专题01 特殊平行四边形（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题01特殊平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、平面几何与函数图象结合 【解惑】如图1，在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图2是点P运动时，的面积y（）随时间x（s）变化的函数图象． （1）正方形的边长为 ． （2）当时，y的值为 ． 【融会贯通】 1．如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 2．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为 ． 3．如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图②所示，则的长为 ． 类型二、正方形半角模型 【解惑】常见的辅助线的添设方法最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等．在这里，向大家介绍一种方法，请仔细阅读材料，回答问题： 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 请用“旋转”法解决下面两题： (1)如图1，在正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数； (2)如图2，为等腰斜边的中点，，、分别交、于点、． ①当绕点转动时，求证； ②若，求四边形的面积． 【融会贯通】 1．我们已经学习了图形的平移、轴对称、旋转三种图形变化，它们都是全等变化，变化中蕴含着不变．在图形与几何知识的学习中，以图形变化的视角观察图形，会帮助我们更加直观的理解问题，进而找到解决问题的路径．已知，如图1，点M、N分别是正方形的边、上的点，且． (1)小明观察图形发现，，，于是将绕点B顺时针旋转，得到图2，连接，进一步推理发现，请你参考小明的思路，写出证明过程； (2)如图3，若点M、N分别在边、的延长线上，其余条件不变，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并写出证明过程． 2．正方形中，，绕点A旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点N、点M，连接． (1)当绕点A旋转到如图1的位置时，求证：． (2)当绕点A旋转到如图2的位置时，若，，求 的面积． 3．阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点E、F分别为、边上的点，，连接，求证：．我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点A顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是 ． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，E是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 类型三、特殊平行四边形的规律 【解惑】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【融会贯通】 1．如图，在直角坐标平面内，已知面积为10的正方形的顶点A在x轴上，且点A的坐标为， 点B的坐标为． 分别过点 B、点D作x轴的垂线和， 垂足分别为M、N． (1)利用 可求得点D的坐标为 ，用类似的方法可求出点C的坐标为 ； (2)如果正方形绕着顶点顺时针方向在x轴上连续翻转．翻转1次(即以点 A 为旋转中心，沿着x轴的正方向顺时针旋转正方形)，点 B落在x轴上(记作那么点 的坐标为 ．继续沿着x轴的正方向翻转正方形，它在x轴上的落点分别是 按此规律翻转下去，当2024 次翻转后，在x轴上落点的坐标为 ． 2．如图所示，第一个菱形的边长为2，，且点D落在y轴上，延长交x轴于A，以为边作第二个菱形；延长交x轴于点，以为边作第三个菱形…，按这样的规律进行下去，若点D、C、、…都在一条直线上． 【探究】 (1)______； (2)____________； (3)则第个菱形的面积为______． 3．如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形，如此下去…    (1)记正方形的边长为，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，求出的值． (2)根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式．并求出的值． 类型四、特殊平行四边形的动点求t 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的顶点 A，C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为，且 a，b满足，将矩形沿着折叠，点O的对应点E恰好落在边上． (1)直接写出点B的坐标和的长：B（____，____），_________； (2)①求四边形的面积； ②若点M沿线段从E向A以每秒1个单位长度的速度运动至A，设运动时间为 t秒，当为等腰三角形时，t的值是________ ； ③直线与平行，当它与矩形有公共点时，求m的取值范围． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：________；________； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当t为何值时，四边形是平行四边形？ 2．如图，长方形和长方形共同组成一个六边形，其中，，，点是的中点．点以每秒个单位的速度从点出发，沿方向运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)求六边形的周长和面积； (2)在点的运动过程中， ①是否存在点，使得直线刚好平分六边形的周长？如果存在，试求出的值；如果不存在，试说明理由； ②是否存在点，使得直线刚好平分六边形的面积？如果存在，试求出的值；如果不存在，试说明理由； (3)设的面积为，试用含的代数式表示．（直接写出结果） 3．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接．    (1)的长是_______，的长是_______． (2)在D、E的运动过程中，线段与的关系是否发生变化？若不变化，那么线段与是何关系，并给予证明．若变化，请说明理由． (3)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． (4)当t为何值，的面积是？ 类型五、特殊平行四边形的无刻度尺作图 【解惑】在每个小正方形的边长为1的网格中，点，在格点上，请用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)在图①画出一个以为一边的正方形； (2)在图②画出一个以为一边的菱形（不是正方形）； (3)如图③，点，在格点上，与交于点，在图③中画出一个以为一边的矩形． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为腰画一个锐角等腰三角形ABC； (2)在图②中以为边画一个面积为8的平行四边形； (3)在图③中以为边画一个正方形． 2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B为格点（格点是指网格线的交点．请利用网格和无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，但要保留作图痕迹） (1)在图1中画出将线段绕点B顺时针方向旋转后的对应线段； (2)在图1中确定格点C，的面积等于10．若有多个点C，用，···表示； (3)在图2中画出以为一边的矩形，使矩形的面积等于12． 3．图1、图2、图3是分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． (1)以AC为对角线在图1中作一个正方形，使正方形的面积为10． (2)以AC为对角线在图2中作一个矩形，使矩形面积为6． (3)以AC为对角线在图3中作出一个面积为8的平行四边形（不含矩形）． 类型六、特殊平行四边形的新定义 【解惑】定义：若四边形中某个顶点与其他三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点． (1)判断：如图①，一个内角为的菱形 等距四边形．（填“是”或“不是”）并说明为什么？ (2)如图②，在的网格图（每个小正方形的边长为）中有两点，请在给出的两个网格图上各找出两个格点，使得以为顶点的四边形是以点为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并求出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长． 【融会贯通】 1．【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 2．在平面直角坐标系中，M为平面内一点．对于点P和图形W给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P与点Q关于点M对称，则称点P为图形W关于点M的“中心镜像对称点”． (1)如图1，，． ①在点，，，中，线段关于点的“中心镜像对称点”是______； ②若点是线段关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标m的取值范围； (2)如图2，矩形中，，，，．若直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出m的取值范围． 3．我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．    (1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； (3)如图3，在中，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，则的长为________． 类型七、阅读理解题 【解惑】阅读理解： 如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数θ（相对于射线绕点O逆时针旋转θ）与的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．      应用： (1)①在图2的极坐标系下，等边中，有一边在射线上，，则点B的极坐标为________； ②在图3的极坐标系下，菱形中，有一边在射线上，，则点B的极坐标为_______； (2)在图4的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边在射线上，求正六边形的顶点C的极坐标； (3)在图5的极坐标系下，矩形中，有一边在射线上，，点D是边上的动点，作射线，由沿翻折得到，当点E落在的边上时，直接写出点D的极坐标． 【融会贯通】 1．阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”， (1)如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则______； (2)宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步  在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步  如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步  折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步  展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： ①图③中______；（保留根号） ②如图③，判断四边形的形状，并说明理由； ③请直接写出图④中所有的黄金矩形． 实际操作： ④请结合图④，在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来． 2．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图1，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： (1)若已知平面两点，，则的距离为__________； (2)若平面内三点，，，请运用给出的公式，试判断的形状，并说明理由； (3)如图2，在正方形中，，点D在边上，且，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，请直接写出的最小值． 3．阅读理解：表示一个数，若把数写成形如的形式，其中，都为整数．则我们称把数写成连分数形式． 例如：把2.8写成连分数形式的过程如下： ； ．故： 学以致用： (1)把3.245写成连分数形式不完整的过程如下： ； ； ．故： 则 ； ； (2)请把写成连分数形式； 拓展应用： 小明在“把长为3，宽为2的长方形纸片，从中裁剪出正方形，使剪出的正方形最少且长方形纸片无剩余”的实验操作中，发现最少正方形个数和“把化为连分数形式”有关联． 即：长为3，宽为2的长方形纸片可以剪出一个边长为2的正方形和两个边长为1的正方形，放最少正方形3个．写成连分数形式为．发现． 参考小明的思路，请你通过特例感知，类比归纳等方法，解决下面问题：如图是长为47，宽为10的长方形纸片，从中裁剪出正方形，若长方形纸片无剩余，则剪出的正方形最少是几个？ 请直接写出化成连分数的形式和“剪出的正方形最少”时正方形的个数． 类型八、迁移探究题 【解惑】【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点． 【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________； 【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线） 【融会贯通】 1．综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时， (2)迁移探究 爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，　　； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 2．[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边按逆时针方向作等边三角形,连接，请你以为边按顺时针方向作等边三角形，再连接，直接写出的长______； [迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边按逆时针方向作直角三角形，其中，，若D为中点，连接．求的长； [拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，M为中点，连接、和，当时，直接写出的长______．       图1                             图2                          图3 3．用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使． 操作探究一 （1）如图1，调整菱形，使，在射线上取一点N，使，则______，_______． 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点在直线上，且当时，请直接写出的长． 【一览众山小】 1．如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 3．如图，矩形的顶点、在轴上，的长为6，顶点的坐标为，原点在边上，边与轴相交于点，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． 4．如下图，中，，，，动点从出发，以的速度沿向点运动，动点从点出发，以的速度沿着向运动，当点到达点时，两个点同时停止．则的长为时点的运动时间是 ． 5．如图，矩形中，为上一点，为上一点，分别沿，折叠，，两点刚好都落在矩形内一点，且，则 ． 6．如图1所示， 在正方形中， 点E为边上一点， 连接， 过点B作交于点F， 过点D作交的延长线于点 G． (1)请问和有何数量关系，并说明理由； (2)如图2所示， 在(1) 的条件下， 以和为边向右作矩形， 连接交于点M， 求的度数． 7．如图，在四边形中，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)当四边形是平行四边形时，求的值． (2)当____________时，四边形是矩形． (3)若，且点的运动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则点的运动速度是____________． (4)在点，运动过程中，四边形能否成为菱形，若能，请求出值；若不能，请说明理由． 8．综合与实践 在学习完特殊的平行四边形之后，老师在数学活动课上展示了下面一道与平行四边形有关的折叠题： 【问题情境】 如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，连接，，，线段交于点O． 【独立思考】 （1）是 三角形（按边分类）； 【实践探究】 （2）请判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，矩形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，请直接写出的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01特殊平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、平面几何与函数图象结合 【解惑】如图1，在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图2是点P运动时，的面积y（）随时间x（s）变化的函数图象． （1）正方形的边长为 ． （2）当时，y的值为 ． 【答案】 /4厘米 【分析】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解． （1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得的最大面积为8，此时P、D重合，，即可求解； （2）先抓住关键点，知道点P到终点时，的面积是6，此时P、C重合，，得，根据图象分析当时，点P在上，且，再求的面积． 【详解】解：（1）设正方形的边长为a， 由图象可知，当P、D重合时，的面积为8， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴正方形的边长为4， 故答案为：4； （2）当点P在点C时，， 解得：，即， 当时，点P在边上，如图， ， 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 2．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为 ． 【答案】6 【分析】如图，点D是点B关于直线的对称点，连接交于点P，则此时y取得最小值，即，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点P， 则点D是点B关于直线的对称点， 根据点的对称性，，则为最小， 故， 设正方形的边长为x，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得： (负值已舍去)， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理和一元二次方程的求解，得出的长为最小值是解题的关键． 3．如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图②所示，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理；根据图1和图2判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：在菱形中，， 为等边三角形， 设，由图可知，的面积为， 过点作，则 ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：(负值已舍) 故答案为：． 类型二、正方形半角模型 【解惑】常见的辅助线的添设方法最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等．在这里，向大家介绍一种方法，请仔细阅读材料，回答问题： 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 请用“旋转”法解决下面两题： (1)如图1，在正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数； (2)如图2，为等腰斜边的中点，，、分别交、于点、． ①当绕点转动时，求证； ②若，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)①见解析；②． 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． （1）延长使得，易证可得，进而求证可得，再求出即可解题； （2）①连接，根据等腰直角三角形的性质得到平分，，，，则，，由得，根据等角的余角相等得到，根据全等三角形的判定易得，即可得到结论； ②由，则，于是四边形的面积，由而可得，根据三角形的面积公式易求得，从而得到四边形的面积． 【详解】（1）解：延长使得，连接，如图1， 在和中， ， ∴， ，， 又，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：①证明：连接，如图2， 为等腰斜边的中点， 平分，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②， ， 四边形的面积， 而， ， 四边形的面积． 【融会贯通】 1．我们已经学习了图形的平移、轴对称、旋转三种图形变化，它们都是全等变化，变化中蕴含着不变．在图形与几何知识的学习中，以图形变化的视角观察图形，会帮助我们更加直观的理解问题，进而找到解决问题的路径．已知，如图1，点M、N分别是正方形的边、上的点，且． (1)小明观察图形发现，，，于是将绕点B顺时针旋转，得到图2，连接，进一步推理发现，请你参考小明的思路，写出证明过程； (2)如图3，若点M、N分别在边、的延长线上，其余条件不变，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键． （1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论； （2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， 将绕点B顺时针旋转，则与重合，则， ∴，，，，则、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）， 证明：在正方形中，，， 将绕点B逆时针旋转，则与重合，则， ∴，，，，则、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．正方形中，，绕点A旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点N、点M，连接． (1)当绕点A旋转到如图1的位置时，求证：． (2)当绕点A旋转到如图2的位置时，若，，求 的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）证明，得到，，进而可证明，得到，则可得出结论； （2）在上截取，连接，证明，得到，进而证明，得到，则． 【详解】（1）证明：如图，在的延长线上，截取，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点E、F分别为、边上的点，，连接，求证：．我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点A顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是 ． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，E是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】阅读材料：；（1）；（2）， 【分析】阅读材料：根据旋转的性质可得，再求出，然后根据计算即可得解； （1）过点作交的延长线于点，可得四边形是正方形，再设，根据上面的结论表示出，再求出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； （2）过点作，取，连接，由勾股定理可求的长，再证出，则线段有最大值时，只需最大即可，从而可得当三点共线时，取最大值，由此求解即可得． 【详解】解：阅读材料：由旋转的性质可知，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ，即， 故答案为：； （1）如图，点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 根据上面结论，可知， 设， ∵， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的长为； （2）如图，过点作，取，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴线段有最大值时，只需最大即可， 在中，，当三点共线时，， 则的最大值为， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴的最大值为，此时， 故答案为：，的最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 类型三、特殊平行四边形的规律 【解惑】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)81608 【分析】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． （1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用阴影部分面积为，运用平方差进行运算，进而求得答案即可． 【详解】（1）解：∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； 故答案为：是，不是． （2） 【融会贯通】 1．如图，在直角坐标平面内，已知面积为10的正方形的顶点A在x轴上，且点A的坐标为， 点B的坐标为． 