专题01 勾股定理（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题01勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股定理与折叠问题 【解惑】如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 3．如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 类型二、勾股定理的最值 【解惑】如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【融会贯通】 1．如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 2．如图，P是长方形内部的动点，，的面积等于12，则点P到B、C两点距离之和的最小值为 ． 3．教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容。 3．角平分线 回忆 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴：如图，是的平分线，P是上任一点，作，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点P是上的任意一点，，垂足分别为点D和点E， 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请写出完整的证明过程： 请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，，平分交于点．若，，求的长； （2）如图③，在中，，平分交于点，点在上，点在上．若，，则的最小值为______． 类型三、爬行最短问题 【解惑】如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路径是（注：取3）（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（   ） A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米 2．如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 3．如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 类型四、勾股定理证明线段平方关系 【解惑】如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE2=BE2+AC2． 【融会贯通】 1．如图在中，，点E，F分别在上，求证：． 2．如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上的一个动点，以AD为直角边向右作等腰Rt△ADF，使AD=AF，∠DAF=90°． （1）如图1，连结CF，求证：△ABD≌△ACF； （2）如图2，过A点作△ADF的对称轴交BC于点E，猜想BD2，DE2，CE2关系，并证明你的结论； 类型五、勾股定理中的动点——直角三角形 【解惑】如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求的值． 【融会贯通】 1．长方形纸片中，，，点是边上一动点，以为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，求的长． 2．如图，在长方形与长方形中，点E、K分别在上，，，点M是线段上的点，其中，，连接，动点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿着路径匀速运动，运动到点A即停止运动，连接，设点P运动的时间为．    (1)线段______cm；当时，线段______cm； (2)若点P在线段上运动的过程中，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间t的值． 3．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．    (1)用含t的代数式表示 ①当点P在线段上时，________． ②当点P在线段的延长线上时，________． (2)当为直角三角形时，求t的值； 类型六、勾股定理中的动点——等腰三角形 【解惑】如图，中，，，，动点从点开始，运动，速度为每秒，设运动时间为秒．    (1)________． (2)当点在线段上运动时，用含的代数式表示________． (3)动点与点同时出发，从点出发，向点运动，速度为每秒，当点在边上运动时，用含的代数式表示的面积． (4)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【融会贯通】 1．如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，，A（8，0），C（0，4），，于D．现有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿AO方向，经O点再往OC方向移动，最后到达C点．设点P移动时间为t秒． (1)点B的坐标为 ； (2)当t为多少时，的面积等于13； (3)当t为多少时，是等腰三角形． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，动点P从点B出发，以每秒2个单位长的速度，沿射线BC运动，设运动时间为t秒，请解答以下问题： (1)BC边的长为________； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值，写出求解过程； (3)当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，BD⊥AC交AC于点D．动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为ts． （1）求BC上的高； （2）当CP⊥AB时，求t的值； （3）当点P在BC边上运动时，若△CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． 类型七、勾股定理中的新定义 【解惑】定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”． (1)如图，在中，，，，求中边的“中偏度值”； (2)在中，，，边上的高，求中边的“中偏度值”． 【融会贯通】 1．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． (1)如图1，点在线段上，，求证：点是的准外心； (2)如图2，在Rt中，的准外心在的直角边上，试求的长． 2．定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为________； (2)如图2，已知点在线段上，且，，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点． 3．定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若是“近直角三角形”，，，则_____度； （2）如图，在中，，，．若是的平分线， ①求证：是“近直角三角形”； ②求的长． （3）在（2）的基础上，边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 类型八、无刻度尺作图 【解惑】如图，A、B、C是正方形网格的格点，请按要求仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留痕迹：    (1)作的高； (2)点P是上的一点，作点P关于直线的对称点Q． 【融会贯通】 1．如图，是的正方形网格，每个小正方形的单位长为1，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺分别画图： (1)在图1中，过点 C 作边上的高； (2)在图2中，在上作点E，使； (3)在图3中，点F为与网格的交点，在上作点G，使． 