数列的综合应用 专项训练-2025届高三数学一轮复习

数列的综合应用 1．记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．求： (1){an}的通项公式； (2)使得Sn>an成立的n的最小值． 2．0在数列{an}中，a2＝，an＋1＝an＋，n∈N*. (1)证明：数列{an－1}是等比数列； (2)令bn＝2n+1·an＋3，数列的前n项和为Sn，求证：Sn<. 3．森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥重要的作用．为了实现“到2030年，中国的森林蓄积量比2005年增加60亿立方米”的目标， A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计， A地2020年年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉t(10<t<30)万立方米的森林．设an为自2021年开始，第n年年底的森林蓄积量(例如a1＝150－t)． (1)试写出数列{an}的一个递推公式； (2)设bn＝an－4t(n∈N，n≥1)，证明：数列{bn}是等比数列； (3)若到2030年年底，A地要实现“森林蓄积量要不少于640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量t最多是多少万立方米？(精确到1万立方米) 参考数据：≈5.96，≈7.45，≈9.31. 4．已知数列的前n项和为Sn，点在直线y＝x＋4上，数列满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0且b4＝8，前11项和为154. (1)求数列的通项公式； (2)令cn＝，数列的前n项和为Tn，求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值． 参考答案 1．解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， ∴ 由①得a1＋2d＝0⇒a1＝－2d，代入②得(－d)·d＝－8d＋6d⇒d2－2d＝0， ∵d≠0，∴d＝2，∴a1＝－4，∴an＝－4＋2(n－1)＝2n－6. (2)Sn＝－4n＋·2＝n2－5n， 由Sn＞an⇒n2－5n＞2n－6，∴n2－7n＋6＞0，(n－1)(n－6)＞0， ∴n＞6，∵n∈N*，故n的最小值为7. 2．证明：(1)由an＋1＝an＋，得an＋1－1＝(an－1)，由a2＝，得a1＝， 则a1－1＝≠0，所以an－1≠0，得＝， 所以数列{an－1}是以为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)得an－1＝，则an＝＋1，所以bn＝2n+1·an＋3＝2n+1＋＋3， 所以＝ ＝ ＝< ＝. 所以Sn≤＋…＋ ＝<. 3．解：(1)由题意，得a1＝120×(1＋25%)－t＝150－t， an＋1＝an(1＋25%)－t＝an－t. (2)证明：因为an＋1＝an－t，故an＋1－4t＝(an－4t)， 当n＝1时，b1＝a1－4t＝150－t－4t＝150－5t， 即＝，故{bn}是以150－5t为首项，为公比的等比数列． (3)由(2)得，an－4t＝(150－5t)·， 所以an＝4t＋(150－5t)·. 2030年年底的森林蓄积量为数列{an}的第10项， a10＝4t＋(150－5t)·. 由题意，森林蓄积量到2030年年底要实现不少于640万立方米的目标， 所以a10≥640，即4t＋(150－5t)·≥640， 即4t＋(150－5t)×7.45＝4t＋1 117.5－37.25t≥640，解得t≤14.36. 所以每年的砍伐量最多为14万立方米． 4．解：(1)由题意，得＝n＋4，即Sn＝n2＋4n， 故当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3，∵n＝1时，a1＝S1＝5，符合上式， ∴an＝2n＋3，n∈N*. 又bn＋2－2bn＋1＋bn＝0， ∴为等差数列，∴＝154， ∵b4＝8，∴b8＝20，∴d＝＝3， ∴bn＝b4＋3(n－4)＝3n－4， 即bn＝3n－4，n∈N*. (2)cn＝ ＝ ＝ ＝ ＝. ∴Tn＝ ＝＝. ∵Tn＋1－Tn＝ ＝>0， ∴Tn单调递增，T1＝， 令>，得k<12，∴kmax＝12. ∴使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值为12 学科网（北京）股份有限公司 $$