专题01 勾股定理（基础类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题01勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、判断勾股数 【解惑】下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 【融会贯通】 1．下列各数属于勾股数的是（   ） A．1.5、2、2.5 B．6、8、10 C．3、4、6 D．、、 2．观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 3．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 类型二、判断三边构成直角三角形 【解惑】以下列三条线段的长度为边，其中能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【融会贯通】 1．已知三角形的三边满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．已知直角三角形两直角边长分别是5，12，则第三边长的值是 ． 3．直角三角形两直角边长分别为和，则它的斜边为 cm． 类型三、利用勾股定理求边长 【解惑】如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，，，则（    ）． A．万 B．5 C．2.4 D．2 2．如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 3．在中，斜边，则的值是 ． 类型四、利用勾股定理求面积 【解惑】在中，，，，则的面积等于（    ） A．6 B． C．12 D．15 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A．13 B．12 C．6 D．3 2．如图，在中，，则的面积 ． 3．在中，，，，则这个直角三角形的面积是 ． 类型五、勾股定理与网格问题 【解惑】如图，，是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格上的两个格点（小正方形的顶点），在其余的格点中任意放置点，恰好能使构成直角三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的网格是正方形网格，则 °（点A，B，C是网格线交点）． 3．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 类型六、勾股树问题 【解惑】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为（    ）． A．16 B．256 C．32 D．64 【融会贯通】 1．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（    ） A．12 B．16 C．25 D．38 2．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是 ． 3．如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    类型七、赵爽弦图 【解惑】“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 【融会贯通】 1．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 ．    3．如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 类型八、勾股定理的证明方法 【解惑】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【融会贯通】 1．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 2．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    3．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【一览众山小】 1．下列各数中，与3，4能构成勾股数的是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．18 3．在中，斜边，则的值为 ． 4．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A和B的面积分别为100和64，则正方形C的面积为 ． 5．如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则 ． 6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点，连结，使平分的面积． (3)在图③中画，使，其中点不与点重合． 7．在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 8．观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、判断勾股数 【解惑】下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可． 【详解】解：、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，又3，4，5都是正整数，是勾股数． 故选：D． 【融会贯通】 1．下列各数属于勾股数的是（   ） A．1.5、2、2.5 B．6、8、10 C．3、4、6 D．、、 【答案】B 【分析】首先勾股数是正数，其次三个数满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，由此判断即可． 本题考查的是勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解： A．因为不是整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意． B．6、8、10都是整数，且，因此6、8、10是勾股数，故本选项符合题意． C．3、4、6都是整数，但，因此3、4、6不是勾股数，故本选项不符合题意． D．因为、、不一定是整数，所以不一定是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 【答案】，， 【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数组数，第二个数组数组数，第三个数组数组数，再把代入，整理即可得到答案． 【详解】第一组：，，； 第二组：，，； …， 第四组为：，，. …， 则第组第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：． ∴第八组：，， 故答案为：，，． 3．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的规律题、勾股定理等知识点，发现勾股数与组数的规律是解题的关键． 先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13； 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1， 故设第二个数为x，第三个数为， 根据勾股定理可得：，解得． ∴第6组数是：． 故答案为：． 类型二、判断三边构成直角三角形 【解惑】以下列三条线段的长度为边，其中能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理的运用，依次判断，即可． 【详解】解：A、∵，，且 ∴选项A不能组成直角三角形，不符合题意； B、，，且 ∴选项B不能组成直角三角形，不符合题意； C、，，且 ∴选项C能组成直角三角形，符合题意； D、，，且 ∴选项D不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．已知三角形的三边满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，掌握若，则或是解题的关键． 对等式进行变形得到，根据若，则或即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 或， 或， 是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 2．已知直角三角形两直角边长分别是5，12，则第三边长的值是 ． 【答案】13 【分析】给出两直角边，直接根据勾股定理即可求出第三边． 【详解】解：第三边的长是：， 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 3．直角三角形两直角边长分别为和，则它的斜边为 cm． 【答案】26 【分析】利用勾股定理直接计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，斜边cm． 故答案为：26． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 类型三、利用勾股定理求边长 【解惑】如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，利用勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：木条的长为， 故选A． 【融会贯通】 1．在中，，，，则（    ）． A．万 B．5 C．2.4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键． 【详解】解：，，， ； 故选：B． 2．如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 先用勾股定理求长度，再求即可． 【详解】解： 在中， 同理， 故答案为：． 3．在中，斜边，则的值是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中， ∵斜边， ， 故答案为：100． 类型四、利用勾股定理求面积 【解惑】在中，，，，则的面积等于（    ） A．6 B． C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的面积，由，得，根据即可求解．解题的关键是熟练掌握勾股定理求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A．13 B．12 C．6 D．3 【答案】A 【分析】由勾股定理求出AB2，再由正方形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2， ∴AB2＝AC2+BC2＝32+22＝13， ∴正方形的面积＝AB2＝13， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．