2．线段的端点，在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可）． (1)在图1中找出格点，使： (2)在图2中找出格点，使； (3)在图3中画出非格点的点，使． 3．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段AB为边画一个，使其面积为6． (2)在图②中以线段CD为边画一个，使其面积为6． (3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为6，且． 【一览众山小】 1．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（     ）． A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 2．已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（    ） A． B． C． D．大小无法确定 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 4．在数学实践与探究活动课上，李阳用两张正方形纸片和，通过切割分成五张小纸片1，2，3，4，5，再把它们拼接成一个大正方形（如图），若，，则纸片1的周长为 ． 5．如图，矩形中，厘米，厘米，点E从A出发沿匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接，设运动时间为t秒．请解答以下问题： (1)当时 ①t为何值时，； ②设的面积为y，求y关于t的函数； (2)当时，满足条件，t的值为 ． 6．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 7．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 8．如图，长方形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，设点P运动的时间为t（秒）． (1)　　　　．（用含t的代数式表示） (2)连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)作射线．另有一动点Q从点C出发以每秒m个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动，点P与点Q同时开始运动．若以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，请直接写出m与对应t的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股定理与折叠问题 【解惑】如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长. 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 2．如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 【答案】 /90度 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：；． 3．如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 类型二、勾股定理的最值 【解惑】如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了线路最短的问题，轴对称性质以及勾股定理，如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则，，为最小值，再由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B， 则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为10， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，点P即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，可知：，，根据，即可求出的最小值． 【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，点P即为所求作的点，此时有最小值， 根据对称性的性质，可知：， 在中，， ， 根据对称性的性质，可知：， ， 即， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质． 2．如图，P是长方形内部的动点，，的面积等于12，则点P到B、C两点距离之和的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答时涉及三角形的面积、轴对称的性质、线段和最短问题，将两条线段和最短的问题转化为一条线段的长是解题的关键； 先根据三角形的面积求出中边上的高，过作的平行线，找点关于直线的对称点，推出的最小值即为的长即可． 【详解】解：设中边上的高是h． ， ∴， ， ∴动点P在与平行且与的距离是3的直线l上， 过点B作直线l的对称点，连接交直线l于点P， ∵B与关于直线l对称， ， 故的最小值即为的长， ∵四边形是矩形， ， 故的最小值是10， 故答案为：10． 3．教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容。 3．角平分线 回忆 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴：如图，是的平分线，P是上任一点，作，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点P是上的任意一点，，垂足分别为点D和点E， 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请写出完整的证明过程： 请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，，平分交于点．若，，求的长； （2）如图③，在中，，平分交于点，点在上，点在上．若，，则的最小值为______． 【答案】教材呈现：见解析；定理应用：（1）；（2） 【分析】教材呈现：利用“”可证，可得； 定理应用： （1）由勾股定理可求的长，由面积关系可求解； （2）作点关于的对称点，连接，，，作于，可得当点，点，点三点共线且时，有最小值，由面积法可求解． 【详解】已知：射线是的角平分线，于，于， 求证：， 证明：是的角平分线， ， 于于， ， 在与中， ， ， ； （1）如图②，过点作于， ，， ， 平分，，， ， ， ， ； （2）如图③，作点关于的对称点，连接，，，作于， ，， ， 点与点关于对称， ，，， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值， 此时，在和中， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 类型三、爬行最短问题 【解惑】如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路径是（注：取3）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是平面展开-最短路径问题，此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【详解】在侧面展开图中， 的长等于底面圆周长的一半，即， ∵ 根据勾股定理得：， ∴从点A爬到点B的最短路径长， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（   ） A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，连接， 最短距离为的长度， 厘米， 最短路程为厘米． 故选：D． 2．