精品解析：2024年河南省信阳市息县中招适应性测试（四）数学（培优）试卷

2024年九年级中招适应性测试（四）数学试卷 注意事项： 本试卷共6页，三个大题，23个小题．满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中最大的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. －3 2. 年月号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时千米，数据用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ） A. B. C. D. 8. 杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 9. 如图为一把椅子的侧面示意图，已知地面，，，，则地面上两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点在边上，点是上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图像，其中点是函数图像的最低点，则的值为（　　） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 4的平方根是_______． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有___个． 13. 不等式组的解集是__________． 14. 如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，为斜边的中点，是边上的一个动点，将沿翻折得到，当直线与垂直时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（满分100分）进行分组整理，各小组的成绩x（单位：分）分段为：，，，，，绘制如图所示统计图．已知成绩在这一组的数据如下（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求，这两个分数段的学生人数，并直接补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中成绩“”对应扇形的圆心角的度数； （3）求这次测试成绩的中位数； （4）这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分，乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 18. 如图，中，． （1）请完成尺规作图：过点作，垂足为．（要求：不写做法，保留作图痕迹．） （2）在（1）的基础上，求证：． 19. 如图，将直线向上平移5个单位长度后得到直线，直线与反比例函数在第一象限的图象交于点和点B．直线与x轴交于点M （1）求点B的坐标； （2）在x轴上取一点N，当的面积为6时，求点N的坐标； 20. 某“综合与实践”小组开展测量某建筑物高度的活动，他们制订了测量方案，测量报告如下． 课题 测量某建筑物的高度． 测量工具 皮尺，旗杆等． 设计方案 建筑物正前方有一根高度是17米的旗杆，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角为，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离是20米，梯坎坡长是9米，梯坎坡度． 参考数据 结果精确到0.1米，参考数据：． 请根据以上测量结果，求建筑物的高度． 21. 某班计划从商店购买图书和文具盒，已知购买一本图书比购买一个文具盒多用5元，若用400元购买图书，用160元购买文具盒，且购买文具盒的个数是购买图书本数的一半． （1）购买一本图书和一个文具盒各需要多少元？ （2）如果该班需要图书数量是文具盒数量的2倍还少2，且该班购买图书和文具盒的总费用不超过720元，那么该班最多可购买多少本图书？ 22. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 23. （1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级中招适应性测试（四）数学试卷 注意事项： 本试卷共6页，三个大题，23个小题．满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中最大的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. －3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数比较大小，根据题意得，进而可求解，熟练掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 【详解】解：， 最大的是2， 故选：A． 2. 年月号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时千米，数据用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，熟悉掌握科学记数法的方法是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，左视图是从左面看得到的图形，由此解答即可，考查了空间想象能力． 【详解】解：由题意得：它的左视图为一个三角形，如图： ， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方，二次根式的性质，单项式除以单项式，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵错误， 故A不合题意． ∵，正确， ∴B合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵， ∴D不合题意． 故选：B． 5. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），可以求得的度数，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ，，， ， ， 故选：A． 6. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故的值可以是． 故选：D． 7. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC． 【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=25°， ∴∠BAC=90°-25°=65°， ∴∠BDC=∠BAC=65°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法． 8. 杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据杠杆平衡条件：，并结合题意可得左侧是定值，从而进行判断． 【详解】由杠杆平衡条件：， ∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡， ∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系． 故选：C 【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键． 9. 如图为一把椅子的侧面示意图，已知地面，，，，则地面上两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，，结合，得到，列式，结合，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的性质是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选B． 10. 如图1，点在边上，点是上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图像，其中点是函数图像的最低点，则的值为（　　） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，取中点，取中点，连接，，由图2可知，当时，，此时与重合，为的中点，即为的中点，分别为的中点，同理可证是的中位线，过点作于，连接并延长交于，由图2可知，点与点重合时，取得最大值,最大值即的长． 【详解】解：如图， 取中点，取中点，连接，， 由图2可知，当时，， ∴当时，，即当与重合时，， ∵此时与重合，为的中点，即为的中点， ∴， 同理当与重合时，即时，， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可证是的中位线， ∴， ∴点在上， ∴当时，的值最小，即此时的值最小， 过点作于，连接并延长交于，由图2可知， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点重合时，取得最大值， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，动点的函数图象，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理等等，正确读懂函数图象作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有___个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率约为0.3，进而根据概率计算公式求出袋子中球的总数，即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3， ∴摸到白球的概率约为0.3， ∴袋子中一共有个球， ∴估计袋子中黑球有个， 故答案为：． 13. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即为不等式组的解集. 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定两个不等式解集的公共部分是解题的关键. 14. 