如图，在中，，则的面积 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积，先根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【详解】在中，，， ∴， ∴． 故答案为：54． 3．在中，，，，则这个直角三角形的面积是 ． 【答案】54 【分析】先根据已知比例式设，则，再利用勾股定理求出的值，然后利用直角三角形的面积公式即可得． 【详解】设，则 由勾股定理得，即 解得 则的面积为 故答案为：54． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． 类型五、勾股定理与网格问题 【解惑】如图，，是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格上的两个格点（小正方形的顶点），在其余的格点中任意放置点，恰好能使构成直角三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率公式、直角三角形的判定熟练掌握概率公式、直角三角形的判定是解答本题的关键由图可知共有种等可能的结果其中能使构成直角三角形的结果有种利用概率公式可得答案． 【详解】解∶由图可知共有种等可能的结果其中能使构成直角三角形的结果有∶，，，，，，，，共种， ∴恰好能使构成直角三角形的概率为， 故选∶ 【融会贯通】 1．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， 所以是直角三角形，但不是直角三角形， 故选：D． 2．如图所示的网格是正方形网格，则 °（点A，B，C是网格线交点）． 【答案】45 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据网格作出等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：取格点D，则， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：45． 3．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了网格图的问题，解题关键是正确应用勾股定理．用割补法求出的面积，用勾股定理求出的长，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：面积， 由勾股定理得， 设点A到直线的距离是d， 得， 解得． 故答案为：2． 类型六、勾股树问题 【解惑】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为（    ）． A．16 B．256 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和． 【详解】解：如图， 根据勾股定理知： ，，， ∴ ， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（    ） A．12 B．16 C．25 D．38 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z， 由勾股定理得：，， ∴． 故最大正方形E的面积是． 故选：D． 2．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是 ． 【答案】215 【分析】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形、的面积和，同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ， 同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和， 所以正方形的面积=， 同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和， 所以正方形的面积=， 故答案为：215 3．如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律． 根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值． 【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，    则． ， 即， 同理可得：， ， 故答案为：． 类型七、赵爽弦图 【解惑】“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，根据小正方形的面积为可解得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图， 则，， 又∵小正方形的面积为， ∴可解得或（舍去）， ∴， ∴大正方形的面积． 故选：C． 【融会贯通】 1．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴，，即①、②正确； ∴ ，则：，,即③正确； ∴， ∴，即④错误； 综上，正确的有①②③． 故选B． 2．如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 ．    【答案】9 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键． 根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据，，，得出，求出的值即可． 【详解】解：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 3．如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：4． 类型八、勾股定理的证明方法 【解惑】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理； 在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故③可以证明勾股定理； 在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故④可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的是②③④． 故选：D． 【融会贯通】 1．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：， ， 故选：B． 2．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】 解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 3．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 【一览众山小】 1．下列各数中，与3，4能构成勾股数的是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴与3，4能构成勾股数的是5， 故选：A． 2．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：由勾股定理可得：， 故选：C． 3．在中，斜边，则的值为 ． 【答案】72 【分析】】 本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键． 利用勾股定理将转化为，再求值． 【详解】解：中，为斜边， ， ． 故答案为：72． 4．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A和B的面积分别为100和64，则正方形C的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键；根据勾股定理的几何意义解答即可； 【详解】解：正方形A和B的面积分别为100和64， 它们分别是直角三角形的一条斜边和一条直角边的平方， 则根据勾股定理可得，， 故答案为：36． 5．如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 由勾股定理得，再结合正方形面积公式得到，即可求出的值． 【详解】解：为直角三角形，， ， 以的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，， ，，， 则， 故答案为：10． 6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点，连结，使平分的面积． (3)在图③中画，使，其中点不与点重合． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形高的定义作出图形； （2）找到的中点，连接即为的中线； （3）取格点、、，再连接、，、，、即可． 【详解】（1）解：如图①所示，线段即为所求； （2）解：如图②所示，线段即为所求； （3）解：如图③所示，、、即为所求； 由勾股定理可得：， ∵，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了利用网格作图，三角形的中线，高，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 7．在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了代数式，整式的混合运算，勾股定理，掌握常见的几何图形的面积公式以及整式的运算法则是解题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）图中的面积为直角梯形的面积，也可以看成几个三角形面积的和，分别列出代数式即可得到答案； （3）①利用（2）的结论代入数据计算即可；②根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1的面积为大正方形的面积，即， 图1的面积也可以为两个不同正方形的面积加上两个相同长方形的面积，即， 故可得等式； （2）解：图2的面积为直角梯形的面积，即 图2的面积也可以看作个直角三角形的面积和，即， 故可得到等式， 故； （3）解：①，， ； ②，在直角中，，， 在直角中， 8．观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析 (2)能；35，12，37 【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 【详解】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$