如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径．展开成平面，连接，则长时蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出的长，根据勾股定理，即可求解， 【详解】解：展开成平面，连接， 则长为蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ∴，， 在中，， 故答案为：． 3．如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 【答案】(1)； (2)，图见解析 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键． （1）根据的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案； （2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路径的长度． 【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知，的长为圆柱底面圆的周长， 圆柱的底面直径为， ； （2）解：如图所示： 由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段， 由（1）知，高， ， 在中，由勾股定理可得． 类型四、勾股定理证明线段平方关系 【解惑】如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE2=BE2+AC2． 【答案】见解析 【分析】连接AD，根据中点的定义得到BD=CD，利用勾股定理得到，即可证明． 【详解】证明：连接AD， ∵D是BC中点，DE⊥BC， ∴BD=CD， ∵∠C=90°， ∴ = =． 【点睛】本题考查了勾股定理，解此题的关键是能正确作出辅助线，掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方． 【融会贯通】 1．如图在中，，点E，F分别在上，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由勾股定理可得，，，，则有，，即可得到结论 【详解】 ，均为直角三角形 在中， 在中， 在中， 在中， 【点睛】本题主要考查了勾股定理的简单应用，解题关键在于找出直角三角形，利用勾股定理求证． 2．如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明即可； （2）根据（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根据勾股定理证明即可． 【详解】（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出． 3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上的一个动点，以AD为直角边向右作等腰Rt△ADF，使AD=AF，∠DAF=90°． （1）如图1，连结CF，求证：△ABD≌△ACF； （2）如图2，过A点作△ADF的对称轴交BC于点E，猜想BD2，DE2，CE2关系，并证明你的结论； 【答案】（1）见解析；（2）CE2+BD2=DE2，理由见解析； 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAF．即可得出结论； （2）利用△ABD≌△ACF，得出∠ACF=45°，BD=CF，进而得出∠DCF=90°，即可得出结论； 【详解】（1）∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△ABD和△ACF中， ， ∴△ABD≌△ACF； （2）CE2+BD2=DE2；理由： ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABD=∠ACB=45°， 由（1）知，△ABD≌△ACF， ∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°， ∴∠ECF=90°， 根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2， ∵AE是△ADF的对称轴， ∴DE=EF， ∴CE2+BD2=DE2； 【点睛】此题考查三角形综合题，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是判断出△ABD≌△ACF． 类型五、勾股定理中的动点——直角三角形 【解惑】如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)4或 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）利用勾股定理求解即可得； （2）先求出cm，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：在中，，， ∴由勾股定理得； （2）解：由题意知． ①当时，如图，点P与点C重合，， ∴； ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， ∴， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为或． 【融会贯通】 1．长方形纸片中，，，点是边上一动点，以为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，求的长． 【答案】或 【分析】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了长方形的性质，以及勾股定理，解题的关键熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】解：如图，当共线时，， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：， 如图，当落在上时，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 2．如图，在长方形与长方形中，点E、K分别在上，，，点M是线段上的点，其中，，连接，动点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿着路径匀速运动，运动到点A即停止运动，连接，设点P运动的时间为．    (1)线段______cm；当时，线段______cm； (2)若点P在线段上运动的过程中，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间t的值． 【答案】(1)13；9 (2)当是以为直角边的直角三角形时，对应的时间的值为或． 【分析】（1）求解，，再利用勾股定理可得的长度，利用当时，P在上，从而可得答案； （2）如图，当时，过作于，则，，如图，当，同理可得：，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵长为形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 当时，P在上， ∴； （2）解：∵四边形是长方形， ∴， 则，， 如图，当时，    ∵，，， ∴，，而， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， 如图，当，    同理可得：，， ∴， ∴， 解得：； 综上：当是以为直角边的直角三角形时，对应的时间的值为或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．    (1)用含t的代数式表示 ①当点P在线段上时，________． ②当点P在线段的延长线上时，________． (2)当为直角三角形时，求t的值； 【答案】(1)① ；② (2)或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后再根据图形求解即可； （2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可． 