如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式和三角形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，则在等腰中，由勾股定理可得， 由正方形性质可知，， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规则图形面积，涉及扇形面积公式、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握扇形面积公式和正方形性质的应用，由等腰直角三角形求出是解题关键． 15. 如图，在中，为斜边的中点，是边上的一个动点，将沿翻折得到，当直线与垂直时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，解直角三角形等知识点，根据题意分类讨论在下方、在上方两种情况，即可求解． 【详解】解：在下方时，如图所示： 延长交于点， 则 ∵为斜边的中点， ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ 解得： 在上方时，如图所示： 同理可得： ∴ ∴ 解得： 综上所述：或 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的公式，算术平方根，分式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂的公式，绝对值，算术平方根计算解答即可； （2）根据分式加减乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）． 17. 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（满分100分）进行分组整理，各小组的成绩x（单位：分）分段为：，，，，，绘制如图所示统计图．已知成绩在这一组的数据如下（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求，这两个分数段的学生人数，并直接补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中成绩“”对应扇形的圆心角的度数； （3）求这次测试成绩的中位数； （4）这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分，乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）15人，10人， 补全频数分布直方图如图所示． （2） （3）78分 （4）不正确， 理由：∵甲的成绩77分低于中位数78分， ∴甲的成绩不可能高于一半学生的成绩． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得分数段的学生人数为（人）， 分数段的学生人数为（人）．解答即可． （2）根据圆心角计算公式计算即可； （3）根据中位数的定义，结合数据为50，确定中位数是第25个数据与第26个数据的平均数，解答即可； （4）根据中位数的意义去，解答即可． 【小问1详解】 解：分数段的学生人数为（人）， 分数段的学生人数为（人）． 【小问2详解】 扇形统计图中成绩“”对应扇形的圆心角的度数为． 【小问3详解】 将50名学生的测试成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26的成绩为78，78， ∴这次测试成绩的中位数为（分）． 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查了频数计算，圆心角的计算，中位数的计算及其意义，统计图的完善，熟练掌握频数的计算，圆心角的计算，中位数的计算是解题的关键． 18. 如图，中，． （1）请完成尺规作图：过点作，垂足为．（要求：不写做法，保留作图痕迹．） （2）在（1）的基础上，求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示，依题意，AE=AB，DE=DB ∴ 又． ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）以为圆心为半径作弧，交于点，作的垂直平分线，交于点； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据等边对等角以及三角形的外角的性质推出，进而可得，根据，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，将直线向上平移5个单位长度后得到直线，直线与反比例函数在第一象限的图象交于点和点B．直线与x轴交于点M （1）求点B的坐标； （2）在x轴上取一点N，当的面积为6时，求点N的坐标； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先根据平移方式得到直线解析式为，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再利用直线解析式和反比例函数解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点M的坐标，设，则，再根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵将直线向上平移5个单位长度后得到直线， ∴直线解析式为， 把代入中，， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， 设，则， ∵的面积为6 ∴， ∴， ∴或1 ∴或． 20. 某“综合与实践”小组开展测量某建筑物高度的活动，他们制订了测量方案，测量报告如下． 课题 测量某建筑物的高度． 测量工具 皮尺，旗杆等． 设计方案 建筑物正前方有一根高度是17米的旗杆，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角为，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离是20米，梯坎坡长是9米，梯坎坡度． 参考数据 结果精确到0.1米，参考数据：． 请根据以上测量结果，求建筑物的高度． 【答案】建筑物的高度约为37.7米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，如图，过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，米，，，从而可得，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出和的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，米，，， ∴， ∵梯坎坡度， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， 解得：， ∴米，米， ∵米， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴建筑物的高度约为37.7米． 21. 某班计划从商店购买图书和文具盒，已知购买一本图书比购买一个文具盒多用5元，若用400元购买图书，用160元购买文具盒，且购买文具盒的个数是购买图书本数的一半． （1）购买一本图书和一个文具盒各需要多少元？ （2）如果该班需要图书数量是文具盒数量的2倍还少2，且该班购买图书和文具盒的总费用不超过720元，那么该班最多可购买多少本图书？ 【答案】（1）购买一本图书需要元， 购买一个文具盒需要元； （2）该班最多可购买本图书． 【解析】 【分析】此题考查分式方程的实际运用，一元一次不等式的实际运用，找出题目蕴含的等量关系和不等关系是解决问题的关键． （1）设一本图书的定价为元，则文具盒的定价为元，由题意列出方程： 解答即可； （2）设学校可以购买图书数量为本，由题意列出不等式：， 解答即可． 【小问1详解】 解：设一本图书的定价为元，则文具盒的定价为元，由题意得： 解得： 经检验，是原方程得解， ∴文具盒的定价为：(元) 答：购买一本图书需要元， 购买一个文具盒需要元． 【小问2详解】 解：设学校可以购买图书数量为本，由题意得： ， 解得：， ∴该班最多可购买本图书， 答：该班最多可购买本图书． 22. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）； （3） 解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【小问1详解】 解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； 【小问3详解】 略 23. （1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长； （2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长； （3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）3；（2）1；（3）或 【解析】 【分析】（1）本题利用折叠和矩形的性质得出，，再利用勾股定理即可解题； （2）本题利用平移的性质证得，设长为，利用勾股定理算出，推出，再利用相似三角形的性质得到，算出，从而求得的长； （3）本题根据A，，E三点共线，分以下两种情况讨论，①当旋转到左侧时，②当旋转到右侧时，根据以上两种情况作辅助线构造直角三角形，利用旋转的性质、矩形的性质和判定、以及勾股定理进行分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：为矩形，，， ，， ； （2）解：为平移后的图形，，， ，， ， 设长为， ，， 解得：， ， ，， ， ， ； （3）解：将绕点旋转至A，，E三点共线， 分以下两种情况： ①当旋转到左侧时，如图所示： 作，交的延长线于点， 由（2）可知， 由旋转性质可知，， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ②当旋转到右侧时，如图所示： 作，交的延长线于点， 由（2）可知， 由旋转性质可知，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $