阶段测评(3)[范围2.1-2.2 ](Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

阶段测评(三) 一、单选题 1．已知0＜x＜1,0＜y＜1，记M＝xy，N＝x＋y－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M与N的大小关系不确定 解析　M－N＝xy－x－y＋1＝x(y－1)－(y－1)＝(x－1)(y－1)，因为0＜x＜1,0＜y＜1，所以x－1＜0，y－1＜0，所以M－N＞0，所以M＞N. 答案　B 2．函数y＝＋x(x<3)的最大值是(　　) A．－4　　　　　　　 B．1 C．5 D．－1 解析　因为x<3，所以3－x>0，所以y＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以y的最大值是－1. 答案　D 3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 解析　由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.∴－2<α－β<2，又因为α<β，所以－2<α－β<0，故选A. 答案　A 4．已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为a>0不能推出a>b，所以充分性不成立；若a>b且>，即a>b且>0，可得b－a<0且ab<0，则a>0，b<0，即a>b且>能推出a>0，所以必要性成立．所以可得甲是乙的必要不充分条件． 答案　B 5．已知m>0，n>0，且m＋2n＝3mn，则2m＋n的最小值是(　　) A. B．3 C．7 D．9 解析　由题意可得＋＝3，则2m＋n＝(2m＋n)＝≥×(2＋5)＝3，当且仅当m＝n＝1时，等号成立． 答案　B 6．如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条相互垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分修建草坪，要求草坪的面积不小于300 m2.设道路的宽为x m，根据题意可列出的不等式为(　　) A．(22－x)(17－x)≤300 B．(22－x)(17－x)≥300 C．(22－x)(17－x)>300 D．(22－x)(17－x)<300 解析　把所修建的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，草坪面积为(22－x)(17－x)m2. 因为草坪的面积不小于300 m2， 所以(22－x)(17－x)≥300. 答案　B 7．若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则的最大值为(　　) A. B． C. D．1 解析　因为x＋4y－xy＝0，化简可得x＋4y＝xy，左右两边同时除以xy得＋＝1， 求的最大值，即求＝＋的最小值， 所以×1＝×＝＋＋＋≥2＋＝＋＝3，当且仅当＝，即x＝6，y＝3时取“＝”，所以的最大值为. 答案　A 8．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m＜6} B．{m|m≤6} C．{m|m≤8} D．{m|m＜8} 解析　x＋2y＝(x＋2y)·＝4＋＋≥4＋2＝8当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立，所以x＋2y＞m恒成立，只需(x＋2y)min＞m，所以m＜8，故选D. 答案　D 二、多选题 9．若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　) A．|a|>|b| B．a<b C．a＋b<ab D．a3>b3 解析　由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确； a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确； a3>b3，D正确． 答案　CD 10．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为(　　) A.≥ab B．＋≥2 C．ab≤2 D．2≤ 解析　由a，b∈R，得≥ab，A正确； 由a，b∈R，得与不一定是正数，故B不一定成立； ab－2＝－≤0，故C正确； 2－＝－≤0，故D正确，故选ACD. 答案　ACD 11．下列说法正确的是(　　) A．若a＞b＞0，则ac2≥bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 C．若a＞b＞0且c＞0，则＞ D．若a＞b且＞，则ab＜0 解析　对于A，若a＞b＞0，则ac2－bc2＝c2(a－b)≥0，即ac2≥bc2，故A正确； 对于B，若a＜b＜0，则a2－ab＝a(a－b)＞0，ab－b2＝b(a－b)＞0，所以a2＞ab＞b2，故B正确； 对于C，若a＞b＞0且c＞0，则－＝＝＜0，所以＜，故C错误； 对于D，若a＞b且＞，则b－a＜0，－＝＞0，所以ab＜0，故D正确，故选ABD. 答案　ABD 12．设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.＋的最小值为4 B.的最大值为 C.＋的最小值为 D．a2＋b2的最小值为 解析　对于A，＋＝(a＋b)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确； 对于B,0＜≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确； 对于C，∵(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C错误； 对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确，故选ABD. 答案　ABD 三、填空题 13．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________． 解析　由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号． 答案　3 14．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________． 解析　因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，所以xy≤3，当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号． 答案　3　2 15．某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件： (1)高一学生人数多于高二学生人数； (2)高二学生人数多于高三学生人数； (3)高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和． 若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为________． 解析　设高二学生人数为x，高三学生人数为y， 则 由②及y∈N*可知，y≥3，结合①可知，4≤x≤6，(x，y)共有6种， 取法为(6,3)，(6,4)，(6,5)，(5,4)，(5,3)，(4,3)， 逐一代入②验证，可得只有(6,5)满足， ∴x＝6，y＝5，该志愿者服务队总人数为7＋6＋5＝18. 答案　18 16．已知对任意x>a，不等式2x＋≥7恒成立，则实数a的最小值为________． 解析　因为x>a， 所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7， 所以a≥，即a的最小值为. 答案　 四、解答题 17．(1)若x>0，求x＋的最小值，并求此时x的值； (2)若0<x<，求4x(3－2x)的最大值． 解析　(1)当x>0时，x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号． ∴x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4. (2)∵0<x<，∴4x>0,3－2x>0， ∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∵∈， ∴4x(3－2x)的最大值为. 18．下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因． 甲：因为－6<a<8，－4<b<2，所以－2<a－b<6. 乙：因为2<b<3，所以<＜， 又－6<a<8，所以－2<<4. 丙：因为2<a－b<4，所以－4<b－a<－2. 又－2<a＋b<2，所以0<a<3，－3<b<0， 所以－3<a＋b<3. 解析　甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的． 乙同学做的不对，本题中只知道－6<a<8，不明确a值的正负． 故不能将<<与－6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘． 丙同学做的不对．同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形． 丙同学将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3， 又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0， 又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3， 多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大. 学科网（北京）股份有限公司 $$