【详解】（1）∵，，， ∴． ∵动点P从点B出发沿射线以的速度移动， ∴． ①当点P在线段上时，． ②当点P在线段的延长线上时，． 故答案为：①；②； （2）①当为直角时，点P与点C重合，，即； ②当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即：， 解得， 故当为直角三角形时，或； 【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论． 类型六、勾股定理中的动点——等腰三角形 【解惑】如图，中，，，，动点从点开始，运动，速度为每秒，设运动时间为秒．    (1)________． (2)当点在线段上运动时，用含的代数式表示________． (3)动点与点同时出发，从点出发，向点运动，速度为每秒，当点在边上运动时，用含的代数式表示的面积． (4)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)8； (2)； (3) (4)，，； 【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可得到答案； （2）根据路程及线段和列式求解即可得到答案； （3）计算出点在边上运动的时间，得到点Q所处的位置，结合面积公式求解即可得到答案； （4）分与两类讨论，根据线段相等列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：8； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：； （3）解：由题意可得， 点在边上运动时， ， 点Q在运动如图所示，   ， ，， ∴； （4）解：当，在边上运动时， ， 解得：，    当，在边上运动时， 作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意舍去），    当时， 在边上运动， ， ∴， 解得：， 综上所述：，，； 【点睛】本题考查勾股定理，图形动点列代数式问题，动点特殊三角形问题，解题的关键时注意分类讨论． 【融会贯通】 1．如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，，A（8，0），C（0，4），，于D．现有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿AO方向，经O点再往OC方向移动，最后到达C点．设点P移动时间为t秒． (1)点B的坐标为 ； (2)当t为多少时，的面积等于13； (3)当t为多少时，是等腰三角形． 【答案】(1)B（5，4） (2)6.5或10 (3)5或6或12或 【分析】对于（1），先说明四边形ODBC是矩形，再根据勾股定理求出AD，进而求出OD，即可得出答案； 对于（2），分点P在边OA上和在边CO上两种情况，第一情况根据，求出解即可；第二种情况根据可求出答案． 对于（3），若P点在OA上，分，，三种情况根据勾股定理求出答案，另外点P与点C重合时，也符合题意. 【详解】（1）如图， ． ∵四边形OABC是直角梯形，， ， ∴四边形ODBC为矩形． ∵，，     ∴，． 在中，由勾股定理得：，AB=5， ， ， ∴； 故答案为：； （2）当P点在上时，，，； 当P点在OC上时（如图所示），，， ， 解得． 故当t为6.5秒或10秒时，的面积等于13． （3）若P点在OA上，当，即时，是等腰三角形． 当时， ∵， ∴根据勾股定理，得， ， 即时，是等腰三角形． 当时，，，由勾股定理，得， 即，解得，是等腰三角形． 当P，C重合时，，是等腰三角形． 故或5或6或12时是等腰三角形． 【点睛】这是一道关于动点的综合问题，考查了矩形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积计算，等腰三角形的判定等． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，动点P从点B出发，以每秒2个单位长的速度，沿射线BC运动，设运动时间为t秒，请解答以下问题： (1)BC边的长为________； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值，写出求解过程； (3)当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)8 (2)t=4或t= (3)t=5或t=8或t= 【分析】（1）利用勾股定理直接求解； （2）分和两种情况讨论，分别利用勾股定理求解； （3）当PA=PB时，利用勾股定理求解t，当BA=BP时，可直接得到BP长，当AB=AP时，BP=2BC． 【详解】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6， ∴BC=； （2）若△ABP为直角三角形： （i）∠APB=90°，此时BP=BC=8，t=8÷2=4（s）； （ii）∠BAP=90°，BP=2t，则CP=2t-8，由勾股定理得：AP=AC+PC=BP-AB， 即6+（2t-8）=（2t）-10，解得：t=； （3）若△ABP为等腰三角形： （i）当AB=BP时，t=5； （ii）当AB=AP时，BP=2BC=16，t=8； （iii）当BP=AP时，AP=BP=2t，CP=8-2t，AC=6，由勾股定理得：（2t）=6+（8-2t） 解得：t=． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．正确的分类讨论，熟练应用勾股定理，准确找到等量关系是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，BD⊥AC交AC于点D．动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为ts． （1）求BC上的高； （2）当CP⊥AB时，求t的值； （3）当点P在BC边上运动时，若△CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． 【答案】（1）4；（2）；（3）3.1或或． 【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H．根据勾股定理求解即可． （2）证明△APC≌△ADB（SAS），可得AP=AD，由S△ABC=•BC•AH=•AC•BD，求出BD进而解决问题． （3）分两种情形①CP=CD．②PD=PC分别求解即可． 【详解】解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H． ∵AB＝AC， ∴BH＝CH＝BC＝3， ∴AH＝＝＝4， ∴BC边上的高为4． （2）证明：如图2中， ∵CP⊥AB，BD⊥AC， ∴∠APC＝∠ADB＝90°， ∵∠A＝∠A，AB＝AC， ∴△ACP≌△ABD（AAS）， ∴AP=AD ∵S△ABC=•BC•AH=•AC•BD ∴ ∴AP=AD＝＝＝， ∴t＝＝． （3）解：当点P在BC上时，CP＝16﹣4t， ①如图3﹣1中，当CD＝CP时， ∵CD＝5﹣1.4＝3.6， ∴16﹣4t＝3.6， ∴t＝3.1． ②如图3﹣2中，当PD＝PC时， ∵PD＝PC， ∴∠C＝∠PDC， ∵∠C+∠CBD＝90°，∠PDC+∠PDB＝90°， ∴∠PBD＝∠PDB， ∴PB＝PD， ∴PC＝PB＝3， ∴16﹣4t＝3， ∴t＝， ③如图3﹣3中，当DP＝DC时，过点D作DH⊥BC于H． ∵DP＝DC，DH⊥PC， ∴PH＝CH＝8﹣2t， ∵DH＝＝＝2.88， ∴CH＝＝， ∴8﹣2t＝， ∴t＝． 综上所述，满足条件的t的值为3.1或或． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 类型七、勾股定理中的新定义 【解惑】定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”． (1)如图，在中，，，，求中边的“中偏度值”； (2)在中，，，边上的高，求中边的“中偏度值”． 【答案】(1) (2)2或7 【分析】本题考查勾股定理及应用，解答本题的关键是明确题意． （1）根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，即可求解； （2）分两种情况：当高在内部时，当高在外部时分别计算即可． 