精品解析：安徽省亳州市利辛县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级 数学（沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 当时，二次根式的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 某班班主任为了解学生参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取6名同学进行调查．经统计，他们的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，65，80，65，则这组数据的众数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若正边形的内角和是它的外角和的2倍，则的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 若，则一元二次方程必有一个根是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 如图，在中，是斜边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 7. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），则“阔”是（ ） A. 12步 B. 24步 C. 36步 D. 72步 8. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，大正方形的面积是289，则小正方形的面积是（ ） A. 16 B. 25 C. 49 D. 64 9. 若，是方程的两个根，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 10. 如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 要使二次根式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 13. 若甲组数据、、0、1、2的方差是，乙组数据18、19、20、21、22的方差是，则______．（填“”“”或“”） 14. 如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，连接、． （1）若，则的度数为______； （2）过点作交于点，若，则的度数为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，已知四边形和都是正方形，在上截取，延长到点，使，求证：四边形是正方形， 18. 如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，等边三角形的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）求的长． 20. 某社区超市销售甲、乙两种面粉，已知购买20袋甲种面粉和16袋乙种面粉需要资金800元，购买40袋甲种面粉和8袋乙种面粉需要资金1000元． （1）甲、乙两种面粉每袋的售价分别为多少元？ （2）已知该超市在四月份共售出甲种面粉500袋、乙种面粉300袋．五月份超市将甲种面粉每袋的售价提高元，乙种面粉每袋的售价不变，结果与四月份相比，五月份甲种面粉的销量下降了袋，乙种面粉的销量上升了袋，但甲种面粉的销量仍高于乙种面粉，销售总额比四月份多出3000元，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 暑假即将来临，某校为进一步强化学生对“预防溺水”的认识，提高学生的自我防护意识，特组织七、八年级学生参加“预防溺水”知识竞赛．李老师从七年级和八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成A，B，C，D多个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩：94，93，85，83，79，78，78，78，67，65； 八年级10名学生中B等级所有学生的竞赛成绩：80，81，84，84． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 78.5 80.6 八年级 80 84 71.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若竞赛成绩不低于90分的学生获“优秀少年”称号，七年级有400名学生，八年级有330名学生，请估计七、八年级学生中，获“优秀少年”称号的学生共有多少名． 七、（本题满分12分） 22. 如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上． （1）求A处与小岛C之间的距离； （2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时，才能与小岛C的距离最短． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在矩形中，已知对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． （1）求证：； （2）若，，点为线段上任意一点，求的最小值； （3）如图2，将矩形变形得到平行四边形，直线分别交边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级 数学（沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 当时，二次根式的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 2. 某班班主任为了解学生参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取6名同学进行调查．经统计，他们的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，65，80，65，则这组数据的众数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，熟记“一组数据中出现次数最多的数据是众数”是解题关键． 【详解】解：这组数据中，出现了3次，次数最多， 这组数据的众数是65， 故选：B． 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的定义“如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，这样的二次根式叫做最简二次根式”是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：，故不是最简二次根式，A不符合题意； ，故不是最简二次根式，B不符合题意； ，故不是最简二次根式，C不符合题意； 是最简二次根式，D符合题意． 故选D． 4. 若正边形的内角和是它的外角和的2倍，则的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形内角和与外角和，根据多边形内角和公式和多边形外角和为，可列方程，再解方程即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：A． 5. 若，则一元二次方程必有一个根是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键． 由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】∵ ∴ ∴方程必有一根为． 故选：C． 6. 如图，在中，是斜边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形的外角等于两个不相邻的内角和是解题关键．根据直角三角形斜边中线的性质得出，即得出，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴． 故选A． 7. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），则“阔”是（ ） A. 12步 B. 24步 C. 36步 D. 72步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设“阔”是步，则长是步，根据“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步）”列一元二次方程，利用配方法求解即可． 【详解】解：设“阔”是步，则长是步， 由题意得：， 整理得：， ， 解得：或（舍）， 即“阔”是步， 故选：B． 8. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，大正方形的面积是289，则小正方形的面积是（ ） A. 16 B. 25 C. 49 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理．掌握数形结合思想是解题的关键．根据题意，再根据大正方形的面积是289，即得出大正方形的边长为，最后根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是289， ∴． ∴大正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴小正方形的面积是． 故选C． 9. 若，是方程的两个根，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值和一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系可得出，再由求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 由得：， ∴． 故选：B． 10. 如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 要使二次根式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于等于0是解题关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故答案为： 12. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 若甲组数据、、0、1、2的方差是，乙组数据18、19、20、21、22的方差是，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差公式是解题关键．分别求出甲、乙两组数据的方差，比较大小即可． 【详解】解：甲组数据、、0、1、2， ，， 乙组数据18、19、20、21、22， ，， ， 故答案为： 14. 如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，连接、． （1）若，则的度数为______； （2）过点作交于点，若，则的度数为______． 【答案】 ①. ##度 ②. ##60度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据正方形的性质，得到，再根据等边对等角的性质，得到．求解即可； （2）根据正方形的性质，证明，得到，由多边形内角和，得出，再根据等边对等角的性质，得到，进而证明是等边三角形求解即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．先根据乘法分配律展开，再计算乘除法，然后根据二次根式的性质化简，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．利用配方法即可求解． 【详解】解： 配方得： 即 或， ，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，已知四边形和都是正方形，在上截取，延长到点，使，求证：四边形是正方形， 【答案】 解：四边形和都是正方形， ，，， ， ， ， ，， 在、、、中， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题关键．根据正方形的性质，易证，得到，，推出四边形是菱形，再得出，即可证明结论． 【详解】略 18. 如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）求的值． 【答案】（1）6， （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探索，二次根式的计算．理解题意，找出规律是解题关键． （1）根据题意可得出，，再令求解即可； （2）由（1）可得出，再结合二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：，； ，； ，； …， ∴，． 当时，即，． 故答案为：6，； 【小问2详解】 解：由（1）可知 ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，等边三角形的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1） 平行四边形，理由如下： ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理结合题意可得出，，即判定四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得出，再根据等边三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴． ∵为的中点，三角形为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握等边三角形“三线合一”的性质和特殊四边形的判定和性质是解题关键． 20. 某社区超市销售甲、乙两种面粉，已知购买20袋甲种面粉和16袋乙种面粉需要资金800元，购买40袋甲种面粉和8袋乙种面粉需要资金1000元． （1）甲、乙两种面粉每袋的售价分别为多少元？ （2）已知该超市在四月份共售出甲种面粉500袋、乙种面粉300袋．五月份超市将甲种面粉每袋的售价提高元，乙种面粉每袋的售价不变，结果与四月份相比，五月份甲种面粉的销量下降了袋，乙种面粉的销量上升了袋，但甲种面粉的销量仍高于乙种面粉，销售总额比四月份多出3000元，求的值． 【答案】（1）每千克甲种面粉的价格为20元，乙种面粉的价格为25元 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设每千克甲种面粉的价格为元，乙种面粉的价格为元，由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设每千克甲种面粉的价格为元，乙种面粉的价格为元， 依题意得：， 解得：， 答：每千克甲种面粉的价格为20元，乙种面粉的价格为25元． 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：， 又， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 暑假即将来临，某校为进一步强化学生对“预防溺水”的认识，提高学生的自我防护意识，特组织七、八年级学生参加“预防溺水”知识竞赛．李老师从七年级和八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成A，B，C，D多个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩：94，93，85，83，79，78，78，78，67，65； 八年级10名学生中B等级所有学生的竞赛成绩：80，81，84，84． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 78.5 80.6 八年级 80 84 71.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若竞赛成绩不低于90分的学生获“优秀少年”称号，七年级有400名学生，八年级有330名学生，请估计七、八年级学生中，获“优秀少年”称号的学生共有多少名． 【答案】（1）78，82.5，20 （2） 八年级学生的竞赛成绩更好， 理由：因为八年级学生的中位数和众数都大于七年级学生，即八年级得分较高的占比多，故八年级学生的竞赛成绩更好； （3）170名 【解析】 【分析】（1）先根据众数的定义求出a的值；由题意求出八年级10名学生中成绩位于A等级，D等级和B等级的人数，再结合中位数的定义即得出b的值；求出八年级C等级的人数，从而可求出其所占百分比，即得出m的值； （2）通过中位数、众数、方差进行分析得出答案； （3）分别求出七年级“优秀少年”称号的学生所占比例，乘以七年级总人数、八年级“优秀少年”称号的学生所占比例，乘以八年级总人数，再相加即可． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的竞赛成绩中78出现3次，为最多，即众数为78，故； 八年级10名学生中成绩位于A等级的有名， 位于D等级的有名， 位于B等级的有4名， ∴八年级10名学生成绩按从大到小排列位于第5和第6的分别为84和81， ∴八年级10名学生成绩的中位数为，故； 八年级10名学生成绩位于C等级的有名， ∴八年级学生成绩位于C等级所占百分比为，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵七年级10名学生中“优秀少年”称号的学生有2人， ∴七年级学生获“优秀少年”称号的学生大约有名． ∵八年级学生获“优秀少年”称号的学生大约有名， ∴估计七、八年级学生中，获“优秀少年”称号的学生共有名． 【点睛】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． 七、（本题满分12分） 22. 如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上． （1）求A处与小岛C之间的距离； （2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时，才能与小岛C的距离最短． 【答案】（1）20海里；（2）当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短． 【解析】 【分析】（1）作BH⊥AC于H．首先证明AB=BC，AH=HC，在直角△ABH中利用勾股定理求出HA即可解决问题； （2）作CK⊥AB交AB的延长线于K．求出BK即可解决问题； 【详解】（1）作BH⊥AC于H． ∵∠CBD=∠CAB+∠BCA，∠CAB=30°，∠CBD=60°， ∴∠ACB=∠BAC=30° ∴BA=BC=30×=20海里． ∵BH⊥AC， ∴BH=AB=10海里， ∴AH==10海里， ∴AC=2AH=20海里． （2）作CK⊥AB交AB的延长线于K． 在Rt△BCK中，∠BCK=90°－∠CBK=30°， BK= BC=10海里， ∴时间t=小时=20分钟． ∴当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短． 【点睛】此题考查勾股定理的应用—方向角问题，解题关键在于结合航海中的实际问题，利用勾股定理和含有30°角的直角三角形性质是解决问题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在矩形中，已知对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． （1）求证：； （2）若，，点为线段上任意一点，求的最小值； （3）如图2，将矩形变形得到平行四边形，直线分别交边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，，求的长． 【答案】（1） 解：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ； （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和垂直平分线的定义，易证，即可得出结论； （2）连接交于点，连接，根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质，证明四边形是菱形，得出，进而得到，即当点、、三点共线时，有最小值，利用勾股定理，求出的长即可； （3）过点作交延长线于点，根据平行四边形的性质和折叠的性质，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得出，进而得到，设，则，，由勾股定理，求得，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，连接交于点，连接， 由（1）可知，， ， 垂直平分， ，， ， 四边形是菱形， 、两点关于对称， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，，， ， 即的最小值为5； 【小问3详解】 解：如图2，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，，， 由折叠的性质可知，，，，， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作辅助线，掌握特殊四边形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $