第2章 教考衔接2 利用基本不等式巧求最值(课件PPT)【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 教考衔接2——利用基本不等式巧求最值 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 一、真题展示 (2021·天津卷)若a>0，b>0，则eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b的最小值为_______． 二、真题溯源 [教科书P49第5题] 已知x＞0，求证：2－3x－eq \f(4,x)的最大值是2－4eq \r(3). 三、类法探究 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 类型一　配凑法 已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则aeq \r(1＋b2)的最大值为(　　) A.eq \r(7)　　　　　　　 B．eq \r(3) C．2eq \r(2) D．2 [解析]　因为4a2＋b2＝7，则aeq \r(1＋b2)＝eq \f(1,2)×(2a)eq \r(1＋b2)＝eq \f(1,2) eq \r(4a21＋b2)≤eq \f(1,2)×eq \f(4a2＋1＋b2,2)＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝eq \r(3)时，等号成立，故选D. [答案]　D [反思感悟] 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. 类型二　代换法 已知正数a，b满足a＋2b＝3恒成立，则eq \f(1,a＋1)＋eq \f(2,b)的最小值为(　　) A.eq \f(3,2) B．eq \f(9,4) C．2 D．3 [解析]　由a＋2b＝3得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))＋2b＝4， 于是eq \f(1,a＋1)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(2,b)))·eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))＋2b,4) ＝eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋4＋\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1)),b)＋\f(2b,a＋1)))≥eq \f(1,4)1＋4＋2eq \r(　,\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1)),b)×\f(2b,a＋1))＝eq \f(9,4)， 当且仅当eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1)),b)＝eq \f(2b,a＋1)，且a>0，b>0，即a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(4,3)时等号成立． 所以eq \f(1,a＋1)＋eq \f(2,b)的最小值为eq \f(9,4)，故选B. [答案]　B [反思感悟] 代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形. 类型三　消元法 已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－eq \f(a,4)的最小值为(　　) A．1 B．eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2) [解析]　∵a＞0，b>0，a2－2ab＋4＝0，则有b＝eq \f(a,2)＋eq \f(2,a)，∴b－eq \f(a,4)＝eq \f(a,2)＋eq \f(2,a)－eq \f(a,4)＝eq \f(a,4)＋eq \f(2,a)≥2eq \r(\f(a,4)·\f(2,a))＝eq \r(2)，当且仅当eq \f(a,4)＝eq \f(2,a)，即a＝2eq \r(2)时等号成立，此时b＝eq \f(3\r(2),2)，故选B. [答案]　B [反思感悟] 消元法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ $$