专题1.10 空间向量与立体几何全章综合测试卷（基础篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版（2019）】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 3．（5分）（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 6．（5分）（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知空间向量,若,则（    ） A．6 B． C．36 D．5 7．（5分）（23-24高二下·甘肃白银·期末）在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．（5分）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 11．（5分）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知四边形是平行四边形，，，，则（    ） A．点的坐标是 B． C． D．四边形的面积是 12．（5分）（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．与平面所成夹角的正弦值为 D．平面与平面所成夹角的正弦值为 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知向量，，，若三个向量共面，则 ． 14．（5分）（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 15．（5分）（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 16．（5分）（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（23-24高二·全国·课堂例题）化简：． 18．（12分）（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. (1)用，，表示； (2)求的值. 19．（12分）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 20．（12分）（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 21．（12分）（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，平面，分别是的中点，四边形是菱形，，．    (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离． 22．（12分）（23-24高二下·广东惠州·期末）在三棱锥中，平面．分别为线段上的点，且． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误.    故选：D. 2．（5分）（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【解题思路】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【解答过程】, 故选：A. 3．（5分）（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果． 【解答过程】在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱PC上，且满足， 设， 故， 所以， 点N为棱的中点， 所以， 故. 故选：B． 4．（5分）（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论. 【解答过程】由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数使得，且， 显然选项A，C不成立； 对于选项B，由可得， 不合题意，即B错误； 对于D，化简可得， 满足，可得D正确； 故选：D. 5．（5分）（23-24高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【解题思路】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【解答过程】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C. 6．（5分）（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知空间向量,若,则（    ） A．6 B． C．36 D．5 【解题思路】首先根据向量平行求，再代入模的公式，即可求解. 【解答过程】因为，所以，所以，所以. 故选：A. 7．（5分）（23-24高二下·甘肃白银·期末）在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【解答过程】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故，设直线与平面所成角为， 则，所以. 故选：D. 8．（5分）（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【解题思路】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【解答过程】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C. 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由可判断A；由可判断B；设，由共面定理可判断C；设，由共面定理可判断D. 【解答过程】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD. 10．（5分）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【解题思路】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断. 【解答过程】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 11．（5分）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知四边形是平行四边形，，，，则（    ） A．点的坐标是 B． C． D．四边形的面积是 【解题思路】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：ABD. 12．（5分）（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．与平面所成夹角的正弦值为 D．平面与平面所成夹角的正弦值为 【解题思路】对于A：利用平面几何知识说明即可； 对于B：只需要证明即可； 对于C：建立空间直角坐标系，计算与平面的法向量，再代入线面角的计算公式； 对于D：计算平面和平面法向量，在代入面面角的计算公式. 【解答过程】因为，，，为的中点，所以，,四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故B正确； 如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形， 所以，，，所以， 又因为四边形为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点， 所以，与不垂直，故A错误； 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，所以， 又因为为中点，所以且，， 则有，所以， 互相垂直， 以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    ，，，，， ，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，得，，即， 则，令，得，，即， 所以与平面所成角的正弦值为，故C正确； ，则 所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误. 故选：BC. 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知向量，，，若三个向量共面，则 ． 【解题思路】由向量共面的性质可得 ，列出方程组解出即可. 【解答过程】因为三向量共面，所以可设 ， 即， 所以，解得，，所以. 故答案为：-4. 14．（5分）（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【解题思路】先计算出，再运用向量的模长公式展开，代入即得. 【解答过程】依题意，， 则 ， . 故答案为：. 15．（5分）（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【解题思路】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【解答过程】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为：. 16．（5分）（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 【解题思路】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则. 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 故答案为：. 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（23-24高二·全国·课堂例题）化简：． 【解题思路】根据空间向量的线性运算及运算律即可求解。 【解答过程】原式． 18．（12分）（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. (1)用，，表示； (2)求的值. 【解题思路】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案. （2）利用空间向量的数量积运算律计算即得. 【解答过程】（1）在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点， ， 所以 . （2）正四面体的棱长为1，则， 所以. 19．（12分）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 【解题思路】（1）问题转化为，求. （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. 【解答过程】（1）由题知，， 所以， 因为， 所以 . （2）因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 20．（12分）（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【解题思路】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【解答过程】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 21．（12分）（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，平面，分别是的中点，四边形是菱形，，．    (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离． 【解题思路】（1）由面面平行的判定定理和性质定理证明即可. （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由点到平面的向量公式求解即可. 【解答过程】（1）证明：取中点，连接， ∵在四棱锥中，平面，分别是的中点， 四边形是菱形，，． ∴， 平面，平面，所以平面， 同理平面，， ， ∴平面， ∵平面，∴平面； （2）连接，由题意得，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，，， 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，得， ∴点E到平面的距离为：． 22．（12分）（23-24高二下·广东惠州·期末）在三棱锥中，平面．分别为线段上的点，且． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解题思路】（1）根据平面并结合的形状，利用线面垂直的判定定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，求解出平面、平面的法向量，再用面面角的向量求法求解即得.. 【解答过程】（1）由平面，平面，得， 由得为等腰直角三角形，即， 又，且面，面， 所以平面． （2）在三棱锥中，取中点，连接，由（1）知，，， 而，于是，，则 显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为，则，令，得． 由平面，则平面的法向量为，设平面与平面夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$