故答案为4；2或3. （2）根据题意得：， 解得：m=2， 所以m的值为2. 20. 如图，在中，，点D在线段的延长线上，点E是中点，点F是边上一点．请利用无刻度直尺和圆规作出点G，使且（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——作角平分线，作的角平分线，再连接并延长，交的角平分线于点即可，熟练作出一个角的角平分线是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， ． 21. 四月份是樱桃上市的旺季．某水果超市销售樱桃，第一周每千克樱桃的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售樱桃140千克，且第一周樱桃的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周樱桃销售总额为11800元．第二周樱桃销售单价是每千克多少元？ 【答案】第二周樱桃销售单价是每千克元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出隐藏的数学条件并据此列式计算是解决此类问题的关键． 设第一周草莓销售单价是每千克元，则第二周草莓销售单价是每千克元，根据“第一周樱桃的销量与第二周的销量之比为，且水果超市这两周草莓销售总额为11800元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设第一周草莓销售单价是每千克元，则第二周草莓销售单价是每千克元， 可得， 解得， 答：第二周樱桃销售单价是每千克元． 22. 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【解析】 【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 23. 感知：分子，分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或②． 解不等式组①，得， 解不等式组②，得． 所以原分式不等式的解集为或． （1）探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式． （2）应用：求不等式解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先转化成不等式组，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可． 【小问1详解】 探究：． 根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①，或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②得此不等式组无解． 所以原分式不等式的解集为； 【小问2详解】 应用：， 原不等式可化为不等式组：①或②， 解不等式组①得：不等式组无解， 解不等式组②得：， 所以不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 24. （1）阅读理解： 如图①，在中，若， ，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法： 延长至点E，使，连接 在中，利用三角形三边的关系求出的取值范围； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接， 求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）见详解 （3）线段，，之间的数量关系为，理由见详解 【解析】 【分析】（1）延长至点E，使，连接．根据可得，则可得．在中，利用三角形三边的关系求出的取值范围，则可得的取值范围； （2）延长至G，使，连接，．根据证明，则可得．根据线段垂直平分线的性质可得．在中，根据三角形三边之间的关系可得，进而可得． （3）延长至G，使，连接．根据可得，则可得，．由，可得．根据可得，则可得． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接， ∵是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ． （2）证明：如图，延长至G，使，连接，， ∵D是边上的中点， ∴， 又， ， ， ，， ， 在中，根据三角形三边之间的关系，得 ， ． （3）解：线段，，之间的数量关系为，理由如下： 如图，延长至G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $