专题01 丰富的图形世界（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

专题01丰富的图形世界思维导图 【类型覆盖】 类型一、由展开图计算几何体的表面积和体积 【解惑】棱长是的正方体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 2．如图，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，围成不同于圆柱A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为 ． 3．综合与实践 问题情景：七（1）班某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“环”字相对的字是______． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 类型二、求展开图上两点折叠后的距离 【解惑】图是边长为的六个小正方形组成的图形，它可以围成图的正方体，则在图中，小虫从点沿着正方体的棱长爬行到点的长度为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图），在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（） A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm 2．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 3．某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 类型三、补一面使图形围成正方体 【解惑】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形(图中阴影部分)，但是由于疏忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，你一共有(   )种画法． A．2 B．3 C．4 D．5 2．在图中增加1个小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，在图中适合按要求加上小正方形的位置有 个. 3．如图所示，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（填出两种答案） 类型四、从不同方向看几何体 【解惑】如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，从正面看得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．圆柱如图摆放，则从正面观察这个几何体得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则从正面、左面、上面看到的形状图没有发生变化的是 ． 3．如图1，在平整的地面上，用8个棱长都为1cm的小正方体堆成一个几何体． (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图（一个网格为小立方体的一个面）． (2)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是　　cm2． 类型五、表面积增加或减少 【解惑】从一个体积是30立方厘米的长方体木块中，挖掉一小块后（如图），它的表面积（    ）    A．和原来同样大 B．比原来小 C．比原来大 D．无法判断 【融会贯通】 1．把一个正方体分别割成若干个小正方体，它的表面积会（    ） A．增大 B．减少 C．不变 2．把一根长1.5米的圆柱形钢材截成三段后，如图，表面积比原来增加8平方米，这根钢材原来的体积是 ． 3．如图，在一个长8厘米，宽5厘米，高6厘米的长方体中，挖一个底面半径是2厘米圆柱体，此时这个长方体上、下底面形成一个能透光的孔洞．（取3） (1)挖掉圆柱体的侧面积是多少平方厘米？ (2)把长方体挖掉圆柱体后，剩下的几何体的表面积与原来长方体表面积相比，剩下几何体的表面积比原来的长方体的表面积增加了还是减少了？如果增加了，约增加百分之几？如果减少了，约减少了百分之几？ 类型六、最短路程 【解惑】已知是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T〈M，N，S，T均在上）四个点中，它最有可能经过的点是（ ）． A．M B．N C．S D．T 【融会贯通】 1．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 3．如图，一只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点沿表面爬行到顶点.    （1）画出正方体的一种展开图.（可适当调整大小.） （2）在展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线. （3）在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的最短路线. 类型七、欧拉公式 【解惑】像正方体、长方体、三棱锥这样，由一些平面图形围成的几何体称为多面体．瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式：，被称为欧拉公式．若某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 面体． 3．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型得 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系是__________________． （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________． （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值． 类型八、截一个几何体 【解惑】如图，用一个平面从不同的位置，沿着不同的方向截取一个圆柱，圆柱的截面不可能是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，用一个平行于长方体底面的平面截长方体，截面的形状是（   ） A．三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．五边形 2．如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面有 个面．    3．如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有______条棱，有______个面； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状不可能是______（填序号）； ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形 (3)该三棱柱的所有侧面的面积之和是______． 【一览众山小】 1．下列四个展开图中，可以折叠成一个无盖的正方体纸盒的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中，与“瞰”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．魅 B．力 C．山 D．西 3．以下给出的几何体中，从正面看是长方形，从上面看是圆的是（　　） A．   B．   C．   D．   4．