分别过点 B、点D作x轴的垂线和， 垂足分别为M、N． (1)利用 可求得点D的坐标为 ，用类似的方法可求出点C的坐标为 ； (2)如果正方形绕着顶点顺时针方向在x轴上连续翻转．翻转1次(即以点 A 为旋转中心，沿着x轴的正方向顺时针旋转正方形)，点 B落在x轴上(记作那么点 的坐标为 ．继续沿着x轴的正方向翻转正方形，它在x轴上的落点分别是 按此规律翻转下去，当2024 次翻转后，在x轴上落点的坐标为 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查坐标与图形、正方行的性质、全等三角形的判定与性质和图形的翻转， （1）通过正方形和直角三角形的性质证明两个角和一条边相等即可证明三角形全等； （2）先求出正方行的边长，再根据翻转的性质得到每次翻转后横坐标的增加量，找出落在x轴上的点的变化规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为 如下图所示，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点D作y轴的垂线，垂足为E，两条垂线交于点P， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形正方形， ∴ ∴，, ∴点C的坐标为， 故答案为：， （2）解：根据旋转的性质得到, ∵正方形的面积为10， ∴， ∴点 的坐标为， ∵每次翻转后，点的横坐标增加量为正方形的边长，即， ∴第二次翻转后的坐标为，即 ∴第三次翻转后的坐标为，即， ∴第四次翻转后的坐标为， ∴第五次翻转后的坐标为， ∴落在x轴上的点以A、B、C、D周期变化， ∵， ∴第2024次翻转后的点坐标为， 故答案为：，． 2．如图所示，第一个菱形的边长为2，，且点D落在y轴上，延长交x轴于A，以为边作第二个菱形；延长交x轴于点，以为边作第三个菱形…，按这样的规律进行下去，若点D、C、、…都在一条直线上． 【探究】 (1)______； (2)____________； (3)则第个菱形的面积为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由第一个菱形的边长为2，，得出为含30度直角三角形，由此得出，即可得到答案； （2）同理（1）可得，，由此发现规律：即可解题； （3）根据（2）的规律求出第个菱形的边的高即可求解． 【详解】（1）解：， ， 菱形的边长为2， ∴，， ∴，， ∴ 同理可得 ∴ 故答案为 （2）由（1）可知 ，即： 由此规律可知：， ∴ 故答案为：，． （3）由（2）可知，第个菱形的菱长为， 的高， 第个菱形的面积为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，含度直角三角形性质、勾股定理，图形的规律，解本题的关键是求出前几个菱形的边长，找出规律． 3．如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形，如此下去…    (1)记正方形的边长为，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，求出的值． (2)根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式．并求出的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由正方形的性质及勾股定理知，正方形的对角线为其边长的倍，从而可分别求得的值； （2）由（1）中所求得出一般规律：后一正方形的边长是前一正方形边长的倍，由此规律可求得的表达式．并求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是边长为1的正方形， ∴， ∴由勾股定理得：； ∵正方形是以正方形的对角线为边得到的正方形， ∴， ∴由勾股定理得：； ∵正方形是以正方形的对角线为边得到的正方形， ∴， ∴由勾股定理得：； 即； （2）解：由（1）得：，，， 一般地：，其中n为正整数， 当时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，图形规律的探索，找到各个正方形边长的规律是解题关键．体现了由特殊到一般的数学思想． 类型四、特殊平行四边形的动点求t 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的顶点 A，C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为，且 a，b满足，将矩形沿着折叠，点O的对应点E恰好落在边上． (1)直接写出点B的坐标和的长：B（____，____），_________； (2)①求四边形的面积； ②若点M沿线段从E向A以每秒1个单位长度的速度运动至A，设运动时间为 t秒，当为等腰三角形时，t的值是________ ； ③直线与平行，当它与矩形有公共点时，求m的取值范围． 【答案】(1)5，3， (2)①；② 4或 ；③ 【分析】（1）根据非负数的性质求得a，b的值进而求得B点坐标，再通过勾股定理求出，从而求得的长度； （2）①由（1）知，利用勾股定理求出，由四边形的面积等于，即可求解；②三种情况：时是等腰三角形；时是等腰三角形；时是等腰三角形；③先求出的解析式，再通过平行求直线的k值，再通过点C、A坐标求出m取值范围． 【详解】（1）解：由题意得： 故B点坐标为： 在中有：， ∴； （2）解：①由（1）知， 在中有： 由折叠的性质可得：，， ，即， ∴ ， 四边形的面积等于； ②如图，当时，是等腰三角形， 由（1）知：， ∴， 由翻折可知 ∴M在线段上，符合题意． ∴（秒）； 如图2，若M运动到的中点时， ∵， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴（秒） 如图，当时，点M在不在线段上， 此种情况不合题意，舍去． ∴或秒； ③设， 由①知， ∴ 又， 设解析式为．则， 解得， ∴ ∵与平行， ∴, 当过点时，， 当过点时， ∴当直线与平行，且与矩形有公共点时， ． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，一次函数k值和m值取值范围，掌握每个知识点才能正确解题． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：________；________； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1)， (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当时，四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查动点，平行四边形的综合，理解动点的运算，掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据路程速度时间，即可用含的式子表示，； （2）根据四边形是平行四边形可得，由此即可求解； （3）根据题意用含的式子表示，根据四边形是平行四边形可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （3）解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． 2．如图，长方形和长方形共同组成一个六边形，其中，，，点是的中点．点以每秒个单位的速度从点出发，沿方向运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)求六边形的周长和面积； (2)在点的运动过程中， ①是否存在点，使得直线刚好平分六边形的周长？如果存在，试求出的值；如果不存在，试说明理由； ②是否存在点，使得直线刚好平分六边形的面积？如果存在，试求出的值；如果不存在，试说明理由； (3)设的面积为，试用含的代数式表示．（直接写出结果） 【答案】(1)六边形的周长为，面积为 (2)①存在，；②存在， (3)当时，；当时，；当时， ；当时，；当时，． 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及矩形的性质，三角形的面积，一元一次方程等知识，解题的关键是分类讨论． （1）根据矩形的性质和题意先求出六边形的各条边即可求解； （2）①根据点运动路程等于整个图形周长的一半列方程即可求解；②先判断出点在点和之间时，存在点，使得直线刚好平分六边形的面积，根据面积列出方程组即可求解； （3）分五种情况讨论：当点在上，当点在上，当点在上，当点在，当点在上． 【详解】（1）解：四边形、是长方形， ，，，， 点是的中点，， ，，     六边形的周长为：； 六边形的面积为：； （2）①存在， 由题意得：， 解得：， 故当时，直线刚好平分六边形的周长； ②存在， 当点运动到点时，， 当点运动到点时，， 点在点和之间，， ， 解得：， 存在点，使得直线刚好平分六边形的面积，； （3）当时，点在上，； 当时，点在上，； 当时，点在上，； 当时，点在上，； 当时，点在上，． 3．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接．    (1)的长是_______，的长是_______． (2)在D、E的运动过程中，线段与的关系是否发生变化？