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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
数学•必修 第一册(配RJA版)
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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一、不等式的性质
不等式真假的判断,要依靠其适用范围和条件来确定,举反例是判断命题为假的一个好方法,用特例法验证时要注意,适合的不一定对,不适合的一定错,故特例只能否定选择项,只要四个中排除了三个,剩下的就是正确答案了.
[题组训练]
1.(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是( )
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ab>0,bc-ad>0,则eq \f(c,a)-eq \f(d,b)>0
C.若a>b,c>d,则a-d>b-c
D.若a>b,c>d>0,则eq \f(a,d)>eq \f(b,c)
解析 若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故A错误;
若ab>0,bc-ad>0,则eq \f(bc-ad,ab)>0,化简得eq \f(c,a)-eq \f(d,b)>0,故B正确;
若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C正确;
若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则eq \f(a,d)=-1,eq \f(b,c)=-1,eq \f(a,d)=eq \f(b,c)=-1,故D错误.
答案 BC
2.(多选)对于实数a,b,c,下列命题正确的是( )
A.若a>b,则ac<bc
B.若ac2<bc2,则a>b
C.若a<b<0,则a2>ab>b2
D.若a>b,eq \f(1,a)>eq \f(1,b),则a>0,b<0
解析 A项,若a>b,则ac<bc,当c≥0时不成立,排除;
B项,若ac2<bc2,故c2>0,则a<b,不正确;
C项,若a<b<0,则a2-ab=a(a-b)>0,ab-b2=b(a-b)>0,∴a2>ab>b2,正确;
D项,若a>b,eq \f(1,a)-eq \f(1,b)=eq \f(b-a,ab)>0,∴ab<0,∴a>0,b<0,正确.
答案 CD
二、基本不等式的应用
基本不等式:eq \r(ab)≤eq \f(a+b,2)(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
已知a>0,b>0且eq \f(1,a)+eq \f(2,b)=1.
(1)求ab的最小值;
(2)求a+b的最小值.
[解析] (1)因为a>0,b>0且eq \f(1,a)+eq \f(2,b)=1,
所以eq \f(1,a)+eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(2,b))=2eq \r(\f(2,ab)),
则2eq \r(\f(2,ab))≤1,即ab≥8,
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(2,b)=1,,\f(1,a)=\f(2,b),))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=2,b=4))时取等号,
所以ab的最小值是8.
(2)因为a>0,b>0且eq \f(1,a)+eq \f(2,b)=1,
所以a+b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(2,b)))(a+b)=3+eq \f(b,a)+eq \f(2a,b)
≥3+2 eq \r(\f(b,a)·\f(2a,b))=3+2eq \r(2),
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(2,b)=1,,\f(b,a)=\f(2a,b),))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=1+\r(2),b=2+\r(2)))时取等号,
所以a+b的最小值是3+2eq \r(2).
三、二次函数与一元二次不等式
解一元二次不等式时,要注意数形结合,充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系.如果含有参数,则需按一定的标准对参数进行分类讨论.
解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0(a∈R).
[解析] 当a=0时,不等式-2x+4>0的解为x<2;
当a≠0时,不等式对应方程的根为x=eq \f(2,a)或x=2,
①当a<0时,不等式ax2-2(a+1)x+4>0(a∈R),即(-ax+2)(x-2)<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<2))));
②当0<a<1时,不等式(ax-2)(x-2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<2或x>\f(2,a)))));
③当a=1时,不等式(x-2)2>0的解集为{x|x≠2};
④当a>1时,不等式(ax-2)(x-2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>2或x<\f(2,a))))).
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x<2};
当a<0时,不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))<x<2));
当0<a<1时,不等式的解集为xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<2或x>\f(2,a)));
当a=1时,不等式的解集为{x|x≠2};
当a>1时,不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>2或x<\f(2,a))))).
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