一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是 ． 5．某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶容器的轴截面可以看作是一个矩形与一个截去一个角的三角形拼接而成，其轴截面和俯视图如图所示．商家想要在“冰桶”的侧筒上贴上包装纸（没有重叠部分，不考虑材料厚度），则包装纸的面积为 ． 6．某种产品的形状是长方体，长为，它的展开图如图． (1)求长方体的体积； (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装8件这种产品，要求设计时不计空隙且该纸箱所用材料最少（纸箱的表面积最小），并请求出你设计的纸箱的表面积． 7．如图，在平整的地面上，将若干个边长均为的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角． (1)请画出这个几何体的主视图和俯视图； (2)若将其露在外面的面涂上一层漆（不包括与墙和地面接触的部分），则其涂漆面积为 ； (3)添加若干个上述小正方体后，所成几何体的左视图和俯视图不变，则有 　种添加方式． 8．在平整的地面上，有一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体，如下图所示.    (1)请依次画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图. (2)如果这个几何体露出的表面喷上黄色的漆，则在所有的小立方块中，有______个小立方块只有一个面是黄色，有______个小立方块只有两个面是黄色，有_____个小立方块只有三个面是黄色. (3)若你手头还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加___个小立方块. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01丰富的图形世界思维导图 【类型覆盖】 类型一、由展开图计算几何体的表面积和体积 【解惑】棱长是的正方体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是认识简单的几何体，正方体的表面积的计算，熟记正方体的表面积公式是解本题的关键． 【详解】解：棱长是的正方体的表面积是， 故选C 【融会贯通】 1．如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【答案】D 【分析】本题主要考查长方体体积的计算方法，熟练根据图求出长、宽、高是解题关键．利用图形求出长方体的宽及长即可． 【详解】解：∵长方体的底面为正方形，由图可知底面周长为12， ∴长方体的底面边长为：， ∴长方体的高为：， ∴长方体箱子的体积为，， 故选：D． 2．如图，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，围成不同于圆柱A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图和围成圆柱的各个量之间的对应关系，熟悉圆柱的体积公式是解答本题的关键．根据高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图求得围成不同于A的另一个圆柱B的底面周长是，高是，再根据圆柱的体积等于底面积×高进行计算． 【详解】解：根据题意，得到另一个圆柱B的底面周长是，高是， 则圆柱B的体积为． 故答案为：． 3．综合与实践 问题情景：七（1）班某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“环”字相对的字是______． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 【答案】(1)C (2)小 (3)①见解析，② 【分析】本题考查正方体的表面展开图，列代数式并求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可； ②根据长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒， ∴展开图有5个面， 再根据正方体的展开图的特征，可得A选项、B选项中图形不符合题意， 选项C的图形符合题意， 选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D不符合题意． 故答案为：C； （2）解：根据“相间、Z端是对面”可知，“环”字相对的面为“小”， 答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的面为“环”； 故答案为：小； （3）解：①示意图如图所示． ② ． 类型二、求展开图上两点折叠后的距离 【解惑】图是边长为的六个小正方形组成的图形，它可以围成图的正方体，则在图中，小虫从点沿着正方体的棱长爬行到点的长度为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将图1折成正方体，然后判断出A、B在正方体中的位置关系，从而可得到AB之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出AB=1， 则小虫从点A沿着正方体的棱长爬行到点B的长度为1． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键． 【融会贯通】 1．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图），在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（） A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm 【答案】D 【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图， 则． 故选：D． 【点睛】题目主要考查的是平面展开最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，同时也对勾股定理的应用进行考查． 2．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 3．某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】最短路线有2条，作图见解析． 【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 类型三、补一面使图形围成正方体 【解惑】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 【融会贯通】 1．如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形(图中阴影部分)，但是由于疏忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，你一共有(   )种画法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据正方形的展开图的11种形式解答即可． 【详解】解：如图所示； 故答案为B. 【点睛】本题考查作图应用与设计作图和几何体的展开图，熟记正方体展开图的常见的11种形式是解题的关键． 2．在图中增加1个小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，在图中适合按要求加上小正方形的位置有 个. 【答案】4 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可， 【详解】解：如图所示， 故答案为4， 【点睛】本题考查了正方体的展开图，正方体的展开图形式：一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种． 3．如图所示，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（填出两种答案） 【答案】见详解 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握正方体侧面展开图的形状是解题关键．直接利用正方体侧面展开图的形状分析得出答案． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 类型四、从不同方向看几何体 【解惑】如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，从正面看得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从正面看简单组合体，需要具备一定的空间想象能力和分析能力．根据从正面看得到的图形判断即可． 【详解】解：该几何体从正面看到的平面图形是 故选：D． 【融会贯通】 1．圆柱如图摆放，则从正面观察这个几何体得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，属于基础题．根据从正面观察得到的图形即可得到答案． 【详解】解：由图可知，这个圆柱从正面看得到的平面图形是 故选：B． 2．如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则从正面、左面、上面看到的形状图没有发生变化的是 ． 【答案】左面和上面 【分析】此题考查了从不同方向看几何体，根据从不同方向看到的图可得． 【详解】解：从上面看得到的图形都是第一层三个小正方形，第二层是一个小正方形，从左边看都是第一层是一个小正方形，第二层两个小正方形， 故答案为：左面和上面． 3．如图1，在平整的地面上，用8个棱长都为1cm的小正方体堆成一个几何体． (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图（一个网格为小立方体的一个面）． (2)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是　　cm2． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】此题考查了不同方向看几何体所得的形状图，解题的关键是确定几何体在不同方向上的形状图． （1）根据正面、左面和上面三个方向看几何体的形状，画图即可； （2）分前后，左右，上下三个方向统计正方形的个数即可． 【详解】（1）解：从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如图所示： ； （2）解：表面积． 故答案为：32． 类型五、表面积增加或减少 【解惑】从一个体积是30立方厘米的长方体木块中，挖掉一小块后（如图），它的表面积（    ）    A．和原来同样大 B．比原来小 C．比原来大 D．无法判断 【答案】A 【分析】观察挖掉一块后的图象，发现长方体少了三个面积为1平方厘米的面，但是又有新的面露在外面，便可解决问题． 【详解】解：由图可知， 被挖后，长方体的表面少掉了3个面积为1平方厘米的正方形，但是发现又有新的3个面积为1平方厘米的正方形露在外面． 所以这个长方体的表面积没有变化，即和原来同样大． 故选：A． 【点睛】本题考查立体图形的表面积，能发现表面积少掉的部分和新增加的部分相等是解题的关键． 【融会贯通】 1．把一个正方体分别割成若干个小正方体，它的表面积会（    ） A．增大 B．减少 C．不变 【答案】A 【分析】把一个长方体分割成若干个小正方体后，表面积变了，增加了若干个切割面的面积． 【详解】解：根据题干分析可得：把一个长方体分割成若干个小正方体，它的表面积增大． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方体的表面积，解决本题的关键是理解组合图形的表面积的求法． 2．把一根长1.5米的圆柱形钢材截成三段后，如图，表面积比原来增加8平方米，这根钢材原来的体积是 ． 【答案】3立方米 【分析】圆柱截成三段后，表面积增加四个圆柱的底面圆面积，由增加8平方米求出底面积大小，再通过圆柱体积公式求解． 【详解】解：8÷4＝2（平方米）， 2×1.5＝3（立方米）． 答：这根钢材原来的体积为3立方米． 故答案是：3立方米． 【点睛】本题考查圆柱体表面积及体积的应用，解题关键是通过题干找出增加的面积为四个底面积． 3．如图，在一个长8厘米，宽5厘米，高6厘米的长方体中，挖一个底面半径是2厘米圆柱体，此时这个长方体上、下底面形成一个能透光的孔洞．（取3） (1)挖掉圆柱体的侧面积是多少平方厘米？ (2)把长方体挖掉圆柱体后，剩下的几何体的表面积与原来长方体表面积相比，剩下几何体的表面积比原来的长方体的表面积增加了还是减少了？如果增加了，约增加百分之几？如果减少了，约减少了百分之几？ 【答案】(1)圆柱体的侧面积是72平方厘米 (2)剩下几何体的表面积比原来长方体表面积增加约 【分析】（1）利用圆柱侧面积公式计算即可； （2）先利用公式计算挖掉圆柱体后剩下几何体的表面积，再计算原来长方体的表面积，两者比较再计算百分比即可； 本题主要考查几何体的表面积，熟练掌握相应面积公式是解题关键． 【详解】（1）解：（平方厘米） 答：圆柱体的侧面积是72平方厘米 （2）解：挖掉圆柱体后剩下几何体的表面积： （平方厘米） 长方体的表面积：（平方厘米） ， ∴剩余几何体的表面积比原来长方体表面增加了． 或均可． 答：剩下几何体的表面积比原来长方体表面积增加约． 类型六、最短路程 【解惑】已知是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T〈M，N，S，T均在上）四个点中，它最有可能经过的点是（ ）． A．M B．N C．S D．T 【答案】B 【分析】根据圆锥画出侧面展开图，根据两点之间线段最短可得它最有可能经过的点是N． 【详解】解：如图所示：根据圆锥侧面展开图，此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是N， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短． 【融会贯通】 1．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误， 又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合． 故选D． 点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力． 2．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 3．如图，一只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点沿表面爬行到顶点.    （1）画出正方体的一种展开图.（可适当调整大小.） （2）在展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线. （3）在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的最短路线. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意画出正方体的展开图即可； （2）根据线段的性质：两点之间线段最短，把正方体展开，直接连接A、P两点可得最短路线； （3）共有三条路线ANP，AMP，AQP. 【详解】（1）展开图如图    （2）如图，连接.即是蚂蚁爬行的最短路线.    （3）如图，共3条路线.    【点睛】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，几何体的展开图，线段的性质：两点之间线段最短，正确的画出图形是解题的关键． 类型七、欧拉公式 【解惑】像正方体、长方体、三棱锥这样，由一些平面图形围成的几何体称为多面体．瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“欧拉公式：顶点数量加上面数量减棱数量等于2”判断即可． 【详解】解：欧拉公式为 故选：A． 【点睛】本题考查了欧拉公式；熟记欧拉公式是解题的关键． 【融会贯通】 1．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式：，被称为欧拉公式．若某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】得到多面体的棱数，求得面数即为x＋y的值． 【详解】解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有24×3÷2＝36条棱， 那么24＋F−36＝2，解得F＝14， ∴x＋y＝14． 故选B． 【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．难点是熟练掌握欧拉定理． 2．瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 面体． 【答案】 12． 12． 【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.②设顶点数V、棱数E、面数F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题. 【详解】解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条． 由题意F＝20， ∴n+10﹣＝2， 解得n＝12． ②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面 由每个面都是五边形，则就有E＝，V＝ 由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入： F+﹣＝2 化简整理：F＝12 所以：E＝30，V＝20 即多面体是12面体．棱数是30，面数是12， 故答案为12，12. 【点睛】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程是解答本题的关键. 3．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型得 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系是__________________． （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________． （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据表格中的数据分析即可得出顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系； （2）根据（1）的结论求解即可； （3）先求得棱数，再代入（1）的关系式求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得， 故答案为：； （3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线， 共有条棱， ， 解得； 设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，则即为多面体的面数， ． 【点睛】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，理解题意，找到规律是解题的关键． 类型八、截一个几何体 【解惑】如图，用一个平面从不同的位置，沿着不同的方向截取一个圆柱，圆柱的截面不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查截面的相关知识，从不同角度去截几何体，根据得到的截面形状去判断选项，即可解答． 【详解】解：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状为长方形，故A选项正确； 当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆或梯形，故B选项正确； 当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆，故C选项正确； 所得截面的形状不可能是D选项中形状； 故选D． 【融会贯通】 1．如图，用一个平行于长方体底面的平面截长方体，截面的形状是（   ） A．三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．五边形 【答案】C 【分析】根据截面与长方体的各个面相交的情况进行判断即可．本题考查截一个几何体，理解截面的形状是正确判断的前提． 【详解】解：用一个平行于长方体底面的平面截长方体，截面的形状是长方形， 故选：C． 2．如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面有 个面．    【答案】7 【分析】本题考查了立体图形的认识，截面的形状．观察图形，数剩下的几何体的面数和棱数即可． 【详解】解：观察图形可知：剩下的几何体有7个面． 故答案为：7． 3．如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有______条棱，有______个面； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状不可能是______（填序号）； ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形 (3)该三棱柱的所有侧面的面积之和是______． 【答案】(1)9，5 (2)④⑤ (3) 【分析】本题考查了三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积等知识，熟练掌握三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积是解题的关键 （1）根据三棱柱的形体特征作答即可； （2）根据截三棱柱所得的截面形状进行判断作答即可； （3）根据侧面积为3个相同的，长为，宽为的长方形的面积和，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该三棱柱有9条棱，有5个面， 故答案为：9，5； （2）解：由题意知，用一个平面去截该三棱柱，截面形状可以是三角形，长方形，梯形，五边形， ∴①②③不符合要求；④⑤符合要求； 故答案为：④⑤； （3）解：由题意知，三棱柱的所有侧面的面积之和是， 故答案为：． 【一览众山小】 1．下列四个展开图中，可以折叠成一个无盖的正方体纸盒的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体11种展开图，添上1个小正方形，是正方体11种展开图的可以折叠成一个无盖的正方体盒子，据此分析, 关键是具有一定的空间想象能力，掌握正方体11种展开图． 【详解】解：A、无法折叠成正方体，故不符合题意； B、有一个面会重叠，故不符合题意； C、有一个面会重叠，不符合题意； D、可以折叠成一个无盖的正方体盒子，符合题意， 故选：D． 2．如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中，与“瞰”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．魅 B．力 C．山 D．西 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，解题的关键是正确理解正方体表面展开图． 【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点可知， 与“瞰”字所在面相对面上的汉字是“力”， 故选：． 3．以下给出的几何体中，从正面看是长方形，从上面看是圆的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”和俯视图“从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟记定义是解题关键．根据主视图和俯视图的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、从正面看和从上面看都是圆，则此项不符合题意； B、从正面看和从上面看都是正方形，则此项不符合题意； C、从正面看是三角形，从上面看是带有圆心的圆，则此项不符合题意； D、从正面看是长方形，从上面看是圆，则此项符合题意； 故选：D． 4．一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，从三视图中2开始，结合主视图可得到下层正面为6的正方体左右两面的数字为3与4，进而可确定此正方体上下两面是2与5，再底面是5与2两种情况考虑，从下往上即可得出★所代表的数． 【详解】解：由题意可以还原这个立体图形的形状， 左视图中2的对面是5；紧临的是3，其对面是4；再接下来是4，其对面是3； 主视图中小正方体正面是6，后面是1；左面是是4，右面是是3；上下两面就是2、5相对； 当底面是5，上面为2，紧临的是6，其对面是1；接触的两个面上的数字之和为8，则★应为7，不可能； 故底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4；接下来紧临的还是4，★为其对面， 所以是3； 故答案为：3． 5．某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶容器的轴截面可以看作是一个矩形与一个截去一个角的三角形拼接而成，其轴截面和俯视图如图所示．商家想要在“冰桶”的侧筒上贴上包装纸（没有重叠部分，不考虑材料厚度），则包装纸的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求组合几何体的侧面积，由图形可知，奶茶容器的侧面积等于圆柱的侧面积圆台的侧面积，据此计算即可求解，掌握圆柱的侧面积和圆台的侧面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由图形可得， 包装纸的面积， 故答案为：． 6．某种产品的形状是长方体，长为，它的展开图如图． (1)求长方体的体积； (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装8件这种产品，要求设计时不计空隙且该纸箱所用材料最少（纸箱的表面积最小），并请求出你设计的纸箱的表面积． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查几何体的展开图、几何体的表面积等知识， （1）根据已知图形得出长方体的高进而得出答案； （2）根据长方体的表面积公式计算即可． 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）设长方体的高为，则长方形的宽为，根据题意可得： ， 解得：， 所以长方体的高为，宽为，长为， 长方体的体积为：； （2）因为长方体的高为，宽为，长为， 所以装8件这种产品，应该尽量使得的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少， 这样的话，8件这种产品可以用的包装纸箱，再考虑的面积最大，所以的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少， 所以设计的包装纸箱为规格，该产品的侧面积分别为： ， ， 纸箱的表面积为：． 7．如图，在平整的地面上，将若干个边长均为的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角． (1)请画出这个几何体的主视图和俯视图； (2)若将其露在外面的面涂上一层漆（不包括与墙和地面接触的部分），则其涂漆面积为 ； (3)添加若干个上述小正方体后，所成几何体的左视图和俯视图不变，则有 　种添加方式． 【答案】(1)见解析 (2)16 (3)5 【分析】本题考查从不同位置看简单组合体，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则． （1）根据从不同位置看简单组合体画出主视图、俯视图即可； （2）三种视图的面积和再加上被挡住的面积； （3）通过左视图和俯视图，在俯视图上标注增加的个数即可． 【详解】（1）解：这个组合体的主视图、俯视图如下： （2）解：主视图的面积为，右视图的面积为，俯视图的面积为， 被挡住的面积为， 因此涂漆部分的面积为， 故答案为：16； （3）解：这个组合体的左视图、俯视图如下： 在俯视图上标注出相应位置增添小立方体的情况， 因此有①第1处增添1块，②第1处增添2块，③第2处增添1块，④第1处增添1块，第2处增添1块，⑤第1处增添2块，第2处增添1块，所以共有5种添加方式， 故答案为：5． 8．在平整的地面上，有一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体，如下图所示.    (1)请依次画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图. (2)如果这个几何体露出的表面喷上黄色的漆，则在所有的小立方块中，有______个小立方块只有一个面是黄色，有______个小立方块只有两个面是黄色，有_____个小立方块只有三个面是黄色. (3)若你手头还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加___个小立方块. 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)4 【分析】 由已知条件可知，主视图有列，每列小正方数形数目分别为，左视图有列，每列小正方形数目分别为，俯视图有列，每列小正方数形数目分别为，据此可画出图形； 只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，有个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个； 保持从上面和左面观察到的形状图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放个小正方体. 【详解】（1）如图所示:      （2） 只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，共个； 有个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，共个； 只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个, 共个， 故答案为：，，. （3）保持从上面和左面观察的形状图不变，可以在第二列前面一行上面最多添加个，后面一行最多添加个，第三列最多添加个，所以最多可以再添加个小正方体， 故答案为：. 【点睛】本题考查从不同的方向看几何体，掌握不同方向的图形的画法是解题的关键. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$