【详解】（1）解：作的中线，     ，，， ， ， ， ， 为斜边上的中线，， ， ， 即点到的距离为， 则中边的“中偏度值”为； （2）解：①当高在内部时， 作的中线，如下图：   ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点到的距离为， 则中边的“中偏度值”为2； ②当高在外部时， 作的中线，如下图：   ，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点到的距离为， 则中边的“中偏度值”为7； 综上所述，中边的“中偏度值”为2或7． 【融会贯通】 1．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． (1)如图1，点在线段上，，求证：点是的准外心； (2)如图2，在Rt中，的准外心在的直角边上，试求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为3或4或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及新定义的运用能力．理解题中给的定义是解题的关键． （1）利用证明，得到，由定义可知点P是的准外心； （2）先利用勾股定理计算，再进行讨论：当P点在上，，当P点在上，，易得对应的值；当 P点在上，，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程得到此时的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P是的准外心； （2）解：∵，，， ∴， 当P点在上，，则； 当P点在上，，则， 当P点在上，，如图2， 设，则， 在中，，解得， 即此时， 综上所述，的长为3或4或． 2．定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为________； (2)如图2，已知点在线段上，且，，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点． 【答案】(1) (2)线段的长为或 (3)见解析 【分析】（1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题； （3）过点作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，， ∴， 故答案为：； （2）解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， 则， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或； （3）证明：如图，过点作，且，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，   ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点是线段的勾股分割点． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义“勾股分割点”、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若是“近直角三角形”，，，则_____度； （2）如图，在中，，，．若是的平分线， ①求证：是“近直角三角形”； ②求的长． （3）在（2）的基础上，边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），（2）①见解析；②；（3）或． 【分析】（1）先判断出不可能是或，再根据条件计算即可； （2）①根据平分，得到，再根据，即可得到结果；②作交于点，根据勾股定理得到，证明，再根据勾股定理计算即可； （3）根据点E存在的两种情况分类讨论即可； 【详解】（1）不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， （2）①∵平分， ∴， ∵， ∴， 即． ∴是“近直角三角形”． ②作交于点， ∵，， ∴（勾股定理）． 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∴． 设，则， 在中，， 得，即． （3）或． 如图所示，点E在的角平分线上，作， 设，则， 则， 根据已知条件可得：， ∴， 在Rt△EFC中， ， ； 在AC上面找一点E，连接BE，使得，延长EA至G，使得AE=AG， 根据条件可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ； ∴； ∴边AC上存在点E，使得也是“近直角三角形”，此时或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 类型八、无刻度尺作图 【解惑】如图，A、B、C是正方形网格的格点，请按要求仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留痕迹：    (1)作的高； (2)点P是上的一点，作点P关于直线的对称点Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点M，连接，交于点H，则即为所求； （2）连接交于点D，连接，并延长交于点Q即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，点Q即为所求；    ∵，， ∴垂直平分，与关于对称， 根据轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴点Q与点P关于直线对称． 【点睛】本题主要考查了格点作图，轴对称的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，高的定义，解题的关键是熟练掌握格点特点，数形结合． 【融会贯通】 1．如图，是的正方形网格，每个小正方形的单位长为1，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺分别画图： (1)在图1中，过点 C 作边上的高； (2)在图2中，在上作点E，使； (3)在图3中，点F为与网格的交点，在上作点G，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义，利用数形结合的思想作出高即可； （2）取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）； （3）取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）． 【详解】（1）解：如图1中，线段，即为所求； （2）解：如图2中，点即为所求； （3）解：如图3中，点即为所求    2．线段的端点，在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可）． (1)在图1中找出格点，使： (2)在图2中找出格点，使； (3)在图3中画出非格点的点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）构造直角三角形即可； （2）构造等腰直角三角形，点即为所求； （3）构造推出，再由，可得． 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求； （2）如图2中，点即为所求； （3）如图3中，即为所求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 3．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段AB为边画一个，使其面积为6． (2)在图②中以线段CD为边画一个，使其面积为6． (3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为6，且． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； （2）直接利用三角形面积求法得出答案； （3）根据三角形的面积的求法进而得出答案． 【详解】（1）如图①所示，△ABM即为所求； （2）如图②所示，△CDN即为所求； （3）如图③所示，四边形EFGH即为所求； 【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是解题关键． 【一览众山小】 1．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（     ）． A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】A 【分析】设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，然后证明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm， 由题意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 又∵AC=CB， ∴△DAC≌△ECB（AAS）， ∴CD=BE=2xcm， ∵，， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 2．已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（    ） A． B． C． D．大小无法确定 【答案】C 【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵为直角三角形的三边，且。 ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键． 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 【答案】34 【分析】根据“垂美”四边形的定义得到，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是勾股定理、“垂美”四边形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【详解】解：四边形为“垂美”四边形， ， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 故答案为：34． 4．在数学实践与探究活动课上，李阳用两张正方形纸片和，通过切割分成五张小纸片1，2，3，4，5，再把它们拼接成一个大正方形（如图），若，，则纸片1的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 证明，则，由勾股定理得，，根据纸片1的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴纸片1的周长为， 故答案为：． 5．如图，矩形中，厘米，厘米，点E从A出发沿匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接，设运动时间为t秒．请解答以下问题： (1)当时 ①t为何值时，； ②设的面积为y，求y关于t的函数； (2)当时，满足条件，t的值为 ． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】对于（1），根据勾股定理求出，并表示，根据平行的性质得，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案；②先求出当D、E、F在同一条直线上时t的值，再作，接着证明，表示，，然后根据矩形的性质表示线段的长，再根据列出关系式； 对于（2），当四边形是圆内接四边形时，则，作， 可证明，并求出，，再根据相等列出方程，求出答案即可；当四边形是圆内接四边形时，则，作，连接，先根据勾股定理表示，再证明 ，可得， 然后证明，可得，，根据勾股定理表示，再建立方程求出答案即可． 【详解】（1）当时，点E在边上，厘米，厘米， ∵矩形中，厘米，厘米， ∴ ∴（厘米）， ∴厘米， ①如图1， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴当时，； ②当D、E、F在同一条直线上时，如图2， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即 解得：，（负值舍去）． ∵， ∴当时，如图3，过点F作于G，交于H， 则， ∴， ∴， ∴，即， ∴厘米，厘米． ∵四边形是矩形， ∴厘米，厘米， ∴厘米，厘米，厘米， ∴， ∴y关于t的函数关系式为； （2）∵， ∴， 当四边形是圆内接四边形时，则， 如图4，过点F作于M， 则， ∴， ∴，即， ∴厘米，厘米， 在中，厘米， ∴厘米， ∵厘米， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）； 当四边形是圆内接四边形时，则． 如图5，过点F作于H，连接， 则 ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴t， ∴， ∴＝， 整理得：， 解得：，（舍去）． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆内接四边形的性质，矩形的性质等，注意分情况讨论，不能丢解． 6．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 7．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 8．如图，长方形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，设点P运动的时间为t（秒）． (1)　　　　．（用含t的代数式表示） (2)连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)作射线．另有一动点Q从点C出发以每秒m个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动，点P与点Q同时开始运动．若以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，请直接写出m与对应t的值． 【答案】(1) (2)当是以为腰的等腰三角形时，或 (3)以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，则，或，或， 【分析】（1）根据点P运动时间，的长表示出的长即可； （2）分两种情况讨论，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分三种情况讨论：当以点P、Q、C为顶点的三角形与全等，，时，或，时，当以点P、Q、A为顶点的三角形与全等时，此时只能以Q为直角顶点，即，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动， ∴； 故答案为：． （2）解：∵长方形中，，， 当，如图所示： 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当时，如图所示： 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：； 综上分析可知，当是以为腰的等腰三角形时，或； （3）解：当以点P、Q、C为顶点的三角形与全等时，由，则由“”可知，，或，； 当，时，如图所示： 则，，， ∴，， 解得：，； 当，时，如图所示： 则，，， ∴，， 解得：，； 当以点P、Q、A为顶点的三角形与全等时，此时只能以Q为直角顶点，即，如图所示： 则，， 解得：，； 综上分析可知，以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，则，或，或，． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合应用，列代数式，一元一次方程的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，注意分类讨论． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$