若不变化，那么线段与是何关系，并给予证明．若变化，请说明理由． (3)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． (4)当t为何值，的面积是？ 【答案】(1)10，5 (2)不变化，与平行且相等； (3)能，当秒时，四边形为菱形； (4)当秒时，的面积是． 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再证明四边形为平行四边形，即可求解； （3）根据菱形的判定可得当时，平行四边形为菱形，得到关于t的方程，即可求解； （4）由，，求得，，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由勾股定理得：； 解得，， 故答案为：10，； （2）解：与平行且相等． 证明：由题意得：， 在中，， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与平行且相等； （3）解：四边形能够成为菱形．理由如下： 由（2）知：四边形为平行四边形， ∵， ∴． 当时，平行四边形为菱形， 即， 解得：． 即当秒时，四边形为菱形； （4）解：∵，， ∴，， 由题意得，即， 解得（舍去负值）， ∴当秒时，的面积是． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 类型五、特殊平行四边形的无刻度尺作图 【解惑】在每个小正方形的边长为1的网格中，点，在格点上，请用无刻度的直尺，按下列要求画图． (1)在图①画出一个以为一边的正方形； (2)在图②画出一个以为一边的菱形（不是正方形）； (3)如图③，点，在格点上，与交于点，在图③中画出一个以为一边的矩形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题； （1）根据正方形的定义画出图形即可． （2）根据菱形的定义画出图形即可． （3）取格点，，，，连接，交于点，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，正方形即为所求． （2）解：如图②中，菱形即为所求． （3）解：如图③中，矩形即为所求． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为腰画一个锐角等腰三角形ABC； (2)在图②中以为边画一个面积为8的平行四边形； (3)在图③中以为边画一个正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了作图应用与设计，平行四边形、正方形和等腰三角形的性质，正确掌握平行四边形面积求法是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可 （2）根据平行四边形的性质结合面积画图即可； （3）根据正方形的性质画图即可． 【详解】（1）如图，为所求： （2）如图，为所求： （3）如图，正方形为所求： 2．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B为格点（格点是指网格线的交点．请利用网格和无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，但要保留作图痕迹） (1)在图1中画出将线段绕点B顺时针方向旋转后的对应线段； (2)在图1中确定格点C，的面积等于10．若有多个点C，用，···表示； (3)在图2中画出以为一边的矩形，使矩形的面积等于12． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质画图即可； （2）作，，与网格交点为，则为平行四边形，则； （3）先作的垂线，根据网格的特点，以及勾股定理可得，且，，在A点上方3格的位置取格点E，取格点M，作直线，交于点D，于点C，则四边形即为所求作的矩形． 【详解】（1）线段即为所求； （2）格点，即为所求； （3）矩形即为所求； 【点睛】本题考查了格点无刻度作图，矩形的性质，勾股定理与网格，掌握以上知识是解题的关键． 3．图1、图2、图3是分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． (1)以AC为对角线在图1中作一个正方形，使正方形的面积为10． (2)以AC为对角线在图2中作一个矩形，使矩形面积为6． (3)以AC为对角线在图3中作出一个面积为8的平行四边形（不含矩形）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）作一个以为对角线，边长为的正方形即可； （2）作一个以为对角线，两邻边长为和的矩形即可； （3）由于A到C的竖直距离为4，因此过中点作，使O为中点，且的水平距离为4即可；或者作一个以为对角线，底为2高为4的平行四边形即可． 【详解】（1） 如图，四边形即为所求； （2） 如图，四边形即为所求； （3） 如图，四边形即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，掌握平行四边形的性质，学会利用数形结合的思想是解题的关键． 类型六、特殊平行四边形的新定义 【解惑】定义：若四边形中某个顶点与其他三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点． (1)判断：如图①，一个内角为的菱形 等距四边形．（填“是”或“不是”）并说明为什么？ (2)如图②，在的网格图（每个小正方形的边长为）中有两点，请在给出的两个网格图上各找出两个格点，使得以为顶点的四边形是以点为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并求出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长． 【答案】(1)是，证明见解析； (2)画图见解析，非等距点的对角线长或． 【分析】（）根据等距四边形的定义判断即可求解； （）根据等距四边形的定义作出图形，再利用勾股定理求出非等距点的对角线长即可； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解等距四边形是解题的关键． 【详解】（1）解：是． 证明：连接， ∵菱形， ∴， 当时，是等边三角形， ， ， 一个内角为的菱形是等距四边形； 故答案为：是； （2）解：如图， ，， 端点均为非等距点的对角线长； 如图，，， 端点均为非等距点的对角线长为．（答案不唯一，合理即可） 【融会贯通】 1．【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 【答案】(1)是 (2)四边形是补等四边形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据菱形性质得出再结合，通过证明，结合角的等量代换，即可作答． （2）作因为角平分线的性质 ，得出，又因为垂直平分，得出，再证明，结合角的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是补等四边形， 故答案为：是； （2）解：四边形是补等四边形． 理由如下：作 ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴． ∴ ∴四边形是补等四边形． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，M为平面内一点．对于点P和图形W给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P与点Q关于点M对称，则称点P为图形W关于点M的“中心镜像对称点”． (1)如图1，，． ①在点，，，中，线段关于点的“中心镜像对称点”是______； ②若点是线段关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标m的取值范围； (2)如图2，矩形中，，，，．若直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2) 【分析】本题主要考查了中心对称变换，一次函数的性质： （1）根据“中心镜像对称点”的定义可得线段上所有点的纵坐标为1，横坐标在和2之间（包括和2）：①求出各点的关于点的对称点，即可求解；②设点关于点的对称点的横坐标为s，根据“中心镜像对称点”的定义可得，即可求解； （2）先求出点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，再求出直线分别过点，时m的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴线段上所有点的纵坐标为1，横坐标在和2之间（包括和2）； ①点关于点的对称点为， 关于点的对称点为， 关于点的对称点为， 关于点的对称点为， 线段关于点的“中心镜像对称点”是，； 故答案为：， ②设点关于点的对称点的横坐标为s， ∵点是线段关于点的“中心镜像对称点”， ∴， 解得：， ∵线段上所有点的横坐标在和2之间（包括和2）， ∴， 解得：； （2）解：如图， 根据题意得：点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 当直线过点时， ， 解得：， 当直线过点时， ， 解得：， ∴直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”， m的取值范围为． 3．我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．    (1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； (3)如图3，在中，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是等邻边四边形，理由见解析 (3)或6或 【分析】（1）根据等邻边四边形的定义画出3个不同形状的等邻边四边形； （2）根据题意求出，根据勾股定理求出，计算得到，根据等邻边四边形的定义判断即可； （3）分三种情况，根据勾股定理、等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：邻边四边形如图所示：    （2）解：四边形是等邻边四边形， 理由如下：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等邻边四边形； （3）解：如图，当时，，    如图，当时，连接，过点D作于E，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当，连接，过点D作于E，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或6或， 故答案为：4或6或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“等邻边四边形”的定义，并能运用是本题的关键． 类型七、阅读理解题 【解惑】阅读理解： 如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数θ（相对于射线绕点O逆时针旋转θ）与的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．      应用： (1)①在图2的极坐标系下，等边中，有一边在射线上，，则点B的极坐标为________； ②在图3的极坐标系下，菱形中，有一边在射线上，，则点B的极坐标为_______； (2)在图4的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边在射线上，求正六边形的顶点C的极坐标； (3)在图5的极坐标系下，矩形中，有一边在射线上，，点D是边上的动点，作射线，由沿翻折得到，当点E落在的边上时，直接写出点D的极坐标． 【答案】(1)①；② (2) (3)， 【分析】（1）①根据等边三角形的性质求出，即可得到点B的极坐标； ②过点B作于点H，根据菱形的性质得到，，求得，勾股定理求出，再利用30度角的性质求出即可； （2）根据正六边形的性质得到，，，求出，根据30度角的性质得到，即可求出点C的极坐标； （3）根据折叠的性质及矩形的性质分两种情况求解即可． 【详解】（1）解： ①∵是等边三角形， ∴， ∴点B的极坐标为， 故答案为； ②过点B作于点H，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点B的极坐标为， 故答案为； （2）连接， ∵正六边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点C的极坐标为；        （3）解：当点E落在边上时，如图，    ∴， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点D的极坐标为； 当点E落在边上时，如图，    ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴点D的极坐标为； 综上，点D的极坐标为或． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，直角三角形30度角的性质，正多边形的性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，本题综合性较强，熟练掌握各图形的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”， (1)如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则______； (2)宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步  在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步  如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步  折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步  展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： ①图③中______；（保留根号） ②如图③，判断四边形的形状，并说明理由； ③请直接写出图④中所有的黄金矩形． 实际操作： ④请结合图④，在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来． 【答案】(1) (2)①；②菱形，理由见解析；③矩形BCDE、矩形MNDE；④见解析 【分析】（1）根据黄金分割点的定义可求出AC的长度； （2）①用勾股定理可算得答案； ②根据菱形的判定可得答案； ③根据黄金矩形的定义，观察图形，数形结合可得答案； ④观察图形，在矩形BCDE中添加一条线段GH，使四边形GCDH是正方形，可得四边形BGHE为黄金矩形． 【详解】（1）解：根据定义可知，为线段的黄金分割点，则 ， 解得 故答案为： （2）①如图3： 根据题意可得 ∴， 故答案为：， ②四边形BADQ是菱形 理由如下： ∵四边形ACBF是矩形， ∴BQAD， ∴∠BQA=∠QAD． 由折叠得：∠BAQ=∠QAD，AB=AD， ∴∠BQA=∠BAQ， ∴BQ=AD， ∵BQAD， ∴四边形BADQ是平行四边形． ∵AB=AD， ∴四边形BADQ是菱形． ③图④中的黄金矩形有矩形BCDE、矩形MNDE， ∵BC=2， ∴矩形BCDE是黄金矩形． ∴矩形MNDE是黄金矩形； ④如图，在矩形BCDE上添加线段GH，使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形． ∵CD=GH=DH=，DE=MN=2， ∴四边形BGHE为黄金矩形． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及新定义黄金矩形、菱形的判定、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是掌握勾股定理二次根式的计算． 2．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图1，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： (1)若已知平面两点，，则的距离为__________； (2)若平面内三点，，，请运用给出的公式，试判断的形状，并说明理由； (3)如图2，在正方形中，，点D在边上，且，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)5 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）直接利用距离公式进行求解即可； （2）先利用两点间的距离公式分别求出的长度，再根据它们之间的数量关系进行判断即可； （3）根据正方形的性质，找到点关于直线的对称点为点，连接，则，线段即为所求，勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：5； （2）是直角三角形； 理由如下： ∵，，， ∴，， ， ∴， 故是直角三角形； （3）的最小值为． ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， 连接交于，连接，， ∵点A关于直线的对称点是B， ∴， ∴的最小值为：． ∴， 故的最小值为． 【点睛】本题考查坐标系下两点间的距离公式．正确理解并掌握坐标系下两点间的距离公式是解题的关键．同时考查了勾股定理及其逆定理，以及正方形的性质和将军饮马问题． 3．阅读理解：表示一个数，若把数写成形如的形式，其中，都为整数．则我们称把数写成连分数形式． 例如：把2.8写成连分数形式的过程如下： ； ．故： 学以致用： (1)把3.245写成连分数形式不完整的过程如下： ； ； ．故： 则 ； ； (2)请把写成连分数形式； 拓展应用： 小明在“把长为3，宽为2的长方形纸片，从中裁剪出正方形，使剪出的正方形最少且长方形纸片无剩余”的实验操作中，发现最少正方形个数和“把化为连分数形式”有关联． 即：长为3，宽为2的长方形纸片可以剪出一个边长为2的正方形和两个边长为1的正方形，放最少正方形3个．写成连分数形式为．发现． 参考小明的思路，请你通过特例感知，类比归纳等方法，解决下面问题：如图是长为47，宽为10的长方形纸片，从中裁剪出正方形，若长方形纸片无剩余，则剪出的正方形最少是几个？ 请直接写出化成连分数的形式和“剪出的正方形最少”时正方形的个数． 【答案】(1)3；2 (2)；，“剪出的正方形最少”时正方形有10个 【分析】（1）根据题意中连分数形式中均为整数，进行求解即可； （2）将写成的形式即可；根据长方形中宽的长度作正方形的边长，依次分长方形，可得到最少的正方形的个数；将写成的形式，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，， 故答案为：3，12； （2）解：∵， ∴的连分数形式为； 由题意知，以宽度作为正方形的边长时，剪出的正方形个数最少； 对长为47，宽为10的长方形纸片，做如下操作， ①以10为边长，此时可剪出4个正方形，剩余长、宽分别为10，7的长方形； ②以7为边长，此时可剪出1个正方形，剩余长、宽分别为7，3的长方形； ③以3为边长，此时可剪出2个正方形，剩余长、宽分别为3，1的长方形； ④以1为边长，此时可剪出3个正方形，此时大长方形剪完； ∴长、宽分别为47，10的长方形，共剪出 个正方形；且此时正方形个数最少； ∵， ∴，发现， ∴的连分数形式为，“剪出的正方形最少”时的正方形个数为10个． 【点睛】本题考查了新定义的实数运算，正方形的性质等知识．解题的关键在于理解题干信息． 类型八、迁移探究题 【解惑】【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点． 【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________； 【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线） 【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）． 【分析】（1）取的中点，连接，根据正方形的性质可知，再根据角平分线的定义，最后利用直角三角形的性质及全等三角形的判定可知即可解答； （2）在上截取，连接，根据正方形的性质可知，，再根据角平分线的定义及直角三角形的性质可知，，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答； （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，根据正方形的性质及角平分线的定义可知是等腰直角三角形，再根据线段垂直平分线的定义可知是的垂直平分线进而即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    （2）成立，理由如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是垂直平分线， ∴点与关于对称， ∴，当A、P、G共线时取等号，故最小值为的长， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定、最短路径问题，掌握正方形的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时， (2)迁移探究 爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，　　； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；②，见详解 (3)或 【分析】（1）连接，由于折叠，，垂直平分，所以，即是等边三角形，可得的度数； （2）①由于折叠，，所以，，，而四边形是正方形，则，，可得，，由，可证，则，因为，可得的度数；②：同①可求的度数； （3）分两种情况讨论，当点Q在点F下方时：根据折叠以及正方形的性质设，则，，，对运用勾股定理得，；当点Q在点F上方时：同上可得方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：连接，    由于折叠，，垂直平分， ， ∴是等边三角形， ， 故答案为：； （2）解：①四边形是正方形， ，， 由于折叠，， ，，， ，， ， ∴， ， ， ∴， ， 故答案为：； ②四边形是正方形， ，， 由于折叠，， ，，， ，， ， ∴， 后同①可求； （3）当点Q在点F下方时，如图：    由于折叠，， ， ，， 设，则，，， 由勾股定理得，， 解得：， ； 当点Q在点F上方时，如图： ，，， ，， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得：， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边按逆时针方向作等边三角形,连接，请你以为边按顺时针方向作等边三角形，再连接，直接写出的长______； [迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边按逆时针方向作直角三角形，其中，，若D为中点，连接．求的长； [拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，M为中点，连接、和，当时，直接写出的长______．       图1                             图2                          图3 【答案】[操作与思考]5；[迁移与应用] ；[拓展与创新] 【分析】[操作与思考] 以为边，向左侧作等边三角形，结合等边三角形的性质利用可证明，可知，再利用勾股定理可求得答案； [迁移与应用] 作B关于的对称点，连接，可得等边三角形，再以为边，向左侧作等边三角形，类比可证，得，再作延长线于F，利用勾股定理可求得，再结合三角形中位线定理即可求得答案； [拓展与创新] 连接，以为边作等边，交于点，过点作，由等边三角形的性质可证，得，设，得，，进而可证得为直角三角形，结合等边三角形的性质可得，，，为的中点，则，由直角三角形斜边上的中线可得，由，知，得，则，设，则，由勾股定理可得：，即：，易得，则，，进而可得． 【详解】[操作与思考]解：以为边，向左侧作等边三角形， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ，，， ， ， ，， ， 故答案为：； [迁移与应用]解:作B关于的对称点，连接，可得等边三角形，再以为边，向左侧作等边三角形， ∵， ∴， ∵ ∴ ， 再作延长线于F， ∵， ， ，． ∴，． 在中， 又∵C，D分别为，OB的中点， ∴； [拓展与创新]连接，以为边作等边，交于点，过点作， ∵，为等边三角形，为的中点， ∴，，，， 则， ∵，为等边三角形， ∴，，， 则，， ∴， ∴， ∴，设 则，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴平分， ∴，为的中点，则， ∴， ∵，则， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：，解得：， ∴，则，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，勾股定理，旋转的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解决问题的关键． 3．用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使． 操作探究一 （1）如图1，调整菱形，使，在射线上取一点N，使，则______，_______． 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点在直线上，且当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）长度为或 【分析】（1）证明得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）证明得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到； （3）当时，点和点重合，再分两种情况：当点在线段的延长线时，过点作于点；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点；利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即； （2），理由如下： 四边形是菱形，， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，作交于，则，， 在中，，， ， ， ； （3）当时，点和点重合， 如图3，当点在线段的延长线时，过点作于点， 设， ，， 为等腰直角三角形， ， 四边形是菱形，，，， ，， 由菱形的对称性及可得， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ； 如图4，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点， 设，同①可得：，， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【一览众山小】 1．如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．根据正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A．    2．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，作角平分线，角平分线的性质，勾股定理；根据作图过程可得是的平分线，然后证明，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接EG， 根据作图过程可知：是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， 解得． 故选：D． 3．如图，矩形的顶点、在轴上，的长为6，顶点的坐标为，原点在边上，边与轴相交于点，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与翻折问题，涉及到勾股定理、解方程等知识点，解题的关键是勾股定理的灵活应用． 由矩形的翻折性可求得的长，再由勾股定理求得的长，进一步求得的长，设，则，于是在直角中由勾股定理建立方程，可求得x的值，即可得到答案． 【详解】解：∵点C的坐标为， 则，， ∴，即， 由可知，，， 在中，， ∴， 设，则， 在直角中，．即 解得：， 因点E位于x轴的负半轴上，故点E的坐标为． 故答案为：． 4．如下图，中，，，，动点从出发，以的速度沿向点运动，动点从点出发，以的速度沿着向运动，当点到达点时，两个点同时停止．则的长为时点的运动时间是 ． 【答案】/秒 【分析】过点作于点，由，可得是等腰直角三角形，过点作于点，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得，，然后列方程求出的值即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 如图，过点作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为时，点的运动时间是， 由题意可知，点运动最大时间为 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，构造直角三角形，是解题的关键． 5．如图，矩形中，为上一点，为上一点，分别沿，折叠，，两点刚好都落在矩形内一点，且，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，如图所示，由矩形性质可设，由翻折性质得到，再结合等腰三角形的判定性质，解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】解：过点作于，如图所示： 由矩形性质可设， 由翻折的性质可知，，即是等腰三角形， ， ， ， ，， 在中，，，则，由勾股定理可得， ， 四边形是矩形， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查翻折变换，涉及矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，利用参数解决问题是解决问题的关键． 6．如图1所示， 在正方形中， 点E为边上一点， 连接， 过点B作交于点F， 过点D作交的延长线于点 G． (1)请问和有何数量关系，并说明理由； (2)如图2所示， 在(1) 的条件下， 以和为边向右作矩形， 连接交于点M， 求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质． （1）证明即可得到； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得到，，进而推出，从而可证四边形是平行四边形，得出，由得到，从而，即是等腰三角形，根据，，得到，从而是等腰直角三角形，求得，再根据，即可得到． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵在正方形中，，即， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵在正方形中， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵在矩形中，，即 ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）有， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在四边形中，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)当四边形是平行四边形时，求的值． (2)当____________时，四边形是矩形． (3)若，且点的运动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则点的运动速度是____________． (4)在点，运动过程中，四边形能否成为菱形，若能，请求出值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)不能，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形，矩形，正方形，菱形的知识，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质，根据动点的运动轨迹和运动速度，进行解答，即可． （1）根据题意，则，；根据四边形是平行四边形，则，即可； （2）根据矩形的性质，则，即可； （3）根据正方形的性质，则，设的运动速度为：，则，解出，即可； （4）根据菱形的性质，直角三角形的三边的关系，进行解答，即可． 【详解】（1）∵设运动时间为t秒，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）得，； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴ ∴ ∴． （3）∵四边形是正方形， ∴， 设的运动速度为： ∴， 解得：， ∴当点是运动速度为时，四边形是正方形． （4）四边形不能成为菱形，理由如下： 连接，，， ∵四边形中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 假设四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴是直角三角形的斜边，且直角边大于斜边，即， ∴假设不成立， ∴四边形不能成为菱形．    8．综合与实践 在学习完特殊的平行四边形之后，老师在数学活动课上展示了下面一道与平行四边形有关的折叠题： 【问题情境】 如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，连接，，，线段交于点O． 【独立思考】 （1）是 三角形（按边分类）； 【实践探究】 （2）请判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，矩形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）等腰 （2）四边形是菱形，理由见详解 （3）的长为或15 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质可得，由此可得，因此是等腰三角形． （2）根据矩形，折叠的性质，菱形的判定方法即可求证； （3）分两种情况讨论：①当M点在线段上时，②当M点在线段的延长线上时． ①当M点在线段上时，易得四边形是矩形，则，．由折叠的性质可得，，则可得，．设，则，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可； ②当M点在线段的延长线上时，则，．由折叠的性质可得，，则可得，．设，则，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可； 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰 （2）四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， 根据折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （3）设边的垂直平分线分别交、于E、F点 ①如图，当M点在线段上时， ∵四边形是矩形，垂直平分， ∴四边形是矩形， ∴，，，， 根据折叠的性质可知 ，， ， ， 设，则， 在中， ∴， 解得， ； ②如图：当M点在线段的延长线上时， ∵，，，， 根据折叠的性质可知 ， ， ， 设，则， 在中， ∴， 解得， ， 综上，的长为或15． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，掌握折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定方法，勾股定理等知识的综合运用是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$