精品解析：广东汕头市潮阳区泉塘初级中学2026-2027学年九年级上学期9月数学随堂训练（一）

2026-2027学年度第一学期 九年级数学科随堂训练（一） （内容：25.1-25.3） 一、选择题 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 两边开平方得． 移项得， ∴，． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 移项，得． 配方，得．即． 4. 关于的方程是一元二次方程，则它的二次项系数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程最高次数为、二次项系数不为的条件求，再计算二次项系数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 由，得， 解得． ∵， ∴． ∴． ∴二次项系数为． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（ ） A. 0 B. 1 C. −3 D. −1 【答案】B 【解析】 【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值． 【详解】解：根据题意得， 解得； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 6. 关于x的方程的两个根是﹣2和1，则的值为（ ） A. ﹣8 B. 8 C. 16 D. ﹣16 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于x的方程的两个根是﹣2和1， ∴ =﹣2+1=-1， =﹣2 ， ∴ ， ∴=（﹣4）2=16． 故选：C． 7. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 8. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 9. 若，则的值为（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】采用换元法简化方程，结合的非负性舍去负根． 【详解】解：设，由平方的非负性得． 方程可化为． 整理得． ． 解得，． ∵， ∴不符合题意，舍去． ∴． 10. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 二、填空题 11. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再代入根的判别式公式计算结果． 【详解】解：∵原方程为移项整理为一般式得， ∴，，， 根的判别式． 12. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义得二次项系数不为0，再结合无实数根的条件，利用根的判别式小于0求解即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴ 解得， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴的取值范围是． 13. 已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一个根为，先将根代入方程得到关于的方程，再结合一元二次方程的定义舍去不符合条件的解，得到的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∵方程有一个根为，将代入原方程得， 提取公因式得， 解得，， ∵， ∴舍去，最终得． 14. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 15. 已知三个连续奇数的平方和为251，则这三个奇数分别为______． 【答案】7、9、11或、、 【解析】 【分析】利用连续奇数的差为，设中间的奇数简化计算，根据平方和的条件列一元二次方程求解，得到两种可能的结果． 【详解】解：设三个连续奇数中，中间的奇数为，则另外两个奇数分别为和， 根据题意得 解得或， 当时，三个奇数为； 当时，三个奇数为． ∴这三个奇数分别为或． 三、解答题（一） 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 或 解得． 17. 用公式法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程。先确定a，b，c的值，再求的值，判断出，然后将a，b，c的值代入求根公式即可． 【详解】解：，，， ， 此方程有两个不相等的实数根， ， ，． 18. 已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵x2－2x＋1＝0， ∴x1＝x2＝1， 原式＝． ∴当x＝1时，原式＝． 四、解答题（二） 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…① （1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由． 【答案】（1）m=1，方程的另一根为x=2； (2)方程总有两个不等的实数根，理由： ∵， ∴方程①有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根； （2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． 【详解】解：(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1， ∴x2﹣x﹣2＝0． 解得， ∴另一根是2； (2)略 【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系和熟练地解方程． 20. 某企业为新能源汽车生产配件． 2022 年该配件销售单价为1000 元， 月均销售量 2 万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本三部分，其中 材料成本是人力成本的 14 倍， 人力成本比其他成本多 20 元， 总成本合计 780 元． （1）求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ （2）2023 年，这种配件每件的材料成本下降了40 元，人力成本增加了 20% ，其他成本 保持不变． 从 2023 年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与 2022 年相比，销 售单价降低的百分数为 0.5a，实现月均销售量增加，增加的百分数为 a． 这样，2023 年一季度销售总利润为1320 万元， 求 a 的值． （销售利润＝销售收入－总成本） 【答案】（1）700元，50元，30元 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键，注意单位的统一． （1）设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元，根据总成本合计 780 元，列出方程，求解即可； （2）先求出每件配件的成本为0.075万元，再根据销售利润＝销售收入－总成本，列出关于a的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元，根据题意，得 解得： ∴ 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是700元，50元，30元． 【小问2详解】 解：每件配件的成本为：（元）（万元）； 根据题意，得 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为． 21. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 五、解答题（三） 22. 综合与实践 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为． （1）人行过道的宽是多少米？ （2）该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位． ①设每个摊位的月租金上涨元，则该夜市可以租出多少个摊位？用含的代数式表示 ②在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为元？ 【答案】（1）人行过道的宽是5米 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，设出未知数，列出方程是解题关键． （1）设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）①根据每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位，得出该夜市可以租出个摊位 ②设月租金记为元，则总月租金为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵， ∴， ∴． 答：人行过道的宽是5米； 【小问2详解】 ①每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位 设每个摊位的月租金上涨元， ∴该夜市可以租出个摊位 ② 设月租金记为元，则总月租金为， 由题意可得方程 解得或； 因为尽可能让利于摊主，应取较小的，此时每个摊位的月租金为 (元) ． 23. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10，前5行的点数之和为15． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______． （2）体验：三角点阵中前n行的点数之和能不能为500？请说明理由． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36， （2）不能，理由如下：由题意得， 得，， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数和不能是500； （3）一共能摆放20排 【解析】 【分析】（1）将前8行的点数之和和前行的点数之和分别算出来即可； （2）根据前行的点数之和即可判断； （3）根据前行的点数之和代入数即可求解． 【小问1详解】 解：三角点阵中前8行的点数之和为 那么，前行的点数之和为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题知前n排盆景的总数可表示为： 依题意得：， ， ， 解得：或（舍去）， 答：一共能摆放20排． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 九年级数学科随堂训练（一） （内容：25.1-25.3） 一、选择题 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的方程是一元二次方程，则它的二次项系数是（ ） A. B. 0 C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（ ） A. 0 B. 1 C. −3 D. −1 6. 关于x的方程的两个根是﹣2和1，则的值为（ ） A. ﹣8 B. 8 C. 16 D. ﹣16 7. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 8. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 9. 若，则的值为（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 或2 10. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 二、填空题 11. 一元二次方程的根的判别式的值为______． 12. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是______． 13. 已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则______． 14. 已知，则的值为______． 15. 已知三个连续奇数的平方和为251，则这三个奇数分别为______． 三、解答题（一） 16. 解方程： 17. 用公式法解方程：． 18. 已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值． 四、解答题（二） 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…① （1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由． 20. 某企业为新能源汽车生产配件． 2022 年该配件销售单价为1000 元， 月均销售量 2 万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本三部分，其中 材料成本是人力成本的 14 倍， 人力成本比其他成本多 20 元， 总成本合计 780 元． （1）求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ （2）2023 年，这种配件每件的材料成本下降了40 元，人力成本增加了 20% ，其他成本 保持不变． 从 2023 年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与 2022 年相比，销 售单价降低的百分数为 0.5a，实现月均销售量增加，增加的百分数为 a． 这样，2023 年一季度销售总利润为1320 万元， 求 a 的值． （销售利润＝销售收入－总成本） 21. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 五、解答题（三） 22. 综合与实践 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为． （1）人行过道的宽是多少米？ （2）该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位． ①设每个摊位的月租金上涨元，则该夜市可以租出多少个摊位？用含的代数式表示 ②在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为元？ 23. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10，前5行的点数之和为15． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______． （2）体验：三角点阵中前n行的点数之和能不能为500？请说明理由． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $