第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

(时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝(　　) A．{－1,2}　　　　　 B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4} 解析　解法一　通过解不等式可得集合B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝{1,2}，故选B. 解法二　代入排除法．x＝－1代入集合B＝{x||x－1|≤1}，可得|x－1|＝|－1－1|＝2>1，不满足，排除A、D；x＝4代入集合B＝{x||x－1|≤1}，可得|x－1|＝|4－1|＝3>1，不满足，排除C，故选B. 答案　B 2．不等式14－5x－x2<0的解集为(　　) A．{x|－7<x<2} B．{x|x<－7或x>2} C．{x|x>2} D．{x|x<－7} 解析　原不等式等价于x2＋5x－14>0， 所以(x＋7)·(x－2)>0， 即x<－7或x>2，故选B. 答案　B 3．设x>0，那么3－－x有(　　) A．最大值1 B．最小值1 C．最大值5 D．最小值－5 解析　∵x>0， ∴3－－x＝3－≤3－2＝1， 当且仅当x＝即x＝1时，等号成立． 答案　A 4．已知m＝8－n，m＞0，n＞0，则mn的最大值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析　∵m＝8－n，m＞0，n＞0， ∴8＝m＋n≥2，解得mn≤16， 当且仅当m＝n＝4时取等号．则mn的最大值为16，故选C. 答案　C 5．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≤0的解集为∅，则实数m的取值范围是(　　) A.∪ B． C.∪ D． 解析　由于关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≤0的解集为∅， 所以Δ＝m2－4＝<0，解得－2<m<2， 所以实数m的取值范围是，故选B. 答案　B 6．已知a>0，b>0，且满足2a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　) A．2 B．3 C．3＋2 D．＋ 解析　因为2a＋b＝ab，所以＋＝1， 所以a＋b＝＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即a＝＋1，b＝2＋时取等号， 所以a＋b的最小值为3＋2，故选C. 答案　C 7．不等式2x2－axy＋y2≥0，对于任意1≤x≤2及1≤y≤3恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤2} B．{a|a≥2} C. D． 解析　由题知，a≤，而≥＝2(当且仅当2x2＝y2时取“＝”)，由于存在1≤x≤2，1≤y≤3，使2x2＝y2，故a≤2. 答案　A 8．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运(　　) A．3年　　　　　　 B．4年 C．5年 D．6年 解析　设二次函数为y＝a(x－6)2＋11.又图象过点(4,7)，代入得7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，∴y＝－x2＋12x－25. 设年平均利润为m，则m＝＝－x－＋12≤2， 当且仅当x＝，即x＝5时取等号． 答案　C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题不正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>－b，则－a>b C．若ac>bc，则a>b D．若a>b，则a－c>b－c 解析　当c＝0时，A选项错误； 若a>－b，则－a<b，B错； 若c<0时，C错；只有D正确． 答案　ABC 10．若a>0，b>0，且a＋2b＝3，则＋的值可以是(　　) A．3 B． C. D．2 解析　由a＋2b＝3，得a＋b＝1， 所以＋＝ ＝＋＋≥＋2 ＝， 当且仅当a＝2b＝时取等号，故选ABC. 答案　ABC 11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的值可以是(　　) A．－2　　 B．－1　　　 C．3　　 D．5 解析　因为不等式x＋<m2－3m有解， 所以min<m2－3m， 因为x>0，y>0，且＋＝1， 所以x＋＝＝＋＋2 ≥2 ＋2＝4， 当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取“＝”， 所以min＝4，故m2－3m>4， 即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4， 所以实数m的取值范围是{m|m>4或m<－1}， 故选AD. 答案　AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式(2x－1)(3－x)＜0的解集为________． 解析　不等式(2x－1)(3－x)＜0化为(x－3)＞0，解得x＞3或x＜， ∴原不等式的解集为. 答案　 13．a，b∈R，a＞b和＜同时成立的条件是________．(答案不唯一，写出一个即可) 解析　－＝＜0， 因为a＞b，即b－a＜0， 所以ab＞0，所以a＞b＞0或0＞a＞b. 答案　a＞b＞0(或0＞a＞b) 14．已知a>0，b>0，且＋＝1，则＋的最小值为________，取得最小值时a＝________.(第一个空3分，第二个空2分) 解析　∵a>0，b>0，且＋＝1，∴＝>0，∴a－1＝，且b－1>0，则＋＝3(b－1)＋≥2＝2， 当且仅当3(b－1)＝，即b＝1＋时，上式等号成立，此时a＝1＋. 答案　2　1＋ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)设x∈R，比较与1－x的大小． 解析　作差：－(1－x)＝， ①当x＝0时，∵＝0，∴＝1－x； ②当1＋x<0，即x<－1时， ∵<0，∴<1－x； ③当1＋x>0且x≠0，即－1<x<0或x>0时， ∵>0，∴>1－x. 综上所述，当x＝0时，＝1－x； 当x＜－1时，＜1－x； 当x＞－1且x≠0时，＞1－x. 16．(15分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－8≤0}，B＝{x|m－1≤x≤m＋1}． (1)若m＝2，求(∁UB)∩A； (2)若B⊆A，求实数m的取值范围． 解析　(1)m＝2时，B＝{x|1≤x≤3}， 则∁UB＝{x|x＜1或x＞3}， 又A＝{x|x2＋2x－8≤0}＝{x|－4≤x≤2}， 故(∁UB)∩A＝{x|－4≤x＜1}． (2)由B＝{x|m－1≤x≤m＋1}，A＝{x|－4≤x≤2}，且B⊆A， 得解得－3≤m≤1. 所以实数m的取值范围为[－3,1]． 17．(15分)已知二次函数y＝x2－ax(a∈R)． (1)若a＝2，求不等式x2－ax≥3的解集； (2)若x≥1时，x2－ax≥－x2－2恒成立，求a的取值范围． 解析　(1)若a＝2， 可得x2－2x－3≥0，(x－3)(x＋1)≥0， 所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}． (2)x2－ax≥－x2－2，即a≤2， 当x≥1时恒成立，令y1＝2， 又y1＝2≥4 ＝4， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， 所以a≤4，故所求a的取值范围是{a|a≤4}． 18．(17分)某学校为了支持生物选修课程开展，计划利用学校面积为900(m2)的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1(m)，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留1(m)宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留3(m)宽的通道，如图．设矩形空地长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)． (1)求S关于x的关系式； (2)求S的最大值，及此时长x的值． 解析　(1)由题知，空地宽为， 所以三块种植植物的矩形区域的总面积为 S＝(x－8)× ＝－2x－＋916， 其中 即8＜x＜450. 所以S＝－2x－＋916(8＜x＜450)． (2)因为8＜x＜450. 所以S＝－2x－＋916 ＝－＋916 ≤－2＋916 ＝－240＋916 ＝676， 当且仅当2x＝，即x＝60时等号成立， 即x＝60 (m)时，S取得最大值676 (m2)． 19．(17分)《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：(1)整体观察；(2)整体设元；(3)整体代入；(4)整体求和等． 例如，ab＝1，求证：＋＝1. 证明：原式＝＋＝＋＝1. 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究． 例如，正实数a，b满足ab＝1，求的最小值． 解析　由ab＝1，得b＝， ∴＝＝＝ ＝(a＋1)＋－2≥2－2＝2－2， 当且仅当a＋1＝，即a＝－1，b＝＋1时，等号成立． ∴的最小值为2－2. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 结合阅读材料解答下列问题： (1)已知ab＝1，求＋的值； (2)若正实数a，b满足ab＝1，求M＝＋的最小值． 解析　(1)由题意得 ＋＝＋＝＋＝1. (2)解法一(整体代入)　由ab＝1，得 M＝＋＝＋＝ ＝＝1－ ＝1－， 由于b>0，故3b＋≥2＝2，当且仅当3b＝，即b＝，a＝时等号成立， 因为3b＋有最小值2，此时有最大值， 从而1－有最小值－1，即M的最小值为－1. 解法二(消元思想)　由题意得ab＝1， 所以a＝. M＝＋＝＋ ＝＋＝ ＝ ＝1－＝1－， 因为3b＋≥2＝2，当且仅当3b＝，即b＝，a＝时等号成立， 因为3b＋有最小值2，此时有最大值， 从而1－有最小值－1，即